数学题一道残忍的数学题。。。。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-10 00:37 标签：
有9个人，每三个人中至少有两个互相认识，求证这里面至少有4个人互相认识
PKU官方题解：
看完上面这个，我是：
下面说一下我的证明吧QAQ应该比上面的好懂
我们把每个人想象成一个节点，然后每个人之间都连一条边，构成一个有$\frac{9&8}{2}$条边的无向图。然后我们给所有边进行红黑染色，红色边代表连接的两个人互相认识，黑色边则代表不认识。那么原来的结论就等价于图中必然存在四个点，四个点之间的红色边能构成一个红色四边形，且这个图满足下面的引理1。
弱弱的引理1：
每三个人中至少有两个互相认识$\Longleftrightarrow$每三个人的关系中不存在三个人都互不认识的情况每三个人的关系中不存在三个人都互不认识的情况$\Longleftrightarrow$无向图中不存在三个点间的三条边都为黑色无向图中不存在三个点间的三条边都为黑色$\Longleftrightarrow$图中不存在黑色三角形
我们只要证明这个蓝色结论就可以啦～
对于任意一个点，连接这个点的边有8条，且边的颜色只能是红色或黑色。由鸽巢原理得(其实下面要说的谁都懂，但是我就要说一个看起来比较高大上的名字)：在这8条边中一定存在一种颜色的边数&4(这不是废话吗)。
然后就可以分情况讨论啦：
1.存在一个点，这个点连接的所有边中黑色边数&4
2.不存在这样的点，这个点连接的所有边中黑色边数&4；及所有点连接的黑色边数都&3；也就是说所有点连接的红色边数都&5
1和2两种情况的并集是全部情况，所以我们只要依次证明情况1和情况2是蓝色结论的充分条件就行啦～
情况1下的证明：
　　我们随意选一个点，满足条件这个点连接的所有边中黑色边数&4，给它编号为1。因为它连接的8条边中黑色边数&4，任选与1相连的4条黑边，给这4条黑边连接的点一次编号为2、3、4、5。因为1和2、3、4、5的连边都是黑色，由引理1得图中不能存在黑色三角形，及2和3、3和4、4和5、5和2&&&&&&这些点间的连边不能为黑色，也就是说2和3、3和4、4和5、5和2&&&&&&这些点之间都是红色边，这样恰好构成了一个红色四边形。由此可得情况1是蓝色结论的充分条件。
情况2下的证明：
　　因为所有点连接的红边数都&5，那么假设所有点连接的红边数都等于5，这样图中$红边总数=\frac{9&5}{2}$，地球人都知道这是除不开的，那么由鸽巢原理得again：一定存在一个点连接的红边数&6(很显然吧，鸽巢原理在平均数上的变形详见《组合数学》)。那么我们对一个连接红边数&6的点编号为1，对它的红边连接的点中选6个依次编号为2、3、4、5、6、7。我们设集合S={2,3,4,5,6,7}，1与集合S中的点的连边可以想象成红色四边形中的两条红边，剩下的两条红边在集合S的点之间。对于3这个点，在情况2下它连接的红边数&5，又因为不属于集合S的点为1，8，9，所以再次由鸽巢原理得：3与集合S中其它点的连边中红色边数&2(还是很显然啊，毕竟这是最朴素的鸽巢原理)。设点a，b&S且a，b&3，且a，b与3的连边为红边。这样的话1与a，a与3，3与b，b与1之间的连边都为红边，构成了一个红色四边形。由此可得情况2是蓝色结论的充分条件。
综上，图中必然存在四个点，四个点之间的红色边能构成一个红色四边形，且这个图满足引理1$\Longrightarrow$有9个人，每三个人中至少有两个互相认识，这里面至少有4个人互相认识。
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一次数学竞赛共有20道题．做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬考了112分，你知道刘冬做对了几道题？
题型：解答题难度：中档来源：不详
（20×8-112）÷（8+4），=（160-112）÷12，=48÷12，=4（道），20-4=16（道）．答：刘冬做对了16道．
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据魔方格专家权威分析，试题“一次数学竞赛共有20道题．做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬..”主要考查你对&&鸡兔同笼&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
鸡兔同笼:是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。鸡兔同笼问题，是小学奥数的常见题型。是指已知鸡与兔的总头数和总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。解决鸡兔同笼一般用“假设法”来求解。即假设全是鸡或是全是兔，然后根据出现的足数差，推算出鸡或兔的只数。最后求出另一种动物（鸡或兔）的只数。基本数量关系式，可分两个方面：①假设全是鸡，则有：兔的只数=（总足数-2×总头数）÷2；鸡的只数=总头数-兔子只数。②假设全是兔，则有：鸡的只数=（4×总头数-总足数）÷2；兔的只数=总头数-鸡的只数。鸡兔同笼公式:公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数公式2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数公式3：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡公式7 ：4×+2(总数－x）=总脚数（x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）
例1 、（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。解：①鸡有多少只？（4×6-128）÷（4-2）　=（184-128）÷2　=56÷2　=28（只）②免有多少只？46-28=18（只）答：鸡有28只，免有18只。&& 这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡。我们称这种解题方法为假设法。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数　　当然，也可以先假设全是鸡。　　例2 、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：鸡与兔分别有80只和20只。常见思想:中国古代：孙子的解法“上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得”。翻译成算术方法就是：兔数（94÷2）－35＝12鸡数35－12＝23这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
美国数学家美国杰出数学教育家G ?波利亚对这种解法创设了教学情景：意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式，每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即47条腿。在70这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次，从47这个数减去所有头数35，就剩下兔子的头数了。当然，鸡的只数可立刻求出。这种解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握题中的数量关系，不是所有学生都能理解的。
发现相似题
与“一次数学竞赛共有20道题．做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬..”考查相似的试题有：
9332909365659479411073412973300940426一道可以测出一个人有没有商业头脑的数学题：_王小姐是卖鞋的，_宝宝树
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一道可以测出一个人有没有商业头脑的数学题：
王小姐是卖鞋的，一只鞋进货价45元,甩卖30元，顾客来买双鞋给了张100元，王小姐没零钱，于是找邻铺换了100元。事后邻铺发现钱是假的，王小姐又赔了邻铺100元。请问王小姐一共亏了多少元?（这道题目不简单，到底亏了多少？这道题曾在各种群里做过测试，100人的群，半个小时之内只有1人答对)
亏了215块。100块假钱，鞋子进货价45.找给顾客70块钱。
230，鞋进价45一双，卖了2双90...60卖的找￥40陪100就是90+40+100
260，鞋进价45一双，卖了2双90...60卖的找￥40陪100，进货亏本一双15，买两双就亏30，就是90+40+100+30
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