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高等数学第1讲函数极限连续7、洛必达法则求极限
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浅谈高等数学中几种求极限的方法
　　【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】（6-02
　　极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限的计算又是学好微积分的重要前提条件。正因为之美妙不可言，中解题方法的多样性更是引人入胜，许多人都在探索着高等代数中求极限的方法并有所成效。在前人的基础之上我对求极限的方法作了进一步的归纳总结，希望能让读者从中受益，能让初学者懂得将静态的、内隐的教学规律转化为动态的、外显的探索性的数学活动，从而对数学学习的认知发生一个“质”的飞跃。
　　一、由定义求极限
　　极限的本质DD既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。
　　然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。
　　二、利用函数的连续性求极限
　　此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，及f（x）在x0处无定义的情况。
　　三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限
　　极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。
　　四、利用两边夹定理求极限
　　定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A
　　两边夹定理的关键：适当选取两边的函数（或数列），并且使其极限为同一值。
　　注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。
　　五、利用两个重要极限求极限
　　六、利用单调有界原理求极限
　　单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性；求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。
　　利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。
　　七、利用洛必达法则求极限
　　八、利用等价无穷小代换求极限
　　在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子（或分母）看作一个整体，用整个分子（或分母）的等价无穷小去代换。
　　九、利用泰勒展式求极限
　　运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。
　　十、利用级数收敛的必要条件求极限
　　求极限的方法有很多种，在解题时，这些方法并不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法。根据题目给出的条件，选择适当的方法结合使用，能使运算更简捷，起到事半功倍的效果。同时又能加强对微积分知识整体上的深层次认识，对学好微积分是大有裨益的。
相关文章列表：洛必达法则_百度百科
洛必达法则
洛必达法则(L'H?pital's rule）是在一定条件下通过分别再求来确定值的方法。法国数学家（Marquis de l'H?pital）在他1696年的著作《阐明曲线的无穷小分析》（Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes）发表了这法则，因此以他为命名。但一般认为这法则是由洛必达的老师数学家（Johann Bernoulli）首先发现，因此也被叫作伯努利法则（Bernoulli's rule）。
洛必达法则介绍
洛必达法则0/0型不定式极限
满足下列条件：
的某内两者都，且
可为，也可为 ±∞ ），
洛必达法则∞/∞型不定式极限
满足下列条件：
的某内两者都可导，且
可为实数，也可为
洛必达法则其他类型不定式极限
不定式还有
等类型。经过简单变换，它们一般均可化为
型的极限。
可将乘积中的或变形到分母上，化为
把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为
可利用对数性质
将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。
针对不同的问题，还可以利用等价无穷小
作替换，化简算式。
上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把
同上面的化简方法
同上面的化简方法
洛必达法则注意
不能在形式下直接用洛必达法则，因为对于
是无法求的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。
洛必达法则推导
推导过程见右图。
洛必达法则理解
⑴ 该定理所有条件中，对
的情况，结论依然成立。
⑵ 该定理第一条件中，
的极限皆为
时，结论依然成立。
的构型，可精炼归纳为
；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求，只需适当变型推导：
。（上述构型中
洛必达法则应用
求极限是中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。
⑴ 在着手求极限以前，首先要检查是否满足
型构型，否则滥用洛必达法则会出错（其实
形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。当不存在时（不包括
情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用求解。
⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
⑶ 洛必达法则是求极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。
⑷ 洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：
），而其他的如
型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来。
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我总结的16种求极限的方法（你还能找出其他的？
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首先说下我的感觉，&&假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，&&函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，&&可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？& &各个章节本质上都是极限，&&是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先&&对&&极限的总结&&如下
极限的保号性很重要& &就是说在一定区间内&&函数的正负与极限一致
1&&极限分为& &一般极限& &，&&还有个数列极限，&&（区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1 等价无穷小的转化，& &（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用&&但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1& &或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax&&等等 。&&全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2落笔他 法则& &（大题目有时候会有暗示&&要你使用这个方法）
&&首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
& &必须是&&X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，&&当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件&&
（还有一点&&数列极限的n当然是趋近于正无穷的&&不可能是负无穷！）
& &必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,&&没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）
&&必须是&&0比0&&无穷大比无穷大！！！！！！！！！
& &当然还要注意分母不能为0&&
&&落笔他 法则分为3中情况
1 0比0& &无穷比无穷&&时候&&直接用
2& &0乘以无穷& &无穷减去无穷& &（ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后& &这样就能变成1中的形式了
3&&0的0次方& & 1的无穷次方 无穷的0次方& &
&&对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，&&这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （&&这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0&&当他的幂移下来趋近于无穷的时候&&LNX趋近于0）
3泰勒公式& & (含有e的x次方的时候&&，尤其是含有正余旋&&的加减的时候要 特变注意&&！！！！）
E的x展开& &sina&&展开& &cos&&展开& &ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
&&取大头原则& & 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
&&看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式&&，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下，&&xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。&&这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值& &。&&地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于&&函数是1的无穷的形式&&）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法&&，非常方便的方法
&&就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于&&x！& &快于&&指数函数& &快于& &幂数函数& &快于& && &&&对数函数 （画图也能看出速率的快慢）&&!!!!!!
当x趋近无穷的时候&&他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法&&是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中&&
13假如要算的话&&四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
&&就是当你面对题目实在是没有办法&&走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质
&&对付递推数列时候使用&&证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
&&（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，& & 看见了有特别注意）
&&（当题目中告诉你F(0)=0时候&&f（0）导数=0的时候& &&&就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
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&&函数&&是表皮
函数的性质也体现在积分 微分中
例如他的奇偶性质&&他的周期性。 还有复合函数的性质
1奇偶性，奇函数关于原点对称& &偶函数关于轴对称&&偶函数左右2边的图形一样
（ 奇函数相加为0）
2周期性也可用在导数中&&在定积分中也有应用& &定积分中的函数是周期函数&&积分的周期和他的一致
3&&复合函数之间是&&自变量与应变量互换&&的&&关系&&
4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）
& &（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）
:o 再就是总结一下间断点的问题&&（应为一般函数都是连续的&&所以 间断点 是对于间断函数而言的）
间断点分为第一类&&和第二类剪断点
1&&第一类是左右极限都存在的 （左右极限存在但是不等&&跳跃的的间断点& &或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值&&可取的间断点
地二类 间断点是&&震荡间断点&&或者是& &无穷极端点&&
（这也说明极限即是&&不存在也有可能是有界的）
:o 下面总结一下&&
&&求极限的一般题型
1&&求分段函数的极限&&
当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！！！！
当X趋近无穷时候&&存在e的x次方的时候&&，&&就要分情况讨论&&应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！！！！！
2 极限中含有变上下限的积分&&如何解决类？？？？
& &&&说白了&&就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了& &你要想办法把它搞掉！！！！！！！！！！！！！！！
& &解决办法 ：
& &&&1求导， 边上下限积分求导，&&当然就能得到结果了&&这不是很容易么？
& && &&&但是！！！！！有2个问题要注意！！！！
& && && & 问题1& && & 积分函数能否求导？&&题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！！！
& && && & 问题2& &被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？
& && &&&解决1的方法：& &就是方法2& &微分中值定理！！！！！！！！！！
& && && && && &&&微分中值定理是函数与积分的联系！& &更重要的是他能去掉积分符号！！！！！！
& && & 解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话 ，&&把x看做常数提出来& &， 再求导数！！！！！！
& && && && && && && & 当x 与t是除的关系&&或者是加减的关系&&，&&就要 换元了！！！！！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！！！）
3求的是数列极限的问题时候& &
&&夹逼 或者 分项求和 定积分&&都不可以的时候
& &就考虑x趋近的时候函数值，&&数列极限也满足这个极限的
当所求的极限是递推数列的时候
&&首先 ： 判断数列极限存在极限的方法&&是用的单调有界的定理&&。 判断单调性不能用导数定义！！！& &应为是 离散的& & 只能用&&前后项的 比较&&（前后项相除相减）， 数列极限是否有界&&可以使用 归纳法& && &最后对xn 与xn+1两边同时求极限， 就能出结果了！！！！！！
4涉及到极限已经出来了&&让你求未知数和位置函数的问题
&&解决办法 ：主要还是运用等价无穷小&&或者是同阶无穷小 。 应为&&例如&&当x趋近0时候&&f（x）比x =3&&的函数&&， 分子必须是无穷小&&否则极限为无穷
& && & 还有落笔他&&法则的应用& &，&&主要是应为&&当未知数有几个时候，&&使用&&落笔他 法则 可以消掉模些未知数，求其他的未知数
5 极限数列涉及到的证明题 ，&&只知道是要构造新的函数& &但是不太会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
:o&&最后 总结 一下间断点&&的&&题型
首先 遇见间断点的问题 连续性的问题&&复合函数的问题， 在莫个点是否可导的问题。
主要解决办法是3&&个& & 一个是&&画图 ，&&你能画出反例来&&当然不可以了
& && && && && && &&&你实在画不出反例，&&就有可能是对的，&&尤其是那些考概念的题目，&&难度不小，&&对我而言证明很难的 ！ 我就画图！！我要能画出来当然是对的， 在这里就要很好的理解一阶导的性质&&2阶导的性质， 函数图形的凹凸性，&&函数单调性&&函数的奇偶性在图形中的反应！！！！！！！
& && && && && &&&（在这里尤其要注意分段函数！！！！！！！！！&&） （例如分段函数导数存在还相等&&但是却不连续&&这个性质就比较特殊！！！&&应为一般的函数都是连续的）
& &方法2& && && && && & 就是举出反例 ！ （在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！！！！！！）
& && && && & 例如 一个函数是个离散函数& &还有个也是离散函数& &他们的复合函数是否一定是离散的类？？
& && && && && && & 答案是NO& & 举个反例就可以了
& &方法3& &&&上面的都不行那就只好用定义了& &主要是写出公式 ，&&连续性的公式& &求在抹一点的导数的公式
:o&&最后了
总结一下 函数 在抹一点是否可导 的问题&&
1首先 函数连续不一定可导， 分段函数x绝对值函数在 （0 ，0 ） 不可导，&&我的理解就是 ：不可导=在这点上图形不光滑。&&可导一定连续， 应为他有个前提， 在点的领域内有定义，&&假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等
1& && & 主要考点 1
& && &函数在抹一点可导 ， 他的 绝对值函数&&在这点是否可导 ？
& &解决办法：&&记住 函数绝对值的导数等于&&f（x）除以 （绝对值（f（x）））&&再 乘以F（x）的导数 。
& &所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，& &找出这些点之后 ，&&这个导数并不是百分百不存在， 原因很简单&&分母是无穷小， 假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，&&所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候， 绝对值函数在这点的导数是无穷&&， 所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊
& &处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断
&&直接使用导数的定义就能证明&&，
&&我的理解是f（x）连续的话&&但是不可导 ， 左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，&&f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候
f（x）在这点上的这2个极限乘以 g（a）&&， 当g（a）等于0的时候，&&左右极限乘以0当然相等了 ，乘积的导数=f（a）导数乘以G(a)&&+ G(a)导数乘以F（a），应为f（a）导数乘以G(a)&&=0，&&前面推出来了，&&所以乘积函数在这点上就可导了。导数为 G(a)导数乘以F（a）
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很好很强大！！
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16种。。。。。。。。
第17种：用级数收敛来说明极限为0
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真是强大的一沓。
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楼主是考数一吧
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感谢楼主！！！
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终于写完了& &唉
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用泰勒展开求其实是万能的。
感叹社会才是真正的必修课，挂了就真的挂了。
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