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初中数学知识点
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『碎片时间快速学，提分更轻松』生活中的数学问题争论（含解答）
生活中的数学问题争论（含解答）
前几天科学网上讨论数学的作用，我在几个跟帖里强调：“数学是研究逻辑能够走多远的学问”。很多人以为数学就是整那些谁也闹不懂，没什么用处的问题；以为学数学就是记住几个公式定理，在论文中装饰一下，实践中未必有用。其实数学训练中最重要的，是概念把握和逻辑推理，而不是怎么计算。你学习数学时如果只对付考试，也许就忽略了。这个解题能力并不是要考虑很高深的问题时才会遇到，其实在生活中也很常见。这里有三个简单的问题给你一个测试。
问题1：有人问葱多少钱一斤？卖葱的说：1块钱1斤，这是100斤，要100元。又问葱白跟葱绿分开卖不卖？答：卖，葱白7毛，葱绿3毛。买葱的人都买下了。切段称了下，葱白50斤，葱绿50斤。最后结算，葱白50x0.7=35元，葱绿50x0.3=15元。35+15=50元。给50元就走了。卖葱的人纳闷了，为什么原来100元的葱，拆开就卖50元呢？
另一个是：
问题2：猎人看到树上一只松鼠，猎人绕着树走一圈，松鼠趴在树后面也跟着转一圈，始终没让他看到它背后。问：猎人绕树转了一圈是不是也绕着松鼠转一圈？一个观点是：当然了，绕着树转一圈也就绕着树上的松鼠转一圈。另一个说：既然他绕着松鼠转一圈，为什么即使没有被树挡着，猎人也看不到它的背？
再算一道题：
问题3：一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走1公里驴要吃掉1根胡萝卜。问：商人最多可卖出多少胡萝卜？
也许有人见过这些题，作为科学网里的数学讨论题，还是要有点新意的。大家可把自己的答案贴在评论。如果想过了这问题还好奇还有什么新意，后天再来看这个帖子更新后贴的。
【声明】文中的题目是有目的那样叙述的，因为要在后天揭晓，所以一般不回复评论。谢谢！
————————————
【解答】贴于评论74，点击6268时
感谢大家热情的参与和解答，不少朋友已经有了很好的或近乎正确的答案，但还是有不少落入博文设计的目标，或启发了兴趣，这让我写下面的博文，不会是无的放矢。
博文中的三道题是为了说明：“数学训练中最重要的是概念把握和逻辑推理”，这里给了从很简单的混淆概念、不明定义到怎么应用逻辑的问题，来引发大家思考。下面的引文不是针对跟帖评论中的任何人，只是编辑典型的事例来说明观点。
有人说：“这葱白和葱绿一样重，可能吗？有这么傻分开卖的吗？这不是来自生活实践的问题！”
那说成葱白10%和葱绿90%，猪肉切开按部位卖，问题的本质有什么不同？数学抽象的训练让我们只关心问题的本质，有能力忽略掉不相干的细节，直接思考有意义的内容。
“这也能叫数学问题？数学最基本的‘概念、条件’都没说清楚。。。数学是严谨的科学！”
这是我最想表明的：数学的训练是让你自己能够发现、把握这个“概念、条件”，而不是像应试那样等着考题来规范。考试题目的严格规范，是为了测试你对课本内容的记忆和了解。生活和工作是应用学到的知识，这要求你有能力把各种问题，规范成能用数学解决的概念（模型）和条件。
更多的评论，在下面解答这些生活中的数学问题里展开。。
问题1：1块钱1斤的葱，拆成葱白7毛，葱绿3毛，是指1块钱的葱分成两部分，其中葱白值7毛和葱绿值3毛钱，而不是葱白单价1斤7毛，1斤葱绿3毛。这卖葱的混淆了价值和价格两个概念，所以计算出错。100斤葱里，如果是对半分成葱白50斤和葱绿50斤，那它们的单价分别应该是1块4和6毛。谁都知道那结果荒谬，但错不在于故事是否真实，而是故事演示一些逻辑给你看，让你准确判断错在哪里。概念清楚了，计算才不会出错。
问题2：什么叫做“绕着转一圈”，在这问题里两种观点没有一致的定义。科学网上很多问题的争论也像是这样，概念含糊不清。日常生活中许多词都是含糊的，没有确切的定义。威廉·詹姆斯在《实用主义》书中以这个“猎人和松鼠”的例子说明，很多争论其实只是语义上的分歧，一但含糊不清的术语被精确地定义，激烈的争论就变得很无谓。数学训练的基本功是抽象能力，争论时应该善于滤去形容词、副词、情绪话语直达内容的本质，讨论有明确定义论点上的分歧。
问题3：这个问题网上有各种答案。性急的，说这是伪问题，1000公里驴子把驮的都吃完了，还卖什么？脑筋急转弯的，说先把驴卖掉，拿钱坐飞机把胡萝卜运去，这就能卖出3000根。讲爱心的，说这事要问驴子怎么看。虚心的，弱弱地问：“老大，驴子为什么要吃胡萝卜？”把它当作计算问题的回答是：
先运1000根到200公里处，放下600根，驮200根够吃的返回。再运1000根，到了200公里处补足吃掉的200根前行333公里，放下334根，返回到200公里处，取了200根吃着回家。第三次再运1000根，到200公里处扫底补足了路上吃掉的，到达333公里的第二站，这时离目的地还有=467公里，这里共有1001根胡萝卜，装上1000根，扣去路上吃的，运到时还有533根。
有人抗议：“你没告诉我沙漠可以停，堆在那儿也不怕兔子咬狐狸叼被人偷了呀？”
这是应试教育出来的书呆子，脑袋被门夹了，想问题时太呆，找借口时又太活络。
有人笑了：“还没有证明533根是最多可以运到的胡萝卜吧？”
对头！这才是学了数学要提的问题。回答这问题，许多跟帖和外帖也给出不错的解释。我自己的思路是这样的：
用数学解决问题，合适的抽象化往往带来效益，这时若有特殊例外先记下来，然后检验或补救。这样一般都能事半功倍。我们先弄清楚优化的必要条件：
运输会消耗资源，要运最多的资源到终点，每次运输必须满载（例外：不可避免时），将不再回返地点的资源耗尽，来挪前其他的。不难证明，不满足这条件的方案一定还有改进的空间（例外：不能园整的小数部分）。所以最优方案就是消耗一些资源，把其余的全部往前移。
基于上述的要求，如果资源只有1000根胡萝卜，驴子满载走完这1000公里，也把它吃完了，运了0根。如果资源不仅如此，就能消耗一些建立中转站，最后的中转站离目的地不到1000公里，满载从这里出发扣去路上消耗的就是运达的数量。最大化运达数量，就是想办法让这最后的中转站，尽量靠近目的地。
考虑有1000N资源，这里N&1是整数，因为要满载及把留在出发地的资源耗尽，所以要运N次，往返共2N-1趟。要让下一程每次都能满载，这一程要消耗1000资源（不是1000的倍数，下程不能满载，多于1000的倍数，不如放在下一程往返更少的路程消耗，可以走更远），这得出这一程走的距离是1000/（2N-1）公里（例外：出发地离终点少于这距离时）。假定驴子一次要吃一整根胡萝卜，这个里程数必须是把小数去掉的整数部分，记为[1000/（2N-1）]。
因为这N次的运输已经把1000N的资源全部运离出发地，途中消耗了1000，所以将剩下的1000（N-1）的资源全部运近了[1000/（2N-1）]公里处的中转站。只要不遇到例外的情况，重复应用上述的方法，不浪费资源地把剩余的全部移近目的地，到了N=1，可以将∑[1000/（2n-1）]，n=2,…,N数量的资源运达目的地了。
将算法用到这具体的例子。不难验证它都不会出现例外的情况，那答案便是[1000/3]+ [1000/5] =533。
这是一个构造性的通解，运法在证明中。优化的思路清晰，让你很容易进一步算出2000资源最多可以运达333，4000有675，5000有786，6000有876，7000有952，到8000时就会遇到最后一程可以走两次情况。这也不难就这一程考虑优化算法。至于更一般情况，出现了其他例外的情形时也不难在这基础上加细考虑。应用数学解决现实问题，按照需求不断加细才有效率。
“等等，题目中，没有说驴子是怎么一公里吃一根萝卜的，我在最后一个中转站让它先吃一根胡萝卜，然后驮1000根上路，这样到达时就运了534根！”
也对。既然题目没有局限，这说法有道理，也是个好答案。这想法也可用来细化通解。
“到底是533还是534正确？那卖驴空运的答案也在题目没有局限处，为什么就不行了？”
这个不同数字很重要吗？也许对考试是如此，但对做研究或应用，有意义的难点都在533的答案中解答了，它们的区别只是在没规范之处的细节处理不同。现实中的问题并不只是有一种答案，它们的区别只在于有没有意义。如果是找乐子的，搞笑的回答最好，如果是商业应用，实用性最有意义，脑筋急转弯欣赏创意，如果是数学问题，那就要有挑战性，能出漂亮的结果。
“这些问题都是些没什么意义的诡辩，来点有难度的真正数学问题，别耽误了我学习微分方程的时间！”
确实，想这类问题对考试，提职称没多大帮助，做出来了也不算什么成绩。但这是磨砺头脑的练习。连最基本的概念、逻辑、思想的严谨都分不清，还不屑一顾的，多是说数学没有用的人。这样的态度学了再多的微分方程，数学定理，不是用错了就是懵懂。最后还会怪用数学的方法都不灵。
数学其实就是告诉你从一组假定中，按照逻辑能够走多远。所以，第一，数学告诉你怎样进行严格的推理，推理的技巧和套路。第二，纯数学的研究是探讨非常基本观念（定义）和假设（公理），并以此为出发点，推出各种与之不矛盾的结果（定理）和系统（如微积分）。应用数学的人，如物理和工程，以事实或猜测为前提，抽象具体的问题成数学模型，用数学方法和系统，看看依逻辑能够走多远。或以此结果作为原来知识的推论，或是用实验检验之，来判断前提假设的正误。这就是数学在科学里的位置。从这个角度来看，数学永远不会过时，只要人类还用逻辑就需要它。
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