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已知两定点A（1，1），B（-1，-1），动点P满足，则点P的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
题型：单选题难度：中档来源：专项题
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据魔方格专家权威分析，试题“已知两定点A（1，1），B（-1，-1），动点P满足，则点P的轨迹是[]A．圆..”主要考查你对&&用坐标表示向量的数量积，椭圆的标准方程及图象&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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用坐标表示向量的数量积椭圆的标准方程及图象
两个向量的数量积的坐标运算:
非零向量，那么，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。 向量的数量积的推广1：
设a=(x,y)，则|a|=x2+y2 ，或|a|=
向量的数量积的推广2：
向量的数量积的坐标表示的证明：
&椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在x轴上：；（2）中心在原点，焦点在y轴上：。椭圆的图像：
（1）焦点在x轴：；（2）焦点在y轴：。巧记椭圆标准方程的形式：
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；②椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；③椭圆的标准方程中，三个参数a，b，c满足a2= b2+ c2；④由椭圆的标准方程可以求出三个参数a，b，c的值．
待定系数法求椭圆的标准方程：
求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题：一是分类讨论，全面考虑问题；二是可把椭圆的方程设为n)用待定系数法求出m，n的值，从而求出标准方程，
发现相似题
与“已知两定点A（1，1），B（-1，-1），动点P满足，则点P的轨迹是[]A．圆..”考查相似的试题有：
574401432875266250442228413722243871已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧，且AB=8），与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-14x+48=0的两个根．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
（1）根据知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧，且AB=8），与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-14x+48=0的两个根．
求出两根，根据题意得出A，B，C的坐标，从而可求出抛物线的解析式．
（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，证明出相似三角形以及根据相似三角形的对应线段成比例，和三角函数的运用，以及根据三角形的面积的差做为等量关系求出s和m的函数式．
（3）在（2）的基础上试说明S存在最大值，可求出S的值，并且可知道△BCE是等腰三角形．
解：（1）解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8，
A（-6，0），C（0，8），B（2，0）…（3分）
∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，∴c=8，
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式，得，
解得&&&&．
∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8；　…（2分）
（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF=．&…（1分）
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG=sin∠CAB=，
∴FG=o=8-m，
∴S=S△BCE-S△BFE=（8-m）×8-（8-m）（8-m）
=（8-m）（8-8+m）=（8-m）m=-m2+4m．　…（2分）
自变量m的取值范围是0＜m＜8；　　…（1分）
（3）存在．
理由：∵S=-m2+4m=-（m-4）2+8且-＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8．　　…（2分）
∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0），
∴△BCE为等腰三角形．　　…（1分）（2005o荆州）已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，⊙O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．（1）直接写出E点的坐标和S△ABE的值；（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O1有哪几种位置关系，并指出对应的运动时间t的范围；（3）当Q点运动在折线AD→DC上时，是否存在某一时刻t使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，说明理由．
（1）依题意容易知道O1的坐标，根据待定系数法可以确定直线AE的解析式，然后求出E的坐标，最后求出S△ABE；（2）容易知道当Q运动到O点时PQ与圆相切，此时t=1，所以可以确定其他位置的t的值；（3）根据已知条件容易知道A（-2，0），B（0，2），OA=2，OB=2然后把S△APQ，S△APM，S四边形PMDQ，S△ADQ分别用t表示，然后根据已知条件可以列出关于t的方程，解方程就可以确定t的值，从而确定直线PQ的函数解析式．
解：（1）由题意知，A（-2，0），B（0，2），∴OB=OD=2，∴O1（1，1），设AO1的直线的解析式为y=kx+b，则有0=-2k+b，1=k+b，解得：b=，k=，∴y=x+，∴E（0，），∴BE=，S△ABE=OAoBE=；（2）直线PQ与⊙O1有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，当PQ与⊙O1相离，0＜t＜1；当PQ与⊙O1相切时，t=1；当PQ与⊙O1相交时，t＞1；（3）①Q点运动在折线AD上时，当点Q运动到原点，即Q（0，0）时，点P的坐标为（-1，1），S△APQ=1，且满足S△APQ：S△ABE=3：4，此时t=1，直线PQ所对应的函数解析式y=-x．②Q点运动在折线AD上时，P到了BA方向，根据已知得A（-2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，AB=2，OD=OB=2，O1（1，1），此时P，Q的位置如图，过P作PM⊥AD于M，P运动的路程为t，∴PB=t-AB=t-2，∴AP=AB-PB=4-t，而△APM为等腰直角三角形，∴PM=AM=4-t，Q运动的路程为2t，∴QD=2t-OA-OD=2t-4，而S△APQ=S△APM+S四边形PMDQ-S△ADQ，S△APM+S四边形PMDQ=+=t2-4t+8，S△ADQ==4t-8，∴S△APQ=t2-8t+16，若S△APQ：S△ABE=3：4，而S△ABE=，∴S△APQ=1，∴1=t2-8t+16，∴t=3或t=5，当t=5时，Q在BC上，不符合题意，舍去，∴AM=1=PM，∴OM=1，P（-1，1），QD=2，∴Q在C点处，∴Q（2，2），设直线PQ的函数解析式为y=kx+b，∴，∴k=，b=，∴y=x+．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．-乐乐题库
& 待定系数法求二次函数解析式知识点 & “如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经...”习题详情
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如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-佛山
分析与解答
习题“如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线...”的分析与解答如下所示：
（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴{c=39a+3b+c=016a+4b+c=3，解得{a=1b=-4c=3，所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3；（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，-1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．
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如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出...
错误类型：
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经过分析，习题“如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线...”主要考察你对“待定系数法求二次函数解析式”
等考点的理解。
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待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
与“如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线...”相似的题目：
已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，-2）且与y轴交于（0，52）（1）求这个二次函数的解析式，并画于它的图象；（2）若这抛物线经过点(2，y1)，(-1，y2)，(723)，试比较y1，y2，y3的大小．&&&&
已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点(0，32)．（1）求二次函数的表达式；（2）画出该二次函数的图象，并指出x为何值时，y随的x增大而增大．&&&&
写出一个开口向上，且对称轴为直线x=2的二次函数解析式&&&&．
“如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经...”的最新评论
该知识点好题
1二次函数：y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）两点，其顶点坐标是&&&&．
2由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是&&&&
3已知抛物线y=ax2+bx+c过（1，-1）、（2，-4）和（0，4）三点，那么a、b、c的值分别是&&&&
该知识点易错题
1若抛物线y=x2-kx+k-1的顶点在坐标轴上，则k=&&&&．
2已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点，则抛物线的函数关系式是&&&&．
3抛物线y=x2-2√ax+a2的顶点在直线y=2上，则a=&&&&．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．”相似的习题。已知如图，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）设点s是三角形ABH上的一动点，从点A沿着AHB方向以每秒1个单位长度移动，运动时间为t秒，到达点B时停止运动．当t为何值时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．
（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
（1）求出方程ax2+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：y=x+对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）首先判定△ABH是等边三角形，进而构造直角三角形得出t的值即可；
（4）得出直线AH，BK的解析式，得到方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
解：（1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），
即x2+2x-3=0，
解得x1=-3，x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（-3，0），（1，0）．
∵直线l：y=x+，
当x=-3时，y=×（-3）+=0，
∴点A在直线l上．
（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y=x+对称，
∴AH=AB=4，
如图1，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC=AB=2，HC=2，
∴顶点H（-1，2），
代入二次函数解析式，解得a=-，
∴二次函数解析式为y=-x2-x+，
答：二次函数解析式为y=-x2-x+，
（3）∵A点坐标为（-3，0），点H（-1，2），
∵B点坐标为（1，0），点H（-1，2），
∵A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
∴AB=4，即AB=AH=BH=4，
∴△ABH是等边三角形，
如图2，过点S作SC⊥AB于点C，过点S1作S1E⊥AB于点E，
设当t秒时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．
则AS=t，AC=t，SC=t，
此时SC=CO，
解得：t=2（-1），
同理可得：S1B=AH+HB-t=8-t，BE=，S1E=，
当EO=S1E，
解得：t=9-，
故当t=2（-1）或t=9-时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．
（4）∵A点坐标为（-3，0），点H（-1，2），
∴讲两点代入解析式y=kx+b，
故直线AH的解析式为y=x+3，
同理可得出：直线BK的解析式为：y=x-，
即K（3，2），
∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2），
∴HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2，
如图3，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2，
则QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．