知识点梳理
常常使用的方法是：1.常用辅助线构造基本图形，如“A”型，“x”型。2.证明等积式常常先化为比例式，找或中间比。
【区间最值】函数&{{y=ax}^{2}}+bx+c（a>0）在&m<x<n&上的最值问题：对于&a<0&的情况，讨论类似．
1.公式：S=0.5ah(a是的底，h是底所对应的高)2.注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求长度的基础。3.还有其他的公式如海伦公式等。
【的性质】三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
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举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一...”，相似的试题还有：
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．(1)求AD的长．(2)当x为何值时，△APD是等腰三角形？(3)求BE的长(用含x的代数式表示)；(4)是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由．
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ．(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．(1)当∠BQD=30°时，求AP的长；(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；(3)在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6．
（1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB 1 C 1 ；（2）若点B的坐标为_百度作业帮
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在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6．
（1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB 1 C 1 ；（2）若点B的坐标为
在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6．
（1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB 1 C 1 ；（2）若点B的坐标为（－5，5），试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标；（3）作出与△ABC关于原点对称的图形△A 2 B 2 C 2 ，并写出A 2 、B 2 、C 2 三点的坐标．
（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，A（﹣2，﹣1）；C（﹣5，﹣1）；（3）作图见试题解析，A 2 （2，1）、B 2 （5，﹣5）、C 2 （5，1）．
本题考点：
问题解析：
(1)A不变，以A为旋转中心，顺时针旋转90?得到关键点C. B的对应点即可； (2)向右5个单位，再向下5个单位即为坐标原点，建立坐标系即可； (3)连接AO并延长AO到A2，使A20=AO，得到A的对应点，同法得到其他各点的对应点即可。 试题解析：(1)如图(2分)； (2)如图A(﹣2,﹣1)；C(﹣5,﹣1)； (3)如图A2(2,1)、B2(5,﹣5)、C2(5,1).在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：∠ABC=30°，∠A′BC=90°，OA+OB+OC=7．【考点】．【专题】作图题；压轴题．【分析】解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．【解答】解：∵∠C=90°，AC=1，BC=，∴tan∠ABC===，∴∠ABC=30°，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C=2+A′B2=2+22=，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．故答案为：30°；90°；．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A′、O′四点共线是解题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：星期八老师　难度：0.47真题：3组卷：102
解析质量好中差如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若∠cef=∠b,求证：da=db；（2）在（1）的条件下,求证：ae2+bf2=ef2_百度作业帮
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若∠cef=∠b,求证：da=db；（2）在（1）的条件下,求证：ae2+bf2=ef2
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若∠cef=∠b,求证：da=db；（2）在（1）的条件下,求证：ae2+bf2=ef2
考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形；②当AC=3,BC=4时,分两种情况：（I）若CE：CF=3：4,如答图2所示,此时EF∥AB,CD为AB边上的高；（II）若CF：CE=3：4,如答图3所示．由相似三角形角之间的关系,可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD,从而得到CD=AD=BD,即D点为AB的中点；（2）当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A,∠C=∠C,从而可以证明两个三角形相似．（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形,如答图1所示．此时D为AB边中点,AD=AC=．②当AC=3,BC=4时,有两种情况：（I）若CE：CF=3：4,如答图2所示．∵CE：CF=AC：BC,∴EF∥BC．由折叠性质可知,CD⊥EF,∴CD⊥AB,即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴BC=5,∴cosA=．AD=AC&#8226;cosA=3×=1.8；（II）若CF：CE=3：4,如答图3所示．∵△CEF∽△CAB,∴∠CEF=∠B．由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°,又∵∠A+∠B=90°,∴∠A=∠ECD,∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD,CD=BD,∴此时AD=AB=×5=2.5．综上所述,当AC=3,BC=4时,AD的长为1.8或2.5．（2）当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似．理由如下：如答图3所示,连接CD,与EF交于点Q．∵CD是Rt△ABC的中线,∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B．由折叠性质可知,∠CQF=∠DQF=90°,∴∠DCB+∠CFE=90°,∵∠B+∠A=90°,∴∠CFE=∠A,又∵∠C=∠C,∴△CEF∽△CBA．点评：本题是几何综合题,考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质．第（1）②问需要分两种情况分别计算,此处容易漏解,需要引起注意．（2014o汕头模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若∠CEF=∠A，AC=3，BC=4，则AD的长9595；（2）若∠CEF=∠B，求_百度作业帮
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（2014o汕头模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若∠CEF=∠A，AC=3，BC=4，则AD的长9595；（2）若∠CEF=∠B，求
（2014o汕头模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若∠CEF=∠A，AC=3，BC=4，则AD的长；（2）若∠CEF=∠B，求证：DA=DB；（3）在（2）的条件下，求证：AE2+BF2=EF2．
（1）∵∠CEF=∠A，∴EF∥AB，由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=2+42=5，∴cosA==，∴AD=ACocosA=3×=，故答案为：；证明：（2）连结CD，交EF于点G，则EF⊥CD，∵∠CEF+∠CFE=90°，∠GCF+∠CFE=90°，∴∠CEF=∠GCF．∵∠CEF=∠B，∴∠B=∠GCF．∴DC=DB．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&∵∠FCG+∠ACD=90°，∠B+∠A=90°，∴∠A=∠ACD．∴DC=DA．∴DB=DA；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（3）证明：延长ED到H，使DH=DE，连结BH，FH，∵FD⊥ED，∴FE=FH，由（2）得，DB=DA，在△AED和△DHB中∴△AED≌△BHD，∴BH=AE，∠DBH=∠A，∵∠A+∠CBA=90°，∴∠HBF=∠DBH+∠CBA=90°，在Rt△BFH中，FH2=BF2+BH2，∴AE2+BF2=EF2．
本题考点：
翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
问题解析：
（1）求出EF和AB平行，得出CD是高，求出cosA，即可求出AD；（2）连接CD，求出BD=CD，AD=CD，即可得出答案；（3）求出AE=BH，根据勾股定理求出FH，再求出EF=FH即可．