The Idea（34）
1. 物理从人们可触及的世界出发，观察总结，物质的属性运动规律。当这些规律符号化抽象化，到一定程度的时候，就仅仅是数学模型逻辑上推理和探索。
2. 数学这种纯，逻辑思维上的演绎，并且不完备性，最终的结果无论是揭示了真理还是一个错误的证明，都和人们生活中建立的世界观有些大相径庭。哲学就是人们心里对自我认知的反思和探索性猜测。
3. 当哲学上苦苦的思索仍然难以让自己满意的时候。就会有神学的介入，来弥补人们在哲学思考中的失落。
4. 神学，不过是对待我们仍然无法解释的事物的，一种非常笼统抽象的带有主观心理暗示和感官模仿形式的解读。
举个例子：
对宇宙的理解，首先是物理上的观察，测量。以后再数学上的公式推理。以后就是哲学上意义的探索思考。最后，上帝这种高度模拟抽象概括来解释未知的事物。
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事实上，我问的是如何“理解”，这和如何定义，是有区别的，要我一个非物理专业的人去理解维基百科或是曾老师版量子力学里所谈到的，非常抽象非常空洞，满版图的公式与算符。这对于非数学物理专业人来说，我光去从里面的一个个定义追根溯源，都绝对是噩梦。
我想知道的，只是作为量子力学数学意义的希尔伯特空间该如何理解，对于这种抽象的数学问题，你不知道如何解，我更不知道如何问，也许我只需要一个能理解这个定义在物理上应用价值的答案，也许是我问题提的的不够完善，造成了您的困扰，特此补充。===========================能不能改成一个物理小白或数学小白如何理解希尔伯特空间？
说说我的理解: 做个类比,一般的3D矢量空间(我们最常见的)和Hilbert空间.在3D的矢量空间中, 基底是i,j,k. 维度是3(有限维). 这三个基本的基矢量是完备的(矢量空间中任何一个元素都可以用这3个基底展开,系数唯一), 正交的(不同的基底做点积为0.). 矢量空间中的任意两个元素之间可以定义算符F, 也就是操作. 我们常常对保持元素A长度(自己和自己点积,A*A)不变的操作感兴趣, 这样的操作形象上讲是转动, 抽象些讲是满足F^2=1的操作,或者叫变换. 好了, 再看看Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G, 也就是操作. 我们常常对保持元素"长度"(自己和自己"点积")不变的操作感兴趣. 由于Hilbert空间是复数域上的,常见的3D矢量空间是实数域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 虽然表达式相同.建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础, 也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论, 都是定义在Hilbert空间上的.注意上面的论述中并没有涉及到矩阵. 因为矩阵其实只是抽象定义的一种表现, 或者说是抽象的定义的一种表示(representation)而已. 这是群论的思想.所有这些后面发展起来的表示理论, 在Hilbert空间中表示后,(尤其是算符的表示)显得非常重要.
如果不深入的追究，Hilbert 空间实际上理解起来很简单，从定义来看就已经很清楚来啊。
Hilbert空间是作为完备函数系用来展开其他函数的。这个基本是微积分一开始就教的内容。一开是理解积分的时候，是把一个函数的定义域等间隔分成一些区间，（从图像上看比较清楚）然后算出每个小区间的面积，然后累加起来。这个累加可以写成向量(矩阵)的形式。然后如果我们要算两个这样的向量的内积，就简单的用向量内积的定义就可以了。
可是问题在于，这是两个函数啊，怎么能有内积呢？实际上这个内积就是这两个被积函数乘积的积分的近似(只需要上面积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大)。这样我们就根据向量内积定义来函数的内积。(这个大概大家都知道了)
通过这样的类比，有些函数其实可以像向量一样使用，等价于一个无穷维度的向量(当积分的分割的小区间的个数趋于无穷的时候，这个积分才是准确的，也就是说我们定义的函数的内积的准确值等价于两个无穷维度的向量的内积)。(换句话来说，如果我们需要用到无穷维的向量空间，那么向量的内积需要用积分来算。)不过，Hilbert 空间是一个很广义的概念，我们的欧式空间是属于 Hilbert 空间的。欧式空间
是要求这个空间中的矢量要内积、有长度而且能定义两个矢量夹角的。举起个栗子来说，是内积，由于是三维的，所以每个矢量有三个分量，比如这个内积可以是
什么是赋范线性空间、内积空间，度量空间，希尔伯特空间 ？
现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”（从一些具体问题抽象出来的结构）。从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。这几个空间之间的关系是：线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间（具有线性结构的度量空间）内积空间是赋范线性空间希尔伯特空间就是完备的内积空间。
前面回答是在数学上对希尔伯特空间解释，题主可能是想问希尔伯特空间的物理意义，或者说量子力学为什么用希尔伯特空间作为数学基础，作为物理学渣，来说一下自己想法，不对之处，请轻打脸。首先，量子力学实验基础就是各种粒子的波粒二象性，能自洽地描述波粒二象性的说法就是几率解释。数学上，如果用A描述物理态的话，由A应该能计算几率。其次，态应该具有可加性，这个说法可以从电子干涉和光干涉实验得到启示。所以态用矢量描述是最方便的。第三，态是矢量，几率是数，由矢量到数的映射，数学上就是内积了，但内积有正有负，所以取内积模方为几率。数学基础目前为内积空间。第四，独立的物理态有无穷多个，所以内积空间维数无穷大。无穷大涉及收敛的问题，某些参数取无穷大时，相应的物理态不能跑出空间去，所以数学上需要任何一个序列的极限仍在空间内，即空间要完备的。综上，量子力学需要的就是希尔伯特空间。
大概的说，hilbert空间是这样一个抽象的空间，其中存在向量可以被用来描述量子力学中体系的状态；这些向量都必须存在正定的内积，也就是这些状态的概率非负；这个空间存在厄米算子，其代表可观测量；这个空间存在UNITARY 操作，对应的是3维空间中的旋转操作，表征保持状态概率不变的那些操作。说到这里就很清楚了，hilbert空间是为了描述量子力学态而引入的一个抽象空间（也可以是早就存在在数学体系中，被借鉴的一个空间）。因此hilbert空间中存在很多更加抽象的性质，一般的物理学家是不会用的。你只需要知道量子态的矢量，长度，对偶矢量，厄米算子，unitary操作，概率矩阵和 trace，子空间的直和和张量积，态的实空间表征和动量空间表征以及一些微扰论即可。具体的，角动量casmir operator和角动量的合成，还有oscillator的ladder operator的求解，这些基本就是一个general physics 所需要的非相对论性量子力学的全部了，这也是量子力学最有用的部分。很多人学了很高级的东西这些东西也没有搞透。。。
我觉得希尔伯特空间最大的好处是可以定义内积，有了内积，你就可以讨论很多熟知的几何性质，比如定义两个函数的夹角，而能定义夹角你就知道了什么叫做正交性，同样可以定义（随机变量）相关性等概念。以前还听一个老师说过，平方可积的信号叫做能量受限信号。那么如果你把函数看做是这个物理世界的一个信号的话，希尔伯特空间的信号才能定义能量，这一物理学上极其重要的概念。
就如同算数要用复数以及基于复数域的运算规则一样。
如果仅是入门的话，可以从欧式空间入手，一开始学习都可以类比欧式空间。想像一个三维空间，在笛卡儿坐标系三个坐标轴x,y,z上的三个向量可以看作是整个空间的[基底]，即用他们可以线性表成其他任何向量，而且这些基底是正交的。如果是两个向量呢？那就不行了，不[完备]。在不同的表示方法下有不同的基底，你可以用极坐标的[表象]来构造一组基底，那么空间的任何位置都能用角度加距离的形式来描述，但无疑这些方式都是等价的。举个量子力学的例子，希尔伯特空间中，某个表象下（例如坐标表象，注意这里的概念升华了，坐标可以用极坐标，笛卡儿坐标等表示）我们总可以构造出一组正交完备基，某个态可以用这些基坐标（实际上就是波函数）来描述，那么变换到k表象（波长倒数的量纲）呢？同样可以用k表象下的基底来描述，而联系这两种描述的正是傅里埃变换，对应的就是欧式空间中的矩阵变换（笛卡儿到极坐标，这些在电动力学中很常用滴！），实际上不同表象下的描述都是可以通过矩阵变换来实现滴，但在量子化概念介入之前矩阵密度就是无限的。恕我功底太差，物理上的概念是精确的，无法用生活中的语言来解释，主要是受了以前大学老师的影响，切莫用毛估估的概念给学生上物理课。虽然现在没做老师，但是结合以前的经验这样做在教学上是合适的，可能在日常交流中的确存在问题！
勒贝格平方可积空间
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一道中学数学题 怎么让全世界都疯了?
风靡世界的数学题
新加坡媒体人江坚文肯定没想到，自己的&随手拍&会让全世界媒体挠头。
4月11日，他在自己的Facebook发布了一张照片，内容是新加坡中学的一道数学题。他颇有挫败感的写道：&这个问题引发了我和妻子的争论&&&
事后证明，这个问题引发了广泛的共鸣，此前他的发帖通常能收获数十到一百的赞和转发，但这一条截至目前已经超过2000个赞，超过6000个转发。Twitter上出现了专门话题来讨论这个问题，还有人写了一首歌&&
被发动起来的不仅是网友，还有大把知名媒体。来看看这些媒体的标题吧：纽约时报《新加坡数学题大热：谢丽尔的生日是哪天?》，华盛顿邮报《&谢丽尔的生日是哪天?&这道数学题难住互联网》，BBC《谢丽尔的生日：新加坡数学题难住世界》，英国卫报《你能解出这道大热的新加坡学生的数学题吗》，英国独立报《新加坡数学题：如何解答这个考学生的题难住了整个世界》，加拿大广播公司《新加坡孩子的数学题难住互联网》，新加坡海峡时报《&谢丽尔的生日&数学题走出新加坡，难住世界》&&
这个清单可以写的很长很长，用&谢丽尔的生日&做关键词在谷歌新闻进行搜索，英文媒体报道已经超过170篇。
谢丽尔的生日是哪天?
所以这道题到底是什么?简单翻译一下：
阿尔伯特和伯纳德刚刚成为谢丽尔的朋友，他们想知道她的生日，谢丽尔给了10个备选日期：5.15、5.16、5.19、6.17、6.18、7.14、7.16、8.14、8.15、8.17。其中一个是她的正确生日。
谢丽尔然后分别告诉了阿尔伯特正确的月份(没告诉是哪一天)，告诉了伯纳德正确的日子(没告诉是哪个月)
之后是阿尔伯特和伯纳德的对话。阿尔伯特：我不知道生日是哪天，但我知道伯纳德也不知道。伯纳德：我原本不知道，但现在我知道了。阿尔伯特：那我现在也知道了。
问题来了：谢丽尔的生日是哪天?
网友挠头：拉黑谢丽尔
除了积极解题之外，还有一些网友脑洞大开，纷纷吐槽谢丽尔的故弄玄虚&&
网友RK：不用费脑子了，尝试着再去问一下谢丽尔吧。这一次给她带一支玫瑰。
网友ching-ching：直接在Facebook上加谢丽尔好友，当她填写生日信息时，你会收到通知的。
网友Mike Scheid：我12岁的孩子在30秒内就解决这个问题，她拿起了她的iPhone，在twitter上查看到了答案。
网友Damian Sanaghan：我花了一些时间终于解开了这道题，我现在在攻读数学硕士，这真的是出给11岁孩子的题目?
网友Kirsty Edwards：她看起来不像是一位非常好的朋友。
网友Tim Poon：听起来，谢丽尔是想把生活搞得更加困难。
网友Chan KH：取消关注阿伯特和比纳德，拉黑谢丽尔。
网友Yeo Hwee Tell:告诉谢丽尔，如果她不直截了当地说出生日，就没生日蛋糕。
网友Zorlu Senyucel：这不是一个数学问题!!这是一个沟通问题!
网友Elfy Bianca Hassan：关于谢丽尔的生日，在一起想了很久很久以后，阿尔伯特和伯纳德很快坠入爱河，把谢丽尔忘得干干净净。
网友mrbrown：阿尔伯特和伯纳德外出喝了几杯，比较了一下有关的信息，决定不值得为谢丽尔和她的生日浪费时间。
小编表示，自己当年上小学或初中时就遇到过这道题，当时的主角不是谢丽尔，大概是&小明&&&
孩子需要多难的数学题?
网友Evon Chi在江坚文的帖子后面写了很长一段：请停止向我们的孩子施加那么多的压力!事实上，对于他们来说，目前在学校里所学东西的80%在未来是没有用的。为什么要整那么难的东西，并不是所有孩子都是天才，大多数孩子需要一些教学引导，这使他们承受了进一步的压力。5年级的学生学习生物学，6年级的学物理。我们真的成为西方人眼中的笑料，西方孩子享受着更多的社会生活，而不是学业压力。你是想让你的孩子成为书呆子，还是接受更多社会技能的培训?想想吧教育部!!!
这是一种很有代表性的观点。新加坡暨亚洲学校数学奥林匹克竞赛组织方事后专门发表声明指出，这是今年4月8日该赛事考试中的一道题，面对的是15岁左右的学生，并非此前所传的11岁。这道题是整张试卷的倒数第二题，意在筛选更优秀学生。该竞赛的目标群体是前40%的学生，大多数题目本身就是为了考验学生。
组织方的执行主管也进行了辩护，认为这道题用到的逻辑和分析思维在日常生活中是有用的。
但是说到底，15岁的孩子接触到这样难度的题目，这样的教育策略是否合适?这恐怕是西方媒体关注的深层原因。
大体而言，亚洲青少年的数学水平超过欧美学生。2013年底，经济合作与发展组织的国际学生评估项目公布调查结果，亚洲国家在数学项目大幅领先，名列首位的是中国上海。这个调查测试超过51万学生，涵盖65个国家和地区，针对的恰好也是15岁学生。
另一个很著名的例子是英国人。英国政府要求所有儿童在小学毕业前，都应该学会12以内的乘法表，但今年2月，卡梅伦被记者逼问&9&8等于多少&时，选择了回避问题，稍早前教育大臣也被问过，但是面对&11&12等于多少&，她表示不回答任何数学问题。
我们常看到外国人借鉴中国教育方法的新闻，也常听到&中国教育培养不出诺贝尔科学奖得主&一类的言论。这样的教育是给学生打下好基础，还是扼杀了创造力?这个问题过去没有定论，恐怕将来也不会有。参与讨论的成年人们，除了反思教育，恐怕还因为一丝答不出问题的挫败感&&
所以，谢丽尔的生日是哪天，你算出来了吗?
来源：互联网
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