高中数学三角函数题目题目：已知x三次方+x-2=0，求...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-20 13:56 标签： 小学三年级数学题目
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＞＞＞已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．..
已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．（I）求函数y=f（x）的表达式；（II）求函数y=f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在区间[m-3，n]上的值域为[-4，16]，试求m、n应满足的条件．
题型：解答题难度：中档来源：广东模拟
（I）f′（x）=3x2+2ax+b，由题意得，1，-1是3x2+2ax+b=0的两个根，解得，a=0，b=-3．（2分）再由f（-2）=-4可得c=-2．∴f（x）=x3-3x-2．（4分）（Ⅱ）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），当x＜-1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜1时，f'（x）＜0；落当x＞-1时，f'（x）＞0．（6分）∴函数f（x）在区间（-∞，-1]上是增函数；在区间[-1，1]上是减函数；在区间[1，+∞）上是增函数．（7分）函数f（x）的极大值是f（-1）=0，极小值是f（1）=-4．（9分）（Ⅲ）函数g（x）的图象是由f（x）的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到，所以，函数f（x）在区间[-3，n-m]上的值域为[-4-4m，16-4m]（m＞0）．（10分）f（-3）=-20，∴-4-4m=-20，即m=4．于是，函数f（x）在区间[-3，n-4]上的值域为[-20，0]，（12分）令f（x）=0得x=-1或x=2．由f（x）的单调性知，-1≤n-4≤2，即3≤n≤6．综上所述，m应满足的条件是：m=4，且3≤n≤6（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．..”考查相似的试题有：
407364442344822628765675437275441731数学题一道：已知a,b是一元二次方程x^2+x-1=0的两个根,求2a^5+5b^3的值
根据题意：a,b是该一元二次方程的两个根,所以将a、b代入此方程得：a²+a-1=0 a²=-a+1 a^4=(-a+1)²=a²-2a+1=-a+1-2a+1=-3a+2a^5=a(-3a+2)=-3a²+2a=-3(-a+1)+2a=5a-3b²=-b+1b³=b(-b+1)=-b²+b=-(-b+1)+b=2b-1根据韦达定理得：a+b=-1原式=2(5a-3)+5(2b-1)=10(a+b)-11=-21
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由韦达定理可得：a+b=-1，ab=-1且有：a²+a-1=0，b²+b-1=0即：a²=-a+1，b²=-b+1那么：2a^5 +5b^3=2a(a²)²+5b*b²=2a(-a+1)²+5b(-b+1)=2a(a²-2a+1)+5(-b&#178...
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由 x^2+x=1
可得x^3+2x^2+3 =x( x^2+x)+x^2+3=x^2+x+3=4
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