摘要：一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，文中主要从一题多解的定义、解题思想、典型例子以及其对学生产生的意义出发，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚。学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩。
关键词：定义；思想；范例；意义
&&&&&&& 一、一题多解
&&&&&&& 一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，即由多种途径获得同一数学问题的最终结论，它属于解题的策略问题。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
&&&&&&& 数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。在数学解题中一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。一题多解则是诸多解题策略的综合运用。在教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
&&&&&&& 二、一题多解的解题思想
&&&&&&& 数学思想是人类对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识。在数学研究范围的拓展、研究对象的延伸、数学方法的形成、各种方法之间的融合并发展成新的方法等过程之中，都体现出数学思想的核心作用。数学知识和方法是形成数学思想的基础，但有了知识不等于有思想，方法如果没有思想作为灵魂，就只能是一种机械的&操作手册&数学思想是数学的核心与灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动机。因此，在数学教学中，教师要注重向学生传授方法，但更应该注重向学生传授数学的基本思想。
&&&&&&& 1.化归转化思想
&&&&&&& 化，就是变化原问题，转化原问题，变换原问题；归，说的是变化、转化、变换原问题是有目的、有方向的。所谓&化归&即转化和归结的意思，是指将有待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或较易解决的问题中去，最终求得原问题解答的一种手段和方法。
&&&&&&& 客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。
&&&&&&& 早在17世纪，法国哲学家、数学家笛卡儿就称这种化归方法为解决数学问题的&万能方法&。著名数学教育家波利亚给予化归法高度的评价，认为它是解决数学问题的首要方法。化归是一种最基本而典型的方法。
&&&&&&& 数这一特征。
&&&&&&& 2.数形结合思想
&&&&&&& 关于数形结合，华罗庚教授评价说：数与形，本质相倚依，焉能分作两边飞；数无形时方直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。
&&&&&&& 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。&数形结合&可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。
&&&&&&& 3.归纳思想
&&&&&&& 在研究一般性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从中归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可以由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。
&&&&&&& 此外，还有模型思想工作、演绎思想、类比思想、正难则反思想等等。
&&&&&&& 三、一题多解的解题范例
&&&&&&& 中小学数学中一题多解的例子很多，若能灵活运用启发，则对训练学生思维极为有利。我们先来看一个例子：
&&&&&&& 例2.求1+3+5+7+&&+89=?
&&&&&&& 运用高斯算法，能够很容易地得出该题的结论，但这仅仅是就一般的计算而言。对问题的进一步研究，又使我们得到以下两种运算方式：
&&&&&&& 第一种：
&&&&&&& 1=1&1
&&&&&&& 1+3=2&2
&&&&&&& 1+3+5=3&3
&&&&&&& &&
&&&&&&& 1+3+5+&&+89=45&45
&&&&&&& 第二种：
&&&&&&& 由于，1=1&1&1
&&&&&&& 3+5=2&2&2
&&&&&&& 7+9+11=3&3&3
&&&&&&& &&
&&&&&&& 73+75+&&+89=9&9&9
&&&&&&& 所以，1+3+5+&&+89=1&1&1+2&2&2+3&3&3+&&+9&9&9=13+23+33+&&+93。
&&&&&&& 当然，我们可以将上述运算作一般性的推广，使学生的解题思路更加开阔。然而，其真正的用意却在于：
&&&&&&& 第一种运算中，等式右边的1&1、2&2、3&3&&45&45，是来自对平面图形&&正方形的直接观察，1&1、2&2、3&3&&45&45分别为边长是1、2、3&&45的正方形面积，因此，求1+3+5+7+&&+89的和，等同于计算边长为45的正方形面积。
&&&&&&& 第二种运算中，等式右边的1&1&1、2&2&2、3&3&3&&9&9&9，则是来自对空间图形&&正方体的直接观察(图略)，1&1&1、2&2&2、3&3&3&&9&9&9分别为棱长是1、2、3&&9的正方体体积，求1+3+5+7+&&+89的和，等同于计算棱长分别为1、2、3&&9的正方体体积的和。
&&&&&&& 在本例题目中，通过对加数进行转化，而转化后的数量关系获得了几何解释，运用数形结合思想，以及归纳思想使问题变得直观形象、易于观察到问题的本质。&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&& 四、一题多解的意义
&&&&&&& 一题多解不但从实际上解决问题，为解题提供不同的策略和方法，也为学生解题思维产生重大的教育意义。
&&&&&&& 1.一题多解有利于拓宽学生的思维空间
&&&&&&& 在解题时，要经常注意引导学生从不同的方面，探求解题途径，以求最佳解法。教师要为学生而教，要为学生创造思维的空间。一题多解的核心是开放学生的思维、是拓宽学生空间的具体形式。
&&&&&&& 2.一题多解有利于培养学生思维的灵活性
&&&&&&& 中小学生的思维是以具体形象思维为主，容易产生消极的思维定势，造成一些机械思维模式，干扰解题的灵活性。一题多解的设计，是促使学生对同一问题展开多向思考，促使学生的思维呈现活化状态，是鼓励学生标新产异，培养学生思维灵活性的有效途经。
&&&&&&& 3.一题多解有利于培养学生思维的严密性
&&&&&&& 思维的严密性是指分析、思考问题时全面、细致，能把各种可能出现的情况都考虑到，并能正确推导出结果。由于受思维定势的影响，有些学生常常在解题中把不相干的数据连接起来或在证明题中论证不必要的步骤，而忽视它们的逻辑意义。一题多解因为具有答案唯一的特性，因而需要学生全方位，细致入微地分析问题，从而培养学生思维的严密性。
&&&&&&& 4.一题多解有利于培养学生的创造性思维
&&&&&&& 创造性思维，它要求学生凭借自己的知识水平能力，对某一问题从不同的角度，不同的方位去思考、创造性地解决问题。在教学中，教师要重视学生思维能力的培养，特别是创造性思维，它是思维过程中的最高境界。在教学中应充分挖掘教材中的智力因素，多启发、多引导，努力创造条件，引导学生从各个角度去分析思考问题，发展学生的求异思维，给学生以创新的机会，使其创造性地解决问题。
&&&&&&& 5.一题多解有利于鼓励学生独立个性的发展&
&&&&&&& 每个人都有自己的数学现实，即每个人都有自己的生活、工作和思考特定客观世界以及反映这个世界的各种数学观点、运算方法和有关知识结构。在教学中，教师就要充分满足不同水平、不同认知风格、不同个性的学生发展需要，使学生按照各自特定的方式发展自我、完善自我，从而形成个性的独特与健康。
&&&&&&& 6.一题多解有利于转变学生的学习方式
&&&&&&& 由于一题多解中解法的多样性、新颖性，促使学生自主探究、相互进行交流与合作。为了寻找更简洁的解题方法，学生会主动查资料，学习从不同角度研究问题，还能主动与他人合作，分享经验提高学生的学习信心。
&&&&&&& 一题多解不但能让学生达到解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚。学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，解题思维模式解放了，解题方法也应多种多样，这样才能使得枯燥的数学解题变得更加具有吸引性，学生才能更加对数学感兴趣，而不会觉得数学枯燥无趣。
作者单位：广西崇左市扶绥县龙头中学
邮政编码：532101
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&&&&哥尼斯堡七桥问题
&&&&&&& 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
&&&&&&& 这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
&&&&&&& 于是&七桥问题&就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对&七桥问题&的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。(更多的了解，请参看《力学园地》2010-4期的&释疑解惑&的介绍。)
&&&&哥德巴赫猜想
&&&&&&& 1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
&&&&&&& 实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的&三角和&方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为&m+n&。1920年挪威数学家布龙证明了&9+9&；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了&7+7&，&6+6&，&5+5&，&4+4&，&1+c&，其中c是常数。1956年中国数学家王元证明了&3+4&，随后又证明了&3+3&，&2+3&。60年代前半期，中外数学家将命题推进到&1+3&。1966年中国数学家陈景润证明了&1+2&，这一结果被称为&陈氏定理&，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为&陈氏定理&使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难，不畏艰险，永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗!
&&&&费马大定理
&&&&&&& 300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：
&&&&&&& &设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解&。
&&&&&&& 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最著名的定理&费马大定理。
&&&&&&& 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。
&&&&西尔维斯特问题
&&&&&&& 数学史上有这样一件趣事，名流权威所不能解决的问题，却被&无名小卒&解决了，这就是西尔维斯特问题。
&&&&&&& 西尔维斯特(1814年～1897年)是英国著名数学家，他曾提出过一个很有趣的几何猜想(即西尔维斯特问题)：平面上给定n个点(n&3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点，那么，这n个点在同一条直线上。
&&&&&&& 这个看起来好像很容易的问题，却难倒了不少数学家。甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了，许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是，该问题最终却被一位&无名小卒&解决了。之所以说是&无名小卒&，是因为《美国科学新闻》《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时，都没有提到这个人的名字。而且证明非常容易，连初中学生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。
&&&&&&& 用反证法。假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上，而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的.
&&&&&&& 不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h2，那么由h的最小性，有h1AB+h2AC＞h(AB+AC)＞hBC。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一直线上。
&&&&古希腊三大几何问题
&&&&&& &传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
&&&&&&& 古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是&不可能用尺规完成的作图题&。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。
&&&&&&& 然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于&生锈圆规&(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔.
&&&&百鸡问题
&&&&&&& 本问题记载于中国古代约5－6世纪成书的《张邱建算经》中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：「今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。」该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创「一问多答」的先例，这是过去中国古算书中所没有的。
&&&&&&& 原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇(约1870)推广了百鸡问题，作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱 买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布 卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
&&&&三十六军官问题
&&&&&&& 大数学家欧拉曾提出一个问题：即从不同的6个军团各选6种不同军阶的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？如果用(1，1)表示来自第一个军团具有第一种军阶的军官，用(1，2)表示来自第一个军团具有第二种军阶的军官，用(6，6)表示来自第六个军团具有第六种军阶的军官，则欧拉的问题就是如何将这36个数对排成方阵，使得每行每列的数无论从第一个数看还是从第二个数看，都恰好是由1、2、3、4、5、6组成。历史上称这个问题为三十六军官问题。
&&&&&&& 三十六军官问题提出后，很长一段时间没有得到解决，直到20世纪初才被证明这样的方队是排不起来的。尽管很容易将三十六军官问题中的军团数和军阶数推广到一般的n的情况，而相应的满足条件的方队被称为n阶欧拉方。欧拉曾猜测：对任何非负整数t，n=4t+2阶欧拉方都不存在。t=1时，这就是三十六军官问题，而t=2时，n=10，数学家们构造出了10阶欧拉方，这说明欧拉猜想不对。但到1960年，数学家们彻底解决了这个问题，证明了n=4t+2(t&2)阶欧拉方都是存在的。
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求解，大神们指点下这个怎么算
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调试输出 (aa)
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是1和3
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.计次循环首 (4, aa)
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& && &&&调试输出 (aa)
& & .如果结束
.计次循环尾 ()
热心帮助他人，荣誉+1，希望继续努力(*^__^*) 嘻嘻!
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直接算就可以了 aa=2
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用个计次循环
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算出来的结果=3
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亲~若还有不懂，可以问哦~
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.子程序 _按钮1_被单击
.局部变量 aa, 整数型
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& & aa ＝ aa ＋ 1
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调试输出 (aa)
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补充内容 ( 01:12):
虽然用判断循环对付这个理论上来说要计算快点，但为考虑到多答案，还是用计次循环来做。
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[e=0].版本 2
.支持库 spec
大神，你怎么回答在俄后面.. 俄刚也说这个问题了 .. 你也下载看看~
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意思就是&&aa是在1-3之间的数&&而且 aa除以2余1的&&那只有3匹配了
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大神，你怎么回答在俄后面.. 俄刚也说这个问题了 .. 你也下载看看~
刚看了下你的，代码太多了，明显这个答案是1到4之间的。我这也是当时图计算快速，立马想到了判断循环，随后意识到判断循环只能取最近的一个结果，所以虽然说计次循环理论上要慢点，但它能取到所有答案。
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　　一、加强对数学知识的发生过程的教学，既要注意学生的认知过程的特点，又要注意数学知识的逻样性、连续性、系统性
　　根据创造力来自基本的认知过程的观点，数学教学必须强调认知活动的全面性，使学生的认识真正有机会经历&基本认知过程&，这样才能使创造力的培养真正落在实处。一个比较可行的做法是为学生提供尽可能丰富的知识背景(其中包括与知识有关的课堂以外的生产、生活实际)，让学生通过对知识背景的分析、归纳、抽象和概括而获得相应的理论知识。这样做至少有两个好处:一是丰富的知识背景使学生在面临问题时，能对问题及解决问题所需知识都作出适宜的解释，从而获得知识与问题之间的丰富联结，并选择出创造性的联结方式，获得新颖独特的问题解决方式;二是使所学的知识条件化，使学生懂得在什么样的场合下可以运用相应的知识。教师经常会遇到这样的情况:学生在学习某一概念、定理的当时，能用它来解决相应的问题，但过后，一旦情况发生变化，学生就不知道该如何用它。特别是在解决综合问题、实际问题时，虽然学生具备解决问题的所有知识，但学生却不知道该怎样运用这些知识。究其原因，主要是在单一情景中获得的知识之间的联结也只能是简单而贫乏的，一旦背景发生变化，知识的表征就会发生困难，联结也就难以形成。而使学生在丰富的知识背景中，通过自己主动的思维活动来获取知识，可以使学生在记忆该知识时，将运用该知识的&触发&条件结合起来，从而形成条件化的知识。这样，当学生面临问题时便能迅速、准确的从大脑中检索、提取与任务相关的知识，形成知识与问题之间的丰富联系，并最终选择出解决问题的最佳方案。值得指出的是，&知识的发生发展过程&是对知识原发现过程进行教学法加工后获得的，与&问题解决教学&倡导者所强调的&非常规性&问题解决过程是有区别的。我们认为，系统的知识学习必然表现出与客观实在之间的相对脱离，不可能是对客观现实的真实复制，而学校教育的经济性也要求学生在学习知识时走一条&再创造&的捷径，但&非常规性&间题解决过程则比较强调问题的客观性，要求将实际中的许多不确定性、各种环境条件等都考虑进去，这样，由于问题复杂，影响因素过多，学生的认识水平不高，使学生难以辩明问题的结构，造成思维混乱，问题不能得到解决，系统的知识学习也难以保证。
　　二、充分认识数学基础知识教学的重要性，使学生通过主动学习而建立起结构功能良好的数学认知结构
　　前已述及，任何问题的解决，任何发明创造的实现，都需要相应知识领域的大量专门知识。我们认为，要使学生获得的知识能真正地用来解决问题，关键是要引导学生主动地学习，使他们通过学习.，既掌握知识，又懂得在什么情况下使用知识;既掌握知识的具体事实和细节，又掌握知识的纵横联系、层次结构，把注意力放在知识的概括化和结构化上，形成一种从复杂的联系中思考问题的良好习惯;从而使重要知识、原理与它们的产生条件及相关方面建立起紧密的联系，并达到自动化的程度，从而将重要的知识、原理表征为一个知识组块，以使学生在面临问题时，能把问题的各个方面与重要知识、一般原理联系起来，促成对当前问题的顿悟和解决。当代认知心理学强调知识在学生身心发展中的重要性，强调认知因素(认知加工过程、认知结构)在学习与发展中的直接作用，认为知识在学生信息加工(信息输人的选择、编码、储存和提取等)能力的提高中起到至关重要的作用，认知结构的发展既是学生身心发展的重要标志之一，也是学生身心发展的主要动力之一。特定的知识、技能的缺陷是导致学习能力低下的主要原因。所有这些观点，对我们在数学教学中处理好知识学习与能力(特别是创造力)培养之间的关系都具有重要的指导意义。问题解决教学的倡导者提出，数学课堂教学要以&问题&为中心，认为数学知识的学习可以在问题解决的过程中进行。我们暂且不论包含系统知识的&问题&是否存在，单从知识学习与创造力培养之间的关系来看，这样的做法也是不合适的，事实上是颠倒了两者的关系。我们认为，从意识到问题的存在，到发现问题的所在、寻找解题策略、确定解题策略、对解题过程进行反思，整个问题解决过程中处处都体现着知识的作用，而创造性地解决问题所需要的相应知识的重新表征、知识与知识之间的新颖独特的联结也是要在具备相关知识的基础上才能获得的，因此，企图通过脱离数学基础知识的系统教学而培养学生的问题解决能力的做法就好象造房子而不管打地基一样。心理学的研究也表明，只有将一般认识能力训练与科学知识学习相结合，才能更有助于解决问题能力的培养。否则，数学知识的学习会变得零零碎碎，学生无法学到系统的数学基础知识，而解决问题能力的培养也会失去必要的数学基础知识的保障。
　　三、重视策略化知识的教学，数学教学中尤其要注重数学思想、数学方法的教学
　　数学思想、数学方法既要理解为数学中的深层次基础知识，又要理解为解决问题时的思维策略。心理学家指出，人们在学习和思考时，注意力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识及程序之间不断转换，不仅要意识到自己的加工材料，而且要意识到自己的加工过程和加工方法，不断反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程。因此，要使元认知在创造性的问题解决过程中发挥作用，就必须在头脑中储存有关如何学习和如何思考的策略性知识。在数学学科里，这种策略性知识与事实性知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、相互融合的，只要教师在数学课堂教学中有意识地渗透、传授，学生就可以通过教学获得大量的关于解决数学问题懂得一般的和特殊的策略性知识。例如，数学中的配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法等基本方法，既是解决问题的基本手段，又是数学思想的直接体现;观察、分析、猜想、综合、归纳、类比、抽象、概括等数学思维方法是思考数学问题的一般方法;数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等是高层次的数学思想方法，具有观念性的作用。所有这些策略性知识的传授都可以与数学具体知识的学习与运用结合起来，成为数学教学整体中的一个有机的组成部分。新修订的高中数学教学大纲中把数学思想和方法列人基础知识的范畴，使数学思想和方法的地位和作用得到了更充分的体现，这有利于促使广大数学教师更加重初扭寸数学思想和方法的教学，从而更有利于培养学生的能力。
　　四、重视非认知因素的作用
　　前面我们对动机、态度及认知方式等与创造力之间的关系作了一些论述，从中我们可以看到，发展学生的内在动机，培养学生良好的态度，塑造学生健全的人格，对于发展学生的创造力是至关重要的。就激发学习动机而言，认知心理学关于有意义学习的理论值得我们重视。认知心理学认为，要使学生的学习成为有意义学习，首先学习材料本身必须是有意义的，这种意义包括心理意义和社会意义两个方面，既要使学生感到所学习的数学知识无论对自身发展还是对社会发展都是有用的;第二，学生的认知结构中具有适当的、可以与新知识进行相互联系和作用的知识，从另一个角度上说，就是新知识对学生来说是难度适当的，新知识对学生既有智力的挑战性，又使学生经过努力可以赢得挑战，用维果斯基的话来说，就是新知识是学生的&最近发展区&。知识处于&最近发展区&时，最能激发学生的学习动机。认知心理学还提出了通过引发认知冲突或惊奇感来激发内在动机的做法。学习应当成为学生自己的积极主动的活动，而这需要有学生对任务的持续兴趣作为保障，否则，外部奖赏再诱人也不能维持长时间的艰苦学习。心理学家认为，只有设法使学生&卷入&任务之中，才能达到激励内在动机的目的。促使学生&卷入&学习任务的最佳法方法是使学生经常具有&成功体验&。要做到这一点，除上面所说的学习任务难度适当，学生能&跳一跳摘到果子&外，教师还应向学生传授思维的方法和技巧。另外，&教师应较少详细叙述事实，较多提出问题，较少给予现成答案;要指出所教课程的戏剧性、美妙之处，引发美感;必须引发智力活动过程，必须产生对知识本身的感受。&由以上论述我们可以看到，认知因素与非认知因素事实上是学生认知活动过程中相辅相成、互为条件的两个方面。当然，由于学生认知水平发展的限制，特别是非认知因素的不稳定性，教师的启发诱导就显得极其重要，教师应在组织课堂教学是精心安排教学过程，设法使学生从自己的切身体会出发去学习新知识，使学生的学习变得富有情趣。数学教学中培养学生的创造力，即使时代发展的要求，也是数学教学内部规律性的体现，并且也是数学学科的优势之一，因此应成为广大数学教师的自觉行动。
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