求证北部湾：ln(1+1/n)>1/n

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-08 07:19 标签： 求证
求高人级数 (1/√n)*ln(n+1/n-1) 是发散还是收敛
当n→∞时,ln部分可利用等价无穷小,而级数∑1/(n√n)收敛,由比较判别法可知原级数收敛.具体解析如下下图为Wolfram Alpha查询到的结果
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求教，ln(1+n)/(n*n)是收敛的还是发散的？
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如题，帮帮忙呗~
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这个明显的收敛，n无穷大时ln（1+n）比n是无穷小，既上式整体小于1/n故收敛
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收敛，我是觉得（1+n)/n*n收敛，利用通项加1比通项，也就是所谓的比值判别法，得出（1+n)/n*n收敛，你觉得呢？
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& & 是，当n无穷大是ln(n+1)是n的无穷小，那么原式不就等价与1\n了吗？而1\n是发散的呀，原式不就应该是发散的吗？
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& &n分之一本身是无穷小，但是发散，可以求无穷大的极限得到1/(n+1)*n,这个就是收敛了
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本帖最后由 z6491679 于
11:58 编辑
收敛，我们可以把它拆开成an = (1\n)^1.5*（ln(i+n)\n^0.5）
对于ln(i+n)\n^0.5 = A，当n比较大的时候(eg:n & N)，就有A & 1,
那么在n & N时，
an & (1\n)^1.5 = bn,
而bn是收敛的，
而且前N项和是常数B，所以
an & B + b(N) + b(N+1) + …… 收敛这是我目前想出来的唯一证法了，因为ln(1+n)可以说是最小的“指数型”函数，它没有什么函数能接近的。
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& & 你说的是无穷级数，不过依旧收敛。。。
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收敛，首先，楼主你没有说明问题是数列收敛还是无穷级数收敛，不过对于这个式子来说两个都收敛，因为ln(1+n)&n,n^n&n^3，所以原式&1/n^2，而1/n^2的无穷级数是收敛的，所以原式收敛。
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......是n^2,不是n^n
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& & o.o，把那个*看成^了，不过无所谓，放缩小一点就可以了，分子那个对数小于n^0.5，比上n^2之后为n^1.5，一样收敛。
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本帖最后由 wowah 于
14:17 编辑
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本帖最后由 wowah 于
14:17 编辑ln(n+1)>1/2+1/3+1/4+...1/n+1
令f(x)=ln(1+x)-[x/(1+x)],x∈(0,1]f'(x)=[1/(1+x)]-[1/(1+x)²]=x/(1+x)²>0,故f(x)在(0,1]递增,∴函数f(x)>f(0)=0则ln(1+x)>x/(1+x),x∈(0,1]令x=1/n,则ln[1+(1/n)]>1/(n+1),n≥1,且n∈N*即ln[(n+1)/n]>1/(n+1),∴ln(n+1)-lnn>1/(n+1)ln2-ln1+ln3-ln2+...+ln(n+1)-lnn>1/2 + 1/3 +...+1/(n+1)∴ln(n+1)-ln1>1/2 + 1/3 +.+1/(n+1),即得证.
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利用不等式ln(1+1/x) > 1/x (证明用单调性即可)把x从1到n相加即可
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答：柯西积分判别法:若f(x)x>0是非负的不增函数,则级数∑[n从1到正无穷]f(n)与积分∫[1到正无穷]f(x)dx同时收敛或同时发散.记f(x)=1/(xln(x+1)),满足f(x)x>0是非负的不增函数.因为1/(nln(n+1))>1/((n+1)ln(n+1))∫[1到正无穷]1/((x+1)ln(x+1)) dx=lnln(x+1)[1到正无穷]=+∞所以级数 ∑[n从1到正无穷]1/((n+1)ln(n+1)) 发散,由比较判别法知：级数 ∑[n从1到正无穷]1/(nln(n+1)) 发散.
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