log8^9*log27^32
你大爷AaYm
log8^9*log27^32 =lg9/lg8*lg32/lg27=2/3*lg3/lg2*5/3*lg2/lg3=2/3*5/3=10/9
5^(1-log0.2^3)=?
5^(1-log0.2^3)
=5*5^(-log1/5^3)
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码(log2 3+log4 9+log8 27+...+log2^n 3^n）log9 32的N次方根
log4 9=2lg3/2lg2 =lg3/lg2=log2 3log2 3+log4 9+log8 27+...+log2^n 3^n=nlog2 3=nlg3/lg2log9 32的N次方根(log2 3+log4 9+log8 27+...+log2^n 3^n）log9 32的N次方根=(1/n)(5lg2/2lg3)*nlg3/lg2=5/2
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码&&&&&&&&&&&&&&&
【数学】学年同步精品学案（人教A版必修1）：第2章 基本初等函数Ⅰ §22 对数函数
§2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N?x＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N. (2)"log"同"＋""×"""等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N>0； ②1的对数为零，即loga1＝0； ③底的对数等于1，即logaa＝1. 2．对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①loga(MN)＝logaM＋logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②loga＝logaM－logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数． ③logaMn＝n·logaM (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M>0，N>0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)． ②防止出现以下错误：loga(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. 3．对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝ (b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)． 证明 设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数， 得xlogcb＝logcN.所以x＝，即logbN＝. 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用． 由换底公式可推出下面两个常用公式： (1)logbN＝或logbN·logNb＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)； (2)logbnNm＝logbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R) .
题型一 正确理解对数运算性质 对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. A．①与③ B．②与④ C．② D．①、②、③、④ 解析 在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立． 在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立． 在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N. 在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C 点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．
题型二 对数运算性质的应用 求下列各式的值： (1)2log32－log3＋log38－5log53； (2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； (3). 分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算． 解 (1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3 ＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg·lg(2×10)＋(lg2)2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. (3)∵＝ ＝－＝－. 点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
题型三 对数换底公式的应用 计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)． 分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同． 解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝ ＝ ＝log25·(3log52) ＝13log25·＝13. 方法二 原式＝ ＝ ＝＝13. 点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法． 已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值． 错解 由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3. 解得x＝1或x＝－3. 错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了． 正解 由对数的性质知 解得x＝1，故实数x的值为1. 对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N (a>0，且a≠1，N>0)． 1．(上海高考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________． 解析 ∵9x－6·3x－7＝0，即32x－6·3x－7＝0 ∴(3x－7)(3x＋1)＝0 ∴3x＝7或3x＝－1(舍去) ∴x＝log37. 答案 log37 2．(辽宁高考)设g(x)＝则g＝____. 解析 g＝ln<0，g＝eln＝， ∴g＝. 答案 1．对数式log(a－3)(7－a)＝b，实数a的取值范围是( ) A．(－∞，7)
B．(3,7) C．(3,4)∪(4,7)
D．(3，＋∞) 答案 C 解析 由题意得解得3<a<7且a≠4. 2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2
B．3a－(1＋a)2 C．5a－2
D．－a2＋3a－1 答案 A 解析 ∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1) ＝3a－2(a＋1)＝a－2. 3．log56·log67·log78·log89·log910的值为( ) A．1
D．1＋lg2 答案 C 解析 原式＝····＝＝. 4．已知loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是( ) A．(0,1)
D．(1，＋∞) 答案 C 解析 由题意，得 ∵a>0，a≠1，loga(a2＋1)<loga2a，∴0<a<1.∴<a<1. 5．已知函数f(x)＝ax－1＋logax (a>0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为( ) A．4
D. 答案 D 6．若方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( ) A．lg7·lg5
D. 答案 D 解析 ∵lgα＋lgβ＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg ∴α·β＝. 7．已知f(log2x)＝x，则f＝________. 答案 解析 令log2x＝，则2＝x，∴f＝2＝. 8．log(－1)(＋1)＝________. 答案 －1 解析 log－1(＋1)＝log－1 ＝log(－1)＝－1. 9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lgx＝－2＋0.778 1，则x＝________. 答案 0.06 解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1， 而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lgx＝－2＋lg2＋lg3， 即lgx＝lg10－2＋lg6. ∴lgx＝lg(6×10－2)，即x＝6×10－2＝0.06. 10．(1)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log的值； (2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365. 解 (1)lgx＋lgy＝2lg(x－2y)， ∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0. 即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y， 又∵ ∴x>2y>0， ∴x＝y，应舍去，取x＝4y. 则log＝log＝log4＝＝4. (2)∵18b＝5，∴log185＝b, 又∵log189＝a， ∴log365＝＝ ＝＝ ＝＝. 11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值． 解 令ax＝by＝cz＝t (t>0且t≠1)， 则有＝logta，＝logtb，＝logtc， 又＋＋＝0，∴logtabc＝0，∴abc＝1. 12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状． 解 ∵关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c2－b2)－2lga＋1]＝0. 即lg(c2－b2)－2lga＝0，故c2－b2＝a2， ∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形． 2．2.1 对数与对数运算(一) 学习目标 1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．了解常用对数与自然对数的意义． 3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算． 自学导引 1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质有：(1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数． 3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN. 4．若a>0，且a≠1，则ab＝N等价于logaN＝b. 5．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1) .
一、对数式有意义的条件 例1 求下列各式中x的取值范围： (1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2. 分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可． 解 (1)由题意有x－10>0，∴x>10，即为所求． (2)由题意有 即∴x>1且x≠2. (3)由题意有 解得x>－1且x≠0，x≠1. 点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1. 变式迁移1 在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( ) A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5
D．3<a<4 答案 C 解析 由题意得， ∴2<a<5且a≠3.
二、对数式与指数式的互化 例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)54＝625； (2)log8＝－3； (3)－2＝16;
(4)log101 000＝3. 分析 利用ax＝N?x＝logaN进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log5625＝4. (2)∵log8＝－3，∴－3＝8. (3)∵－2＝16，∴log16＝－2. (4)∵log101 000＝3，∴103＝1 000. 点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用ax＝N?x＝logaN进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置． 变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x值： (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)log5(log2x)＝0;
(4)x＝log27； (5)x＝log16. 解 (1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9. (2)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝＝. (3)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，∴x＝21＝2. (4)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2， ∴x＝－. (5)由x＝log16，得x＝16，即2－x＝24， ∴x＝－4.
三、对数恒等式的应用 例3 (1)alogab·logbc·logcN的值(a，b，c∈R＋，且不等于1，N>0)； (2)4(log29－log25)． 解 (1)原式＝(alogab)logbc·logcN＝blogbc·logcN＝(blogbc)logcN ＝clogcN＝N. (2)原式＝2(log29－log25)＝＝. 点评 对数恒等式alogaN＝N中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数． 变式迁移3 计算：3log3＋()log3. 解 原式＝＋3log3＝＋(3log3) ＝＋＝. 1．一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．利用ab＝N?b＝logaN (其中a>0，a≠1，N>0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)． 一、选择题 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A．100＝1与lg1＝0 B．27－＝与log27＝－ C．log3＝9与9＝3 D．log55＝1与51＝5 答案 C 2．指数式b6＝a (b>0，b≠1)所对应的对数式是( ) A．log6a＝a
B．log6b＝a C．logab＝6
D．logba＝6 答案 D 3．若logx(－2)＝－1，则x的值为( ) A.－2
B.＋2 C.－2或＋2
D．2－ 答案 B 4．如果f(10x)＝x，则f(3)等于( ) A．log310
D．310 答案 B 解析 方法一 令10x＝t，则x＝lgt， ∴f(t)＝lgt，f(3)＝lg3. 方法二 令10x＝3，则x＝lg3，∴f(3)＝lg3. 5．21＋·log25的值等于( ) A．2＋
B．2 C．2＋
D．1＋ 答案 B 解析 21＋log25＝2×2log25＝2×2log25 ＝2×5＝2. 二、填空题 6．若5lgx＝25，则x的值为________． 答案 100 解析 ∵5lgx＝52，∴lgx＝2，∴x＝102＝100. 7．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________． 答案 12 解析 ∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3， ∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12. 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600 解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题 9．求下列各式中x的值 (1)若log3＝1，则求x值； (2)若log2 003(x2－1)＝0，则求x值． 解 (1)∵log3＝1，∴＝3 ∴1－2x＝27，即x＝－13 (2)∵log2 003(x2－1)＝0 ∴x2－1＝1，即x2＝2 ∴x＝± 10．求x的值：(1)x＝log4；(2)x＝log9；(3)x＝71－log75； (4)logx8＝－3；(5)logx＝4. 解 (1)由已知得：x＝4， ∴2－x＝22，－＝2，x＝－4. (2)由已知得：9x＝，即32x＝3. ∴2x＝，x＝. (3)x＝7÷7log75＝7÷5＝. (4)由已知得：x－3＝8， 即3＝23，＝2，x＝. (5)由已知得：x＝4＝.2.2.1 对数与对数运算(二) 学习目标 1．掌握对数的运算性质及其推导． 2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明． 自学导引 1．对数的运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 2．对数换底公式：logab＝.
一、正确理解对数运算性质 例1 若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有( ) ①logax· logay＝loga (x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga＝logax÷logay； ④loga(xy)＝logax·logay. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案 A 解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的． 点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是( ) A．logax＝－loga
B．(logax)n＝nlogax C．(logax)n＝logaxn
D．logax＝loga 答案 A
二、对数运算性质的应用 例2 计算： (1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)2(lg)2＋lg·lg5＋； (3)； (4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析 利用对数运算性质计算． 解 (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2. (2)原式＝lg(2lg＋lg5)＋ ＝lg(lg2＋lg5)＋1－lg＝lg＋1－lg＝1. (3)原式＝＝＝. (4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5) ＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1. 点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值： (1)log535＋2log－log5－log514； (2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 解 (1)原式 ＝log5(5×7)－2log22＋log5(52×2)－log5(2×7) ＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2. (2)原式＝[log2＋log62·log6(3×6)]÷log622 ＝log62(log62＋log63＋1)÷(2log62)＝1.
三、换底公式的应用 例3 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值； (2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645. 解 (1)由已知分别求出x和y. ∵3x＝36,4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436， 由换底公式得： x＝＝，y＝＝， ∴＝log363，＝log364， ∴＋＝2log363＋log364 ＝log36(32×4)＝log3636＝1. (2)∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. ∴log3645＝＝ ＝＝＝. 点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除． 变式迁移3 (1)设log34·log48·log8m＝log416，求m； (2)已知log1227＝a，求log616的值． 解 (1)利用换底公式，得··＝2， ∴lgm＝2lg3，于是m＝9. (2)由log1227＝a，得＝a， ∴lg3＝，∴＝. ∴log616＝＝ ＝. 1．对于同底的对数的化简常用方法是： (1)"收"，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)"拆"，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 2．对于常用对数的化简要充分利用"lg5＋lg2＝1"来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值． 一、选择题 1．lg8＋3lg5的值为( ) A．－3
D．3 答案 D 解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于( ) A.
D. 答案 B 解析 log36＝＝＝. 3．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于( ) A．2
D. 答案 A 解析 由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝， ∴2＝(lga－lgb)2 ＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb ＝22－4×＝2. 4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－等于( ) A.
D．－3 答案 A 解析 由指数式转化为对数式： x＝log2.51 000，y＝log0.251 000， 则－＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝. 5．设函数f(x)＝logax (a>0，且a≠1)，若f(x1x2...x2 005)＝8，则f(x)＋f(x)＋...＋f(x)的值等于( ) A．4
D．2loga8 答案 C 解析 因为f(x)＝logax，f(x1x2...x2 005)＝8， 所以f(x)＋f(x)＋...＋f(x) ＝logax＋logax＋...＋logax ＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋...＋2loga|x2 005| ＝2loga|x1x2...x2 005| ＝2f(x1x2...x2 005)＝2×8＝16. 二、填空题 6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg＝__________. 答案 解析 lg＝lg1.8＝lg＝lg ＝(lg2＋lg9－1)＝(a＋2b－1)． 7．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为____． 答案 1 解析 logabcx＝＝ ∵logax＝2，logbx＝3，logcx＝6 ∴logxa＝，logxb＝，logxc＝， ∴logabcx＝＝＝1. 8．已知log63＝0.613 1，log6x＝0.386 9，则x＝________. 答案 2 解析 由log63＋log6x＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log6(3x)＝1.故3x＝6，x＝2. 三、解答题 9．求下列各式的值： (1)lg－lg＋lg； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2. 解 (1)方法一 原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2 ＋(2lg7＋lg5) ＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5 ＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5) ＝lg10＝. 方法二 原式＝lg－lg4＋lg7 ＝lg ＝lg(·)＝lg＝. (2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10·lg＋lg4＝lg＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg22 ＝1－2lg2＋lg22＋2lg2－lg22＝1. 10．若26a＝33b＝62c，求证：＋＝. 证明 设26a＝33b＝62c＝k (k>0)，那么 ∴ ∴＋＝6·logk2＋2×3logk3 ＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝， 即＋＝.2．2.2 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 形如y＝logax (a>0且a≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意： (1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)； (2)对数函数的解析式y＝logax中，logax前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a必须满足a>0，且a≠1； (3)以10为底的对数函数为y＝lgx，以e为底的对数函数为y＝lnx. 2．对数函数的图象及性质：a>10<a<1图象性质函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)函数图象恒过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x0函数在定义域(0，＋∞)上为增函数函数在定义域(0，＋∞)上为减函数 3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)函数值变化情况a>1时，；0<a<1时，xa>1时，logax；0<a<1时，logax图象必过定点点(0,1)点(1,0)单调性a>1时，y＝ax是增函数；0<a<1时，y＝ax是减函数a>1时，y＝logax是增函数；0<a<1时，y＝logax是减函数图象y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称 实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y＝logmn有以下规律： (1)当(m－1)(n－1)>0，即m、n范围相同(相对于"1"而言)，则logmn>0；(2)当(m－1)(n－1)<0，即m、n范围相反(相对于"1"而言)，则logmn<0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log20等，一眼就看出来了！
题型一 求函数定义域 求下列函数的定义域： (1)y＝log3x－1； (2)y＝ (a>0，a≠1)． 分析 定义域即使函数解析式有意义的x的范围． 解 (1)要使函数有意义，必须同时成立， 解得 ∴x>1. ∴定义域为(1，＋∞)． (2)要使原函数有意义，需1－loga(x＋a)>0， 即loga(x＋a)<1＝logaa. 当a>1时，0<x＋a<a，∴－a<x<0. 当0<aa，∴x>0. ∴当a>1时，原函数定义域为{x|－a<x<0}； 当0<a0}． 点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x，还要考虑不能使分母为零．
题型二 对数单调性的应用 (1)log43，log34，log的大小顺序为( ) A．log34<log43<log B．log34>log43>log C．log34>log>log43 D．log>log34>log43 (2)若a2>b>a>1，试比较loga，logb ，logba，logab的大小． (1)解析 ∵log34>1,0<log43<1， log＝log－1＝－1， ∴log34>log43>log. 答案 B (2)解 ∵b>a>1，∴0<<1. ∴loga<0，logb∈(0,1)，logba∈(0,1)． 又a>>1，且b>1，∴logb<logba， 故有loga<logb<logba<logab. 点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a>1为增；0<a<1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较． ③如果两对数的底数不同而真数相同，如y＝loga1x与y＝loga2x的比较(a1>0，a1≠1，a2>0，a2≠1)． 当a1>a2>1时，曲线y1比y2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x>1时，y1<y2；当0<xy2.而在第一象限内，图象越靠近x轴对数函数的底数越大． 当0<a2<a11时，y1<y2；当0<xy2即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小． 已知loga<1，那么a的取值范围是________． 分析 利用函数单调性或利用数形结合求解． 解析 由loga1时，显然符合上述不等式，∴a>1；当0<a<1时，a<，∴0<a<. 故a>1或0<a<. 答案 a>1或0<a< 点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要： (1)当a>1时，logax>0?x>1，logax<0?0<x<1； (2)当0<a0?0<x<1，logax1.
题型三 函数图象的应用 若不等式2x－logax<0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围． 解 要使不等式2x， 显然这里0<a<1，∴函数y=logax递减． 又loga>=log，∴a>，即a>. ∴所求的a的取值范围为<a<1. 点评 原问题等价于当x∈时，y1=2x的图象在y2=logax的图象的下方，由于a的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a必为小于1的正数，当y2的图象通过点时，y2满足条件，此时a=.那么a是大于a还是小于a才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握． 设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围． 错解 ∵f(x)的值域是R， ∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立， 即??a>1. 错因分析 出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别． 正解 函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R ?真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数． 当a＝0时，只要x>－，即可使真数t取到所有的正数，符合要求； 当a≠0时，必须有??0<a≤1. ∴f(x)的值域为R时，实数a的取值范围为[0,1]． 本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用． 1．(广东高考)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( ) A．{x|x>－1} B．{x|x<1} C．{x|－1<x<1}
D．? 解析 由题意知M＝{x|x－1}． 故M∩N＝{x|－1<x<1}． 答案 C 2．(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A．log32<log23<log25 B．log32<log25<log23 C．log23<log32<log25 D．log23<log25<log32 解析 ∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， ∴log25>log23>log22＝1. 又y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数， ∴log32<log33＝1.∴log32<log23<log25. 答案 A 3．(全国高考)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( ) A．a<b<c
B．c<a<b C．b<a<c
D．b<c<a 解析 ∵<x<1，∴－1<lnx<0. 令t＝lnx，则－1<t<0. ∴a－b＝t－2t＝－t>0.∴a>b. c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)， 又∵－1<t<0， ∴0<t＋1<1，－2<t－10，∴c>a. ∴c>a>b. 答案 C 1．已知函数f(x)＝的定义域为集合M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为集合N，则M∩N等于( ) A．{x|x>－1}
B．{x|x<1} C.
D．? 答案 C 2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)等于( ) A.
D．2 答案 B 解析 f(－a)＝lg＝－lg－1 ＝－lg＝－f(a)＝－. 3．已知a＝log23，b＝log32，c＝log42，则a，b，c的大小关系是( ) A．c<b1，b＝log3 2b； 又因为2>，则log32>log3＝， 而log42＝log2＝， 所以b>，c＝，即b>c.从而a>b>c. 4．函数f(x)＝lg|x|为( ) A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数 C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数 D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数 答案 D 解析 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数． 又当x>0时，|x|＝x，即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增函数． 又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数． 5．函数y＝ax与y＝－logax (a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( ) 答案 A 解析 方法一 若0<a1，则曲线y＝ax上升且过(0,1)，而曲线y＝－logax下降且过(1,0)．只有选项A满足条件． 方法二 注意到y＝－logax的图象关于x轴对称的图象的表达式为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接选定选项A. 6．设函数f(x)＝log2a(x＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为( ) A．(0，＋∞)
D. 答案 D 解析 已知－1<x<0，则0<x＋1<1，又当－1<x0，即0<x＋10，所以0<2a<1，即0<a<. 7．若指数函数f(x)＝ax (x∈R)的部分对应值如下表： x－202f(x)0.69411.44 则不等式loga(x－1)<0的解集为__________． 答案 {x|1<x<2} 解析 由题可知a＝1.2，∴log1.2(x－1)<0， ∴log1.2(x－1)<log1.21，解得x<2， 又∵x－1>0，即x>1，∴1<x<2. 故原不等式的解集为{x|1<x<2}． 8．函数y＝logax (1≤x≤2)的值域为[－1,0]，那么a的值为________． 答案 解析 若a>1，则函数y＝logax在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0<a<1，此时当x＝2时，y取最小值－1， 即loga2＝－1，得a－1＝2，所以a＝. 9．已知函数f(x)＝是实数集R上的减函数，那么实数a的取值范围为__________． 答案 解析 函数f(x)为实数集R上的减函数， 一方面，0<a<1且3a－1<0，所以0<a<， 另一方面，由于f(x)在R上为减函数， 因此应有(3a－1)×1＋4a≥loga 1，即a≥. 因此满足题意的实数a的取值范围为≤a<. 10．已知f(x)＝1＋log2x (1≤x≤4)，求函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)的最大值和最小值． 解 ∵f(x)的定义域为[1,4]， ∴g(x)的定义域为[1,2]． ∵g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log2x)2＋(1＋log2x2) ＝(log2x＋2)2－2， 又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1. ∴当x＝1时，g(x)min＝2；当x＝2时，g(x)max=7. 学习目标 1．掌握对数函数的概念、图象和性质． 2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质． 自学导引 1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义y＝logax (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点(1,0)，即loga1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 3.反函数 对数函数y＝logax
(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax_(a>0且a≠1)互为反函数．
一、对数函数的图象 例1 下图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取，，，，则图象C1，C2，C3，C4相应的a值依次是( ) A. B． C． D． 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a值依次为. 方法二 过(0,1)作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小． 点评 函数y=logax (a>0，且a≠1)的底数a的变化对图象位置的影响如下： ①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x轴． ②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 变式迁移1 借助图象比较m，n的大小关系： (1)若logm5>logn5，则m n； (2)若logm0.5>logn0.5，则m n. 答案 (1)
二、求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝log(x＋1)(2－x)． 分析 定义域即使函数解析式有意义的x的范围． 解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x|x>0}． (2)要使函数y＝有意义， 必须log0.5(4x－3)≥0＝log0.51， ∴0<4x－3≤1.解得<x≤1. ∴定义域是. (3)由，得 即0<x<2或－1<x<0， 所求定义域为(－1,0)∪(0,2)． 点评 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式． 变式迁移2 求y＝(a>0，a≠1)的定义域． 解 loga(4x－3)≥0.(*) 当a>1时，(*)可化为loga(4x－3)≥loga1， ∴4x－3≥1，x≥1. 当0<a<1时，(*)可化为 loga(4x－3)≥loga1， ∴0<4x－3≤1，<x≤1. 综上所述，当a>1时，函数定义域为[1，＋∞)， 当0<a<1时，函数定义域为.
三、对数函数单调性的应用 例3 比较大小： (1)log0.81.5与log0.82； (2)log35与log64. 分析 从比较底数、真数是否相同入手． 解 (1)考查对数函数y＝log0.8x在(0，＋∞)内是减函数， ∵1.5log0.82. (2)log35和log64的底数和真数都不相同，找出中间量"搭桥"，再利用对数函数的单调性，即可求解． ∵log35>log33＝1＝log66>log64， ∴log35>log64. 点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较． 变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小： (1)log0.52.7，log0.52.8； (2)log34，log65； (3)logaπ，logae (a>0且a≠1)． 解 (1)∵0<0.5<1， ∴对数函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数． 又∵2.7log0.52.8. (2)∵y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数， ∴log34>log33＝1. ∵y＝log6x在(0，＋∞)上是增函数， ∴log65<log66＝1. ∴log34>log65. (3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数． ∵π>e，∴logaπ>logae. 当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数． ∵π>e，∴logaπ<logae. 综上可知，当a>1时，logaπ>logae； 当0<a<1时，logaπ<logae. 例4 若－1<loga<1，求a的取值范围． 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论． 解 －1<loga<1?loga<loga<logaa. 当a>1时，<. 当0<a>a，∴0<a<. ∴a的取值范围是∪. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性． (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循"定义域优先"原则． (3)若含有字母，应考虑分类讨论． 变式迁移4 已知loga(2a＋1)<loga3a<0，求a的取值范围． 解 loga(2a＋1)<loga3a<0(*) 当a>1时，(*)可化为， 解得，∴此时a无解． 当0<a<1时，(*)可化为 ，解得， ∴<a<1. 综上所述，a的取值范围为. 1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1. 2．应用对数函数的图象和性质时要注意a>1还是0<a<1。 一、选择题 1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是( ) 答案 A 解析 a>1由指数函数与对数函数图象可知A对． 2．函数y＝的定义域是( ) A．[1，＋∞)
D. 答案 D 解析 由已知log(3x－2)≥0，得0<3x－2≤1 ∴<x≤1. 3．已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<b<c
B．a<c<b C．b<a<c
D．c<a<b 答案 C 解析 0<a＝log0.70.81，b<0. 4．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为4，则a等于( ) A.
D．4 答案 A 解析 由题意得loga a＋loga 2a＝4，∴2＋loga 2＝4， ∴a＝. 5．若loga<1，则a的取值范围是( ) A．a>1
B．0<a1 C．0<a<
D.<a<1 答案 B 解析 a>1时，a>，此时loga <loga a＝1， 即a>1符合要求； 当0<a<1时，loga <loga a，∴0<a<， 即0<a<符合要求； ∴a>1或0<a<. 二、填空题 6．若f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________． 答案 3 解析 ∵当x≤1时，f(x)＝≥,∴满足f(x)＝的x∈(1，＋∞)，,即log81x＝，∴x＝＝3. 7.函数f(x)＝log3x的反函数为__________．,答案 f(x)＝3x,8.对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f＝______. 答案 －2 解析 设f(x)＝logax (a>0且a≠1)． 将点(8,3)代入解析式得：loga8＝3，即a3＝8， ∴a＝2.∴f＝log2＝－2. 三、解答题 9．已知f(x)＝loga (a>0且a≠1)，其定义域为(－1,1)，试判断f(x)的奇偶性并证明． 证明 函数的定义域是(－1,1)，关于原点对称． ∵f(－x)＝loga ＝loga＝loga－1 ＝－loga， ∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数． 10．求函数y＝loga(a－ax) (a>0，且a≠1)的定义域和值域． 解 ∵a－ax>0，∴a>ax. 当a>1时，x<1，则f(x)的定义域为(－∞，1)； 当0<a1，则f(x)的定义域为(1，＋∞)． ∵ax>0，∴0<a－ax<a. 当a>1时， loga(a－ax)<logaa＝1，函数f(x)的值域为(－∞，1)； 当0<a<1时， loga(a－ax)>logaa＝1，函数f(x)的值域为(1，＋∞)．综上所述，当a>1时，函数f(x)的定义域与值域均为(－∞，1)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域与值域均为(1，＋∞)．
