证明an中心极限定理的证明正无穷时的stolz定理

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-13 23:01 标签： 中心极限定理的证明
大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim（an^(1/n)）=a有没有简单一点的证法
雷锋叔叔餟
利用stolz定理,是最简单的做法结论是明显的~如果不用stolz定理,做法其实也不难~lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a根据定义：对任意ε>0,存在N>0,当N>N,就有|a(n+1)/a(n)-a|
利用stolz定理怎么做？？？看不懂额，；那个不是两个数列，这是一个啊？请给出做法和解释，谢谢
stolz定理：
设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞
若lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=L
则，lim(An)/(Bn)=L
因为lim a(n+1)/an=a，且an>0，
同取对数：
ln[lim a(n+1)/an]=lna
lim ln[a(n+1)/an] = lna
lim lna(n+1) - lnan = lna
lim [lna(n+1) - lnan] / 1 =lna
进而构造：
lim [lna(n+1) - lnan] / [(n+1)-(n)] =lna
令，An=lnan ，Bn=n
原式变为：
lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=lna
明显，Bn=n>0，单调递增，且n→+∞时Bn→+∞
根据stolz定理，就有
lim An/Bn=lna
lim lnan / n = lna
lim ln(an^(1/n)) = lna
ln lim an^(1/n) =lna
lim an^(1/n) = a
有不懂欢迎追问
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取对数lim(n→∞)(ln(a[n+1])-ln(a[n]))=lnalim(n→∞)（ln(a[n])/n）=lna——利用stolz定理所以lim（an^(1/n)）=e^(lna)=a有点抽象，欢迎追问
如果知道Stolz定理，就有简单证法。lim ln(an)/n
这里用Stolz定理=lim ln(a(n+1))-ln(an)=lim ln(a(n+1)/a(n)=lna，因此lim an^(1/n)=a。注：以上证明对a=0也适用，只需定义lna=负无穷即可。不用Stolz定理的话，证明起来很麻烦的。
搞一张图片来，看不懂啊！
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你可能喜欢能否给一个用stolz定理求极限的例题？RT，老师说stolz定理相当于离散条件下的洛必达法则，但只给了证明没给例题，各位高手能否给个具体用stolz定理求极限的例子？此外，这个定理是在序列极限里讲的，对于求函数极限，是否一样应用呢？谢谢
lim [1^(k-1)+....+n^(k-1)]/n^k = 1/k 用Stloz定理做的。若 n>N 时， Yn < Y(n+1), 且limYn＝+∞ n→+∞,这时如果 lim [Xn - X(n-1)]/[Yn - Y(n-1)]= L(L为有限数或无穷大）则有： lim Xn/Yn = L这个题 令 Xn=1^(k-1)+....+n^(k-1), Yn=n^klim Xn/Yn = lim [Xn - X(n-1)]/[Yn - Y(n-1)]= lim n^(k-1）/[n^k - (n-1)^k]= 1/kStolz定理的证明如下：先证明L为有限的情况。根据已知的：（a） Yn < Y(n+1),（b）limYn＝+∞ n→+∞,（c）lim [X(n+1) - Xn]/[Y(n+1) - Yn]= L则有：对于任意的ε＞0，存在N,当n > N时 恒有：|[X(n+1) - Xn]/[Y(n+1) - Yn] - L| ＜0.5ε因为：[Y(n+1) - Yn]＞0于是有：(L-0.5ε)[Y(N+2)-Y(N+1)]＜[X(N+2) - X(N+1)]＜(L+0.5ε)[Y(N+2)-Y(N+1)]-----------(1)(L-0.5ε)[Y(N+3)-Y(N+2)]＜[X(N+3) - X(N+2)]＜(L+0.5ε)[Y(N+3)-Y(N+2)]-----------(2).....................(L-0.5ε)[Yn-Y(n-1)]＜[Xn - X(n-1)]＜(L+0.5ε)[Yn-Y(n-1)]---(m)(L-0.5ε)[Y(n+1)-Yn]＜[X(n+1) - Xn]＜(L+0.5ε)[Y(n+1)-Yn]---(m+1)把上面的m+1个不等式加起来得到：(L-0.5ε)[Y（n+1)-Y(N+1)]＜[X(n+1) - X(N+1)]＜(L+0.5ε)[Y(n+1)-Y(N+1)]即：|[X(n+1) - X（N+1)]/[Y(n+1) - Y(N+1)] - L| ＜0.5ε再看：[X(N+1)-L*Y(N+1)]/Yn + (1 + Y(N+1)/Yn)*([X(n+1) - X（N+1)]/[Y(n+1) - Y(N+1)] - L)= Xn/Yn - L因为 Yn→+∞, 而X(N+1),L*Y(N+1) 这些都是一个具体的数，那么(1 + Y(N+1)/Yn)→1, [X(N+1)-L*Y(N+1)]/Yn →0.所以存在一个 M ＞N 当 n＞M时,恒有：|Xn/Yn - L|＜εL为有限时得证，当L为∞时，只需证明 |Yn/Xn - 0|＜ε即可证明lim Xn/Yn =∞，+∞，-∞分开证明。参考资料：菲赫金戈尔茨微积分教学教程第一卷
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*/∞型 Stolz定理要求分母的{bn}是严格递增且趋于+∞但是在定理的证明过程不大明白为什么要满足这个条件严格递增是要保证累加的时候式子为正号且bn-bn-1在分母上有意义吧？那趋于+∞是为了什么。至少在lim(an/bn)=A A为有限数的时候我并没有发现用到了这个条件求解释 谢谢~~
定理的证明忘了 无力……
定理的证明：
呃 看不下去了随便说说吧 单增和单减其实是一样的 一个负号而已 分母如果不是区域无穷 还用做吗 直接就是显然的结论了
这个我理解。。尽管如果不是∞/∞就是显然的结论。。但这个定理成立需要+∞吗 我想搞清楚这个问题。。
感觉是对的 不过没必要讨论这个…………
没用那个东西，证明中那个极限如何取得到...bn趋于无穷，上面除以bn统统为0
啊…谢谢楼上…一个上午脑缺两次了…T^T下次问题多想一会再来发帖…
呦~**被虐了~
数学分析的发展中出现了无数定理，本人对该定理无好感。10年前大一期末考试，出了个证明该定理的题，我当年用的教材没这个定理，考试时让证，太坑爹了。
就是离散版的洛比达法则。
曾经想把它推广到复数列，没成功。。。
暂时证不了还是已经发现反例了？
"十年之前 我不认识你 你不属于我我们还是一样 陪在一个陌生人左右走过肩前熟悉的街头"
lim z[n]/w[n]直接弄我不知道怎么对 w[n] 提条件然后我的想法是找一个严格递增趋于正无穷实数列 r[n] ，然后分子分母同除 r[n]然后找到一个合适的 r[n] 使得分子分母极限如果都存在，就好办了。但是我不知道 r[n] 怎么找。
题先放着吧，虽然一直有想这个问题，但没什么头绪。
哪有题，自己空想的。
嗯，题都是想出来的，只是有些问题后来发现不对或者无解而已。
我觉得L为0或其他实数时bn不用趋无穷，L为无穷时，要用bn趋无穷。
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