已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．【考点】．【专题】新定义．【分析】（1）可取M=1，验证即可；（2）M=1时，由f（x+1）=-f（x）可得到函数f（x）的一个性质：周期性；（3）由题意可得h（x+M）=-Mh（x）成立，既&sin（ωx+ωM）=-Msinωx，可对M分|M|＞1，|M|＜1及|M|=1三种情况讨论解决．【解答】解：（1）取&M=1&&对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P（2）M=1时，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立．&&既&sin（ωx+ωM）=-Msinωx若|M|＞1，取sinωx=1，则&sin（ωx+ωM）=-M对x∈R恒成立时不可能的．若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则&&对x∈R也不成立．∴M=±1当&M=1时&&&sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；当M=-1时&&sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z综上可得ω=kπ（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的周期性与最值，难点在于（3）中对M取值范围的分类讨论及和差化积公式与根据三角函数值求角的灵活应用，属于难题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：wfy814老师　难度：0.43真题：1组卷：2
解析质量好中差当前位置：
＞＞＞对定义域是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=．（1）若函..
对定义域是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=．（1）若函数f（x）=，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．
题型：解答题难度：中档来源：湖南省月考题
解：（1）h（x）=．（2）当x≠1时，h（x）==x﹣1++2，若x＞1时，则h（x）≧4，其中等号当x=2时成立若x＜1时，则h（x）≦0，其中等号当x=0时成立∴函数h（x）的值域是（﹣∞，0]∪{1}∪[4，+?） （3）令f（x）=sin2x+cos2x，α= 则g（x）=f（x+α）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x﹣sin2x， 于是h（x）=f（x）f（x+α）=（sin2x+co2sx）（cos2x﹣sin2x）=cos4x．另解令f（x）=1+sin2x，α=，g（x）=f（x+α）=1+sin2（x+π）=1﹣sin2x，于是h（x）=f（x）f（x+α）=（1+sin2x）（1﹣sin2x）=cos4x．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“对定义域是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=．（1）若函..”主要考查你对&&分段函数与抽象函数，函数的定义域、值域，三角函数的诱导公式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
分段函数与抽象函数函数的定义域、值域三角函数的诱导公式
分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）诱导公式：
公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
&的三角函数值．&&(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；&&(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：&&&
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．&&&
以诱导公式二为例：
&若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：&&& &&&& 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：&&&&& 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
发现相似题
与“对定义域是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=．（1）若函..”考查相似的试题有：
245615774510303568837343248193467145当前位置：
＞＞＞设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x..
设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(x+y2)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．（Ⅰ）求f(12)，f(14)；（Ⅱ）求α的值；（Ⅲ）求g(x)=3sin(α-2x)+cos(α-2x)的单调增区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）令x=1，y=0，f(12)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα令x=12，y=0，f(14)=f(12)sinα=sin2α．（Ⅱ）令x=1，y=12，f(34)=f(1)sinα+(1-sinα)f(12)=sinα+（1-sinα）sinα=-sin2α+2sinα．令x=34，y=14，f(12)=f(34)sinα+(1-sinα)f(14)=-2sin3α+3sin2α∴-2sin3α+3sin2α=sinα∴sinα=12∵α∈(0，π2)∴α=π6；（Ⅲ）g(x)=3sin(π6-2x)+cos(π6-2x)=2sin(π6-2x+π6)=2sin(π3-2x)=2sin(2x+2π3)要使g（x）单调增区间，则2kπ-π2≤2x+2π3≤2kπ+π2?k∈z∴单调增区间是：[kπ-7π12，kπ-π12]?(k∈z)．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x..”主要考查你对&&已知三角函数值求角，正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
已知三角函数值求角正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）
反三角函数的定义：
（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx； 注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1≤a≤1）。 （2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。 （3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。 反三角函数的性质：
（1）sin（arcsina）=a（-1≤a≤1），cos（arccosa）=a（-1≤a≤1）， tan（arctana）=a； （2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=π-arccosa，arctan（-a）=-arctana； （3）arcsina+arccosa=； （4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间[0，π]上成立。已知三角函数值求角的步骤：
（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上）； （2）若函数值为正数，先求出对应锐角α1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α1； （3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2π间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果适合条件的角在第三象限，则它是π+α1；在第四象限，则它是2π-α1；如果是-2π到0的角，在第四象限时为-α1，在第三象限为-π＋α1，在第二象限为-π-α1；（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。 正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，
1．正弦函数 2．余弦函数函数图像的性质 正弦、余弦函数图象的性质： 由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正弦、余弦函数图象的性质：
由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。
发现相似题
与“设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x..”考查相似的试题有：
503355432011435037484507471488439045设a∈(0,90度),函数f(x)的定义域为〔0,1〕,且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时有f〔(x+y)/2〕=f(x)sina+(1-sina)f(y). （1）求f(1/2)、f(1/4), （2）求a的值 （3）求函数g(x)=sin(a-2x)的单调递增区间 第一问会,主要是第二问_百度作业帮
设a∈(0,90度),函数f(x)的定义域为〔0,1〕,且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时有f〔(x+y)/2〕=f(x)sina+(1-sina)f(y). （1）求f(1/2)、f(1/4), （2）求a的值 （3）求函数g(x)=sin(a-2x)的单调递增区间 第一问会,主要是第二问
设a∈(0,90度),函数f(x)的定义域为〔0,1〕,且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时有f〔(x+y)/2〕=f(x)sina+(1-sina)f(y). （1）求f(1/2)、f(1/4), （2）求a的值 （3）求函数g(x)=sin(a-2x)的单调递增区间 第一问会,主要是第二问哈……要对的答案第一问算出来.f(1/2)=sinaf(1/4)=sin²a.
之前漏看了这个：“当x≥y时”了!正确做法：x=1,y=0 f(1/2)=sinax=1/2,y=0f(1/4)=sina^2 x=1,y=1/2 f(3/4)=sina+(1-sina)sina=-sina^2+2sina x=3/4,y=1/4f(1/2)=(-sina^2+2sina)sina+(1-sina)sina^2=-2sina^3+3sina^2-2sina^3+3sina^2=sina0设函数F(X)=1/2-1/2SIN2X（1）求函数最小正周期（2）设函数G(x)对任意X属于R,有G(x+π/2）=G(x)且当X属于【0,π/2]时G(x)=1/2-F(x)求G(x)在【-π,0】上的解析式_百度作业帮
设函数F(X)=1/2-1/2SIN2X（1）求函数最小正周期（2）设函数G(x)对任意X属于R,有G(x+π/2）=G(x)且当X属于【0,π/2]时G(x)=1/2-F(x)求G(x)在【-π,0】上的解析式
设函数F(X)=1/2-1/2SIN2X（1）求函数最小正周期（2）设函数G(x)对任意X属于R,有G(x+π/2）=G(x)且当X属于【0,π/2]时G(x)=1/2-F(x)求G(x)在【-π,0】上的解析式
（1）：F(X)=1/2-1/2sin2x=-1/2sin2x+1/2 （化成F（x）=Asin（wx+φ）+t的形式,这里φ=0,w=2）∴T=2π/|w|=2π/2=π（2）：当x∈【0,π/2】时G（x）=1/2-F(x)=1/2-1/2+1/2sin2x=1/2sin2x=1/2（2sinxcosx） （二倍角公式）=sinxcosx∵x∈R时,均有G(x+π/2）=G(x)∴①：x∈【-π,-π/2】时0≤x+π≤π/2∴G（x+π）=1/2-F(x+π) （这里x+π∈【0,π/2】,故用x+π代替x）=1/2-1/2+sin（x+π）cos（x+π）=-sinxcosx （三角函数的诱导公式）②：当x∈【-π/2,0】时0≤x+π/2≤π/2∴G（x+π/2）=1/2-F(x+π/2) =1/2-1/2+sin（x+π/2）cos（x+π/2）=-sinxcosx综上所述,当x∈【-π,0】时G（x）=-sinxcosx友情提醒：把握好三角函数的一般形式y=Asin（wx+φ）+t,对于第二问,要将【-π,0】中的x加上一个数使其在区间【0,π/2】上,这样才能带入G(x)=1/2-F(x).学习愉快!
2，G（x)=1/2sin2x