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已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x(a＞0)．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：不等式1lnx-12＜1x-1对一切x＞1恒成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f(x)=lnx-a(x-1)x(a＞0)，∴f′(x)=x-ax2∴f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增∴f（x）的最小值为f（a）=lna+1-a；（2）证明：只需证明1lnx＜1x-1+12，即证lnx＞2(x-1)x+1令g（x）=lnx-2(x-1)x+1，则g′（x）=(x-1)2x(x+1)2＞0∵x＞1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（1）=0，∴lnx＞2(x-1)x+1故原不等式成立．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x(a＞0)．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：不等..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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站长：朱建新分析：（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得f′(x1)&#8226;f′(x2)=-1，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得x2-x1=12[-(2x1+2)+(2x2+2)]，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．解答：解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴f′(x1)&#8226;f′(x2)=-1，∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴x2-x1=12[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥[-(2x1+2)](2x2+2)=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即x1=-32，x2=-12时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为y-(x21+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-x21+a．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y-lnx2=1x2(x-x2)，即y=1x2x+lnx2-1．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是1x2=2x1+2&&①lnx2-1=-x21+a&&②，由①及x1＜0＜x2可得-1＜x1＜0，由①②得a=x21+ln12x1+2-1=x21-ln(2x1+2)-1．∵函数y=x21-1，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，∴a（x1）=x21-ln(2x1+2)-1在（-1，0）上单调递减，且x1→-1时，ln（2x1+2）→-∞，即-ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→-1-ln2．∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．点评：本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．
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&已知函数f（x）=x|x-a|-lnx．（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值时间:&&分类:&&&【来自ip:&17.18.195.28&的&热心网友&咨询】
&问题补充：
已知函数f（x）=x|x-a|-lnx．（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
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&网友答案：
解：（1）若a=1，则f（x）=x|x-1|-lnx．当x∈[1，e]时，f（x）=x2-x-lnx，，所以f（x）在[1，e]上单调增，∴．（2）由于f（x）=x|x-a|-lnx，x∈（0，+∞）．（）当a≤0时，则f（x）=x2-ax-lnx，，令f′（x）=0，得（负根舍去），且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．（）当a＞0时，①当x≥a时，，令f′（x）=0，得（舍），若，即a≥1，则f′（x）≥0，所以f（x）在（a，+∞）上单调增；若，即0＜a＜1，则当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上是单调减，在上单调增．②当0＜x＜a时，，令f′（x）=0，得-2x2+ax-1=0，记△=a2-8，若△=a2-8≤0，即，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，a）上单调减；若△=a2-8＞0，即，则由f′（x）=0得，，且0＜x3＜x4＜a，当x∈（0，x3）时，f′（x）＜0；当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0；当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减．综上所述，当a＜1时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，f（x）单调递减区间是（0，a），单调的递增区间是（a，+∞）；当时，f（x）单调递减区间是（0，）和，单调的递增区间是和（a，+∞）．（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．由f（x）＞0，得．*（）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，，不等式*恒成立，所以a∈R；（）当x=1时，|1-a|≥0，，所以a≠1；???????（）当x＞1时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．令，则．因为x＞1，所以h'（x）＞0，从而h（x）＞1．因为恒成立等价于a＜（h（x））min，所以a≤1．令，则．再令e（x）=x2+1-lnx，则在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上无最大值．综上所述，满足条件的a的取值范围是（-∞，1）．解析分析：（1）当a=1时，利用导数可判断f（x）在[1，e]上的单调性，由单调性即可求得其最大值；（2）求出f（x）的定义域，先按（）a≤0，（）a＞0两种情况进行讨论，其中a＞0时讨论去绝对值符号，利用导数符号即可判断单调性；（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f（x）＞0，即．根据的符号对x进行分类讨论：x∈（0，1）时，当x=1时，当x＞1时，其中x＞1时去掉绝对值符号转化为求函数最值即可解决．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高．
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点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，新定义问题，导数的应用，是一道综合题．
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