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已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，求正整数k的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]．∴a≥-3；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，即xolnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立，也就是k（x-1）＜xolnx+ax-ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0．则问题转化为k＜xolnx+xx-1对任意x∈（1，+∞）恒成立，设函数h（x）=x(lnx+1)x-1，则h′(x)=x-lnx-2(x-1)2，再设m（x）=x-lnx-2，则m′(x)=1-1x．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1-ln1-2=-1，m（2）=2-ln2-2=-ln2，m（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，m（4）=4-ln4-2=2-ln4＞0．∴?x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，∴h(x)=x(1+lnx)x-1在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴h(x)=x(1+lnx)x-1在（x0，+∞）上递增，∴h（x）的最小值为h（x0）=x0(1+lnx0)x0-1．∵m（x0）=x0-lnx0-2=0，∴lnx0+1=x0-1，代入函数h（x）=x(lnx+1)x-1得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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& 已知函数f x alnx 2 已知函数f(x)=alnx+x^2/2-(1+a)x(x&0),其中a为实数
已知函数f x alnx 2 已知函数f(x)=alnx+x^2/2-(1+a)x(x&0),其中a为实数
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已知函数f(x)=alnx+x^2/2-(1+a)x(x&0),其中a为实数佟掌柜,你好~~(我也很喜欢武林外传的~)言归正传,此题需用导数知识,您应该学了吧。不过我还是再提一下。【当然您也可直接跳过】储备知识:1.我们可用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的法则:设y=f(x )在(a,b)内可导。如果在(a,b)内,f(x)&0,则f(x)在这个区间是单调增加的。如果在(a,b)内,f(x)&0,则f(x)在这个区间是单调减小的。2. 【很显然,(Cu)’=Cu’ (C为常数)】★另有常用导数表:【打星号★的为下面解题用得到的】(x^n)’=nx^(n-1) ★(a^x)’=a^xlna(e^x)’=e^x(e是自然常数)(log(a)x)’=log(a)e/x=1/xlnx【a是底数,x是真数】(lnx)’=1/x★……解:1)f(x)=alnx+x^2/2-(1+a)x (x&0)f’(x)=a/x。
dgh。已知函数f(x)=alnx+2/x+x,1其中a属于R 若a=1,求f(x)极值点 2若f。1) a=1,f(x)=lnx+2/x+x定义域为x&0f(x)=1/x-2/x2+1=(x2+x-2)/x2=(x+2)(x-1)/x2得极值点x=1,此为极小值点极小值为f(1)=0+2+1=32)f(x)=a/x-2/x2+1=(x2+ax-2)/x2在x&1单调增,则在此区间x2+ax-2&=0即a&=(2-x2)/x=2/x-x=g(x)g(x)=-2/x2-1&0因此g(x)单调减,最大值为g(1)=2-1=1所以a的取值范围是a&=1。已知函数f(x)=2/x+alnx-2(a&0) (1)f(x)=2/x+alnx-2=&f(x)=-2/x2+a/x=&f(1)=a-2=-1(与直线垂直)=&a=1 f(x)=-2/x2+1/x(x&0)可得到:(0,2)单减;(2,+∞)单增 (2)g(x)=2/x+lnx+x-b-2=&g(x)=-2/x2+1/x+1=&g(x):(1/e,1)单减;(1,e)单增最小值为g(1) 那么有两个零点,只需:g(1)b∈(1,2/e+e-1]。已知函数f(x)=alnx+x^2,a是常数 f(x)=alnx+x^2 1a=2 f(x)=-2lnx+x^2 导数为-2/x+2x 因为x(1,+∞) 所以-2/x2 所以-2/x+2x&0 所以=f(x)在(1,+∞)上市增函数 2导数是a/x+2x=(a+2x^2)/x A若a&-2 y=f(x)在(1,+∞)上市增函数 所以最小值是f(1)=1 B若a=x^2-2x a&=(x^2-2x)/(x-lnx) 因为导数 (x^2-2x)/(x-lnx)=((2x-2)(x-lnx)-(1-1/x)(x^2-2x))/(x-lnx)^2 =(2x^2-2xlnx-2x+2lnx-x^2-2+x+2x)/(x-lnx)^2 =(x^2+x+2lnx-2xlnx-2) 代x=1导数=0 x&1导数单调曾 所以a&=(e^2-2e)/(e-1)。已知函数f(x)=x-alnx,(a属于R)(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A。(1)当a=2时,f‘(x)=1-2/x f’(1)=1-2=-1f(1)=1 得到切线方程为y=-x+2 (2)f‘(x)=1-a/x 当a0恒成立此时无极值 当a&0时,f(x)在(a,+无穷)上递增,(0,a)上递减 此时有极小值f(a)=a-alna。已知函数f(x)=x^2+alnx若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,。已知函数f(x)=x^2+alnx若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范 解析:∵函数f(x)=x^2+alnx,其定义域为x&0 G(x)=f(x)+2/x=x^2+alnx+2/x 令G’(x)=2x+a/x-2/x^2=0==&(2x^3+ax-2)/(x^2)=0 ∵x^2&0 ∴2x^3+ax-2=0==&a=(2-2x^3)/x 当a=0时,x=1 G’’(x)=2-a/x^2+4/x^3=(2x^3-ax+4)/x^3 ∴G’’(1)&0 ∴G(x)在x=1处取极小量值 ∴g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数 当a&0时 (2-2x^3)/x&0==&0x&1 ∴g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上不是单调函数 综上:实数a的取值范围为a&=0。已知函数f(x)=x^2+alnx.若g(x)=f(x)+2/x? - 爱问知识人已知函数f(x) =x^2+alnx.若g(x)=f(x)+2/x在[1,正无穷)上是单调增函数,求实数a的取值范围 g(x)=f(x)+(2/x)=x^2+alnx+(2/x) 所以:g(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2 因为x∈[1,+∞),所以:x^2&0 则,令h(x)=2x^3+ax-2 要满足g(x)在[1,+∞)上是单调增函数,则g(x)在该区间上大于零,亦即函数h(x)在该区间上的最小值大于零 h(x)=6x^2+a h(x)=12x&0 所以,h(x)为单调增函数 所以,h(x)在[1,+∞)上的最小值为h(1)=6+a 所以,6+a&0 则,a&-6
g(x)=f(x)+(2/x)=x^2+alnx+(2/x), g(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2。 当x∈[1,+∞)时,g(x)和h(x)=2x^3+ax-2同号。 【现在关键】。
求导数 g(x)=2x+a/x-2/(x^2). g(x)x^2于g(x)在[1,+∞)上同号,g(x)x^2=2x^3+ax-2的导数是6x^2+a. 想要在[1,+∞)上不变号,就要a&=-6.。已知函数f(x)=alnx+2(1-x)/1+x定义域为(0,1),则发(x)的。大致判断一下 在区间上a.&0 alnx递增函数,2(1-x)/1+x递减函数 f(x)&0a&0 alnx递j减函数,2(1-x)/1+x递减函数 f(x)&0a=0 alnx为0,2(1-x)/1+x递减函数 0&f(x)&2
没图啊,亲。已知函数f(x)=x^2-x+alnx,当x大于等于1时,f(x)小于等于x^2。答:f(x)&=x^2令g(x)=f(x)-x^2=-x+alnxg(x)=-1+a/xx&=1时,g(1)=-11)当a&=1时,x&=1,g(x)=-1+a/x&=0,g(x)是减函数,g(x)&=g(1)=-1&02)当a&1时,x&=1,g(x)=-1+a/x&=a-1,令g(x)=-1+a/x=0,x=a&1。当1&=x&=a时,g(x)&=0,g(x)是增函数;当x&=a时g(x)&=0,g(x)是减函数。说明g(x)在x=a&1处取得最大值:g(a)=-a+alna&=0,lna&=1,1&a&=e综上所述,a&=e时,g(x)=f(x)-x^2=-x+alnx&=0即f(x)&=x^2恒成立
g(x)=x^2-x+alnx-x^2=-x+alnxg(x)=-1+a/x令g(x)=0x=a a&1 g(x)=-1+a/x&0故 a的取值范围 a&1。已知函数(f)=2/x+alnx-2(a&0)(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处。已知函数f(x)=2/x+alnx-2(a&0)(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,球函数的y=f(x)单调区间;(2)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e^-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围。(1)f(x)=2/x+alnx-2 =&f(x)= -2/x2+a/x =& f(1)=a-2=-1(与直线垂直) =&a=1f(x)= -2/x2+1/x (x&0)可得到:(0,2)单减;(2,+∞)单增(2)g(x)=2/x+lnx+x-b-2 =& g(x)= -2/x2+1/x+1 =& g(x):(1/e,1)单减;(1,e)单增 最小值为g(1)那么有两个零点,只需:g(1)&0;g(1/e)≥0;g(e)≥0 =& b∈(1,2/e+e-1]。
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1.75亿学生的选择
请问：f（x）=xlnx （a-1）x2y-x=4m2-2m 1-4m
∴(√a √b) 2;≥0 ∴a b-2√ab≥0 相对A×B＝{a 2,2a,a 3,2a 1相对y=sin（1/2x π/6） 还是 y=sin（1/2x π/3）1.2（x 3)2=x(x 3) 2.x22根号5x 2=0
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在线咨询下载客户端关注微信公众号&&&分类：（2013o唐山二模）已知函数f(x)=xlnx-a2x2，a∈R（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）单调递减，求a的最小值；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围．（2013o唐山二模）已知函数2，a∈R（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）单调递减，求a的最小值；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围．科目:难易度:最佳答案解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=lnx+1-ax．f（x）在（0，+∞）单调递减当且仅当f′（x）≤0，即?x∈（0，+∞），a≥．①设g（x）=，则g′（x）=-2．当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）≤g（1）=1，故a的最小值为1．…（5分）（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当a≥1时，f（x）没有极值点．②当a≤0时，f′（x）单调递增，f′（x）至多有一个零点，f（x）不可能有两个极值点．…（7分）③当0＜a＜1时，设h（x）=lnx+1-ax，则h′（x）=-a．当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．…（9分）因为f′（）=h（）=ln＞0，f′（）=h（）=-＜0，所以f（x）在区间（，）有一极小值点x1．…（10分）由（Ⅰ）中的①式，有1≥，即lnx≤x-1，则ln≤-1，故f′（2）=h（2）=ln2+2ln+1-≤ln2+2（-1）+1-=ln2-1＜0．所以f（x）在区间（，2）有一极大值点x2．综上所述，a的取值范围是（0，1）．…（12分）解析（Ⅰ）求导函数，利用f（x）在（0，+∞）单调递减，可得不等式，分离参数，求最值，即可求a的最小值；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用f（x）有两个极值点，即可求a的取值范围．知识点:&&&&基础试题拔高试题热门知识点最新试题
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