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1 - 2 + 3 - 4 + …的前几千项相加结果示意图
在中，1 - 2 + 3 - 4 + …表示以由小到大的逐次，依序加後又減、減後又加，如此反复所構成的，為一。若以表示前m项之和，可写作：
此无穷级数，即其的序列(1, -1, 2, -2, …)不会趋近于任一有穷极限。也就是說，單從的角度看的話，1 - 2 + 3 - 4 + …不存在和。
不过，在18世纪中期，写出了一个他承认为的：
该等式的解释在很久以后才出现。自1890年起，、与其他一些数学家就在研究有哪些的方法，可以對发散级数賦予广义和——其中包含了对欧拉结果的新解释。这些求和法大部分可简单地指定1 - 2 + 3 - 4 + …的“和”為1/4。是少数几种不能计算出1 - 2 + 3 - 4 + …之和的方法，因为此级数求和需要某个略强的方法——譬如。
级数1 - 2 + 3 - 4 + …与1 - 1 + 1 - 1 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 - 2n + 3n - 4n + …的特例（其中n为任意自然数），这个级数既直接扩展了他在上所做的工作，同时也引出了我们现在所知的和。
级数项(1, -2, 3, -4, …)不趋近于，因此通过便可确定1 - 2 + 3 - 4 + …发散。不過作为后文的参考，此處也以基礎的方法去證明此級數發散。首先，从定义可知，无穷级数的是由其部分和的敛散性所确定的，1 - 2 + 3 - 4 + …的部分和为：
1 - 2 = -1,
1 - 2 + 3 = 2,
1 - 2 + 3 - 4 = -2,
1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3,
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = -3,
此部分和序列的一个显著特点是每个整数都恰好出现一次——如果将空部分和计入还包括0——因此它還說明了整数集是的。很明显的，不可能让变化的结果收斂到一个确定的数，因此1 - 2 + 3 - 4 + …发散。
由于各项 1, -2, 3, -4, 5, -6, … 以一种简单模式排列，级数1 - 2 + 3 - 4 + …可以透過移項以及逐项求和，再透過得出一数值。暂时假设s = 1 - 2 + 3 - 4 + …這樣的寫法有意义——其中的s为常数，那麼以下的計算將說明s = 1/4：
因此，s = 1/4，如右图所示。
白球代表+1，紅球代表-1；把白球和紅球連起來，即是代表它們正負相消並等於0。如圖所示，复制4份1 - 2 + 3 - 4 + …，仅使用移项与逐项相加，结果为1。而單看左或右其中一邊的話，則是两个1 - 2 + 3 - 4 + …副本加起來，經抵消后得出1 - 1 + 1 - 1 + …。
尽管1 - 2 + 3 - 4 + …没有通常意义的和，等式s = 1 - 2 + 3 - 4 + … = 1/4却可被赋予另外一种意义。發散级数之“和”的一种定义被称为一种或——通常是對於符合特定條件的一類級數可求和。求和法有许多种（部分将在中有所描述），这些方法跟普通求和也許有着一些共同的特性，例如：
線性：設AΣ為一種級數求和法。如果對於AΣ可定義其上的那些序列，AΣ是個的話，則簡單地稱AΣ是線性的。也就是說，對於序列r, s和純量k，有AΣ(k r+s)=k AΣ(r)+AΣ(s)。
穩定性：如果a是一個初項為a0的序列，設a*為a去掉初項後的序列，即對於一切n有a*n=an+1，那麼AΣ(a)有定義AΣ(a*)有定義。而且，AΣ(a)=a0 + AΣ(a*)。
因此，以上的計算实际上證明的是下面的內容：给出任意的的可和法，并能對级数1 - 2 + 3 - 4 + …求和，則结果必为1/4。此外，由于：
故此方法也一定能对求和，并得结果为
1891年，在他的一篇論文中指出有可能将严謹地納入，并寫道：“已可写出(1 - 1 + 1 - 1 + …)2 = 1 - 2 + 3 - 4 + …并断定两边均等于1/4。”对切萨罗而言，这个等式是他前一年发表的一个定理的应用，该定理可說是在历史上關於可求和发散级数的第一个定理。关于此求和法的详细内容请见；其中心思想是：1 - 2 + 3 - 4 + …是1 - 1 + 1 - 1 + …对1 - 1 + 1 - 1 + …的。
1 - 2 + 3 - 4 + … 以 1 - 1 + 1 - 1 + … 的二重柯西乘积出现
两个无穷级数的柯西乘积可被定義，即使在它们都发散的时候。例如，若Σan= Σbn= Σ(-1)n，柯西乘积的项由有穷对角线求和的方式给出：
积级数为：
所以，如果有一种求和法可以保持两个级数的柯西乘积，並能得出的结果，那麼它也能够求出。由前一節的结果可知，当方法是线性、稳定并保持柯西乘积的时候，1 - 1 + 1 - 1 + …与1 - 2 + 3 - 4 + …的可求和之间是等价的。
切萨罗的定理是一个微妙的例子。级数1 - 1 + 1 - 1 + …在最弱的意义上是切萨罗可求和，称作(C, 1)-可求和，然而1 - 2 + 3 - 4 + …则需要切萨罗的定理的一个更强的形式，它是(C, 2)-可求和的。由于切萨罗的定理的所有形式均为线性且稳定的，所得的值正是此前计算所得的。
关于1/4的(H, 2)和的数据
若1 - 2 + 3 - 4 + …的(C, 1)存在，要找到其數值就需要计算该级数部分和的。 部分和为：
1, -1, 2, -2, 3, -3, …,
这些部分和的算术平均值为：
1, 0,2/3, 0,3/5, 0,4/7, ….
此平均值序列不收斂，因此1 - 2 + 3 - 4 + …不是切萨罗可求和。
切萨罗求和有两种有名的广义化：让这些在概念上更简单的是(H, n)法的序列，其中n为。(H, 1)和为切萨罗求和，更高的方法则重复平均值的计算。在上文中，偶数項平均值趋近于1/2，奇数項平均值则全部等于0，所以平均值的平均值趋近于 0 与1/2的平均数，即1/4。因此，1 - 2 + 3 - 4 + …是(H, 2)-可求和，其值为1/4。
符号“H”代表。1882年，他第一次证明了被现在数学家们所看作的在与(H, n)求和之间的关系；-1 + 2 - 3 + 4 - …是他給的第一个例子。1/4是1 - 2 + 3 - 4 + …的(H, 2)和这个事实也保证了它是阿贝耳和；这些都将在下文直接予以证明。
另外一个常用的切萨罗求和的广义化，是(C, n)法的序列。已经证明了(C, n)求和与(H, n)求和均能给出相同的结果，但是它们却有不同的历史背景。在1887年，切萨罗已经接近于陈述出(C, n)求和的定义了，但是他只给出了少量的例子。特别的，他在计算1 - 2 + 3 - 4 + …为1/4时所采用的方法可能是(C, n)的另一种描述，但是在当时并没有对其进行证明。他在1890年正式定义了(C, n)法，以陈述他的定理：一个(C, n)-可求和级数与一个(C, m)-可求和级数的柯西乘积是(C, m + n + 1)-可求和。
1-2x+3x2+…的一些部分和（綠色、藍色和黑色曲線）；1/(1 + x)2（近中間的紫色曲線） ；以及在x趨近於1時的極限（以點標示）
在一份1749年的报告中，承认级数1 - 2 + 3 - 4 + …是发散的，但還是決定要对其求和：
……当說该级数1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 …的和为1/4时，那肯定看起來是悖论。因為对该级数的100项相加，我们得到了-50，但是，101项的和却给出+51，这与1/4是截然不同的，而且这种差距还会随着项数增加而变得更大。不过我在前一段时间已经注意到了，有必要给“和”这个词赋予一个更加广泛的意义……。
欧拉曾几次提议将“和”这个词广义化。在1 - 2 + 3 - 4 + …的情况下，他的设想与现在所知的相似：
……毫无疑问，级数1 - 2 + 3 - 4 + 5 + …的和为1/4；由于它是由公式1/(1+1)2展开而成，而此公式的值明显为1/4。在考虑一般级数1 - 2x + 3x2 - 4x3 + 5x4 - 6x5 + …后这个概念变得更明晰了。这个一般级数是由表达式1/(1+x)2展开而成，当我们让 x = 1 后，这个级数就确确实实地相等了。
至少在当 |x| & 1 时，有许多方式去验证欧拉的下列等式正确：
可以對右邊作，或使用正规的。从左方开始，可采用上文的一般启发式，并尝试乘以两次(1+x)，或对几何级数1 - x + x2 - …求平方。欧拉似乎也提出可以对后者级数的每项。
以现代的觀點看，级数 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + … 并没有定义一个在x = 1时的，因此不能简单地把值代入到其相應的表达式。不過由于此級數在|x| & 1時定义了一個函数，所以仍可取x趋近于1時的极限，而这就是阿贝耳和的定义：
1/2-1/4的欧拉求和
欧拉对该级数还使用了另外一种技巧：，这是他自己的发明。要计算欧拉变换，首先要有可形成交错级数的正项序列——在此情况下为1, 2, 3, 4, …。将此序列中的首项标示为 a0。
下一步需要1, 2, 3, 4, …的序列；这恰好是1, 1, 1, 1, …。将该序列的首项标示为 Δa0。欧拉变换也基于差分的差分，以及更高的迭代，但是在1, 1, 1, 1, …各項之間的前向差分均为0。1 - 2 + 3 - 4 + …的欧拉变换便可定义为：
用现代术语来说，1 - 2 + 3 - 4 + …是且其值為1/4。
欧拉可求和也蘊涵了另一种可求和性。将1 - 2 + 3 - 4 + …表示为：
就有了相关的处处收敛级数：
因此 1 - 2 + 3 - 4 + … 的为：
赛切夫与Woyczyński只通过两个物理原理便得出了1 - 2 + 3 - 4 + … =1/4，这两个原理分别是：无穷小松弛（infinitesimal relaxation）与尺度分离（separation of scales）。为求表達準确，这些原理促使了他們去定义一系列的“φ-求和法”，所有这些方法都可以将级数求和得1/4：
如果φ(x)是一个函数，其一、二阶导数在(0, ∞)上是连续且可积的，有φ(0) = 1 ，并且φ(x)与xφ(x)在+∞时的极限均为0，則：
该结果推广了阿贝耳求和，当取φ(x) = exp(-x)时可得到先前的等式。此一般陈述可通过将关于m的级数中的项配对，并将表达式变换为的形式予以证明。在后一步中，对1 - 1 + 1 - 1 + …的：）运用了，但在这裡需要中更强的。
1755年的《Institutiones》上，欧拉对相似的级数求和
1 - 1 + 1 - 1 + …的三重柯西乘积为1 - 3 + 6 - 10 + …，为的交错级数；其阿贝耳与欧拉和为1/8。1 - 1 + 1 - 1 + …的四重柯西乘积为1 - 4 + 10 - 20 + …，为的交错级数，其阿贝耳和为1/16。
另一个1 - 2 + 3 - 4 + …在略微不同的方向的广义化是一般级数1 - 2n + 3n - 4n + …。对正整数n来说，此级数有下列的阿贝耳和：
其中Bn是。对大於0的偶数n，则化約为：
后一个和成为特别嘲笑的对象，在1826年時他說：
“发散级数纯粹是魔鬼的工作，胆敢去找到任何证明它们的行为都是羞耻的。如果用到它们，可以从中获得想要的东西；同时也是它们，制造了如此多的不愉快与如此多的悖论。试问能想到比下面内容更令人惊恐的东西吗：
0 = 1 - 2n + 3n - 4n + etc.
其中，n为正数。这是一个笑料，朋友。”
切萨罗的老师也轻视发散级数。在卡塔兰的影响下，切萨罗早期提出1 - 2n + 3n - 4n + …的“习用式”是“荒谬的等式”；而在1883年，切萨罗表明了当时的一个典型看法：這些公式是错的，不过在某些场合在形式上是有用的。最后，在他1890年的书《Sur la multiplication des séries》中，切萨罗從定義開始採用了一個現代的做法。
此级数在n为非整數值的情况亦有所研究；这产生了狄利克雷η函数。欧拉研究1 - 2 + 3 - 4 + …相关级数的部分动机是η函数的，这直接导向了的函数方程。欧拉在正（包括在中）时找到这些函数值的建树已让他闻名，他也试图找到正（包括在中）时的值，但这个问题直到今天仍是難以解決的。η函数通过欧拉的方法解决会比較简单，因为它的是处处阿贝耳可求和；而ζ函数的狄利克雷级数則非常难以对发散的部分求和。例如，1 - 2 + 3 - 4 + …在η函数中的相似级数是非交错级数，该级数在现代上有很深的应用，不过需要非常强的方法才能求和。
广义和是指利用一些特殊的方式，計算发散级数的「和」，由於发散级数不會有一般定義下的和，因此稱為广义和。
Beals p.23
假定有這樣的極限值x，則總可能找到某個項，使得在其之後的所有項都在區間[x-1, x+1]之外，從而得出矛盾。
Hardy (p.6) 结合1 - 1 + 1 - 1 + …的计算提出了此推导过程。
"One already writes(1 - 1 + 1 - 1 + …)2 = 1 - 2 + 3 - 4 + …and asserts that both the sides are equal to.", Ferraro, p.130.
Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
Hardy, p.9. 要了解详细的计算过程，参看 Weidlich, pp.17–18.
Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro批评了Tucciarone对赫尔德他自己对一般结论的看法的解释(p.7)，不过在赫尔德對-1 + 2 - 3 + 4 - …的处理方式上，两位作者的解释是相似的。
Ferraro, pp.123–128.
Euler et al, p.2. 虽然这篇文章写于1749年，但直到1768年才发表。
Euler et al, pp.3, 25.
例如，Lavine (p.23)提倡多项式长除，但並没有真的列出計算步驟；Vretblad (p.231)计算了柯西乘积。欧拉的建议是含糊的；参看Euler et al, pp.3, 26。 （）甚至提出一种包括将与相乘的范畴理论法。Baez, John C. 。 math.ucr.edu （日）。 日检索。
Weidlich p. 59
Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
Kline, p.313.
Knopp, p.491; 在 Hardy, p.3. 中的这一点有误
Grattan-Guinness, p.80. 参看 Markushevich, p.48, 另一个转译版本；保留了原有的语调。
Ferraro, pp.120–128.
Euler et al, pp.20–25.
Beals, Richard. Analysis: an introduction. Cambridge UP. 2004.  .
Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. 1989-05.  .
Euler, L Lucas W and Thomas J Osler. . The Euler Archive. 2006 . Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 1768, 17: 83–106.
Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. Archive for History of Exact Sciences. 1999-06, 54 (2): 101–135. :.
. The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. 1970.  .
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Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite. Harvard UP. 1994.  .
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Alexander I. Saichev, and Wojbor A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. 1996.  .
Tucciarone, John. The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. Archive for History of Exact Sciences. 1973-01, 10 (1-2): 1–40. :.
Vretblad, Anders. Fourier Analysis and Its Applications. Springer. 2003.  .
Weidlich, John E. Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. 1950-06.
：隐藏分类：计算1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+····+2011+(-2012)_百度知道
计算1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+····+2011+(-2012)
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1-2=-13-4=-15-6=-1每两个为一组，共有6所以结果是1006*(-1)=-1006
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实数的运算零指数幂（负指数幂和指数为1）解分式方程二次根式的定义二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简
实数的运算：实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
四则运算封闭性：实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。实数的运算法则：1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即：a+b=b+a；②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变；即：（a+b）+c=a+（b+c）。2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b）3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：ab=ba；②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即：（ab）c=a（bc）；③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加,即：a（b+c）=ab+ac。4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即an，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，乘方与开方互为逆运算。实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。零指数幂定义：任何不等于零的数的零次幂都等于1。负指数幂的定义：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。指数为1：任何不等于零的数的1次幂，所得结果都等于这个数的本身。解法：解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：（1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）（2）解方程：解整式方程，得到方程的根；（3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。如果分式本身约分了，也要带进去检验。在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.注意：（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。（3）増根使最简公分母等于0。分式方程的特殊解法：换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。解分式方程注意：①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。二次根式:我们把形如叫做二次根式。二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。确定二次根式中被开方数的取值范围：要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。 二次根式性质：（1）a≥0 ； ≥0 （双重非负性 )；（2）；（3）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(a=0);（4）；（5）。二次根式判定：①二次根式必须有二次根号，如，等；②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;④二次根式是一个非负数;⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。二次根式的应用：主要体现在两个方面：（1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。二次根式的加减乘除混合运算：顺序与师叔运算的顺序一样,先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。 ①在运算过程中,多项式乘法,乘法公式和有理数(式)中的运算律在二次根式的运算中仍然适用。②二次根式的加减乘除混合运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。③运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。二次根式的化简：先对分子、分母因式分解，能约分的就约分，能开方的就开方，或先对被开方数进行通分，然后再通过分母有理化进行化简。 二次根式混合运算掌握：1、确定运算顺序。2、灵活运用运算定律。3、正确使用乘法公式。4、大多数分母有理化要及时。5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
二次根式化简方法：二次根式的化简是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。分母有理化：分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：（1）直接利用二次根式的运算法则：例：（2）利用平方差公式：例：（3）利用因式分解：例：（此题可运用待定系数法便于分子的分解）换元法（整体代入法）：换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。例：在根式中，令，即可得到原式=√(u2+9-6u)+√(u2+25-10u)=√(u-3)2+√(u-5)2=2u-8=2√(x+2)-8
提公因式法：例：计算巧构常值代入法：例：已知x2-3x+1=0,求的值。分析：已知形如ax2+bx+c=0（x≠0）的条件，所求式子中含有的项，可先将ax2+bx+c=0化为x+=，即先构造一个常数，再代入求值。解：显然x≠0，x2-3x+1=0化为x+=3。 原式==2.
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