求 大学数学体系、结构图比如说,数论,复变函数,概率论,数理统计,计算几何,线性代数,运筹学,复分析,实分析,图论,代数,博弈论,拓扑学等等等等.希望得到一个答案能够说清楚这些分支（包括我还没有列出来的分支）之间的关系,是学习其他分支的基础的关系,还是并列的关系,或是包含关系,或是其他的关系.最好有一张结构图.
你这张图太杂,不同专业选学不同模块.不过最先学的是高等数学（里面包括微积分、解析几何初步和常微分方程基础）、线性代数（这是代数中的一块内容,主干内容是解线性方程组,代数的研究范围就更广、更抽象了）、概率论和数理统计.然后再学其他的,有了上述基础,其他的就可以并列、交叉学了.看你列举出高等数学而不是数学分析,说明你不是数学专业的学生,那么很多分支是你不用学的,先学好最基本的吧.另外,你说的“具体数学”是什么东东?没听说过
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姚天行，等
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21世纪高等院校教材：大学数学（线性代数、概率论与数理统计）《21世纪高等院校教材：大学数学：线性代数、概率论与数理统计》是一套经济管理类各专业使用的数学基础（包括微积分、线性代数、概率论与数理统计三大部分）教材中的线性代数、概率论与数理统计两部分，包括了全国经济管理类硕士生入学考试大纲全部内容。《21世纪高等院校教材：大学数学：线性代数、概率论与数理统计》力求系统性和严密性，定理的证明尽量采用较为简便的方法，某些证明富有新意。每节后附有一定量的习题，习题分A，B两类，其中A类要求学生掌握，B类一般较难，供学生选做。某些习题是近几年考研试题，很有启发性。　　《21世纪高等院校教材：大学数学：线性代数、概率论与数理统计》适合经济管理类大学本科生、报考数学三与数学四硕士研究生的考生作为教材和教学参考书之用，也适合相关专业的数学教师与专业技术人员参考之用。线性代数第一章 行列式、矩阵和线性方程组第一节 行列式1.1.1 行列式的定义和性质1.1.2 克拉默法则习题1.1第二节 矩阵和向量1.2.1 矩阵和向量概念1.2.2 矩阵的运算1.2.3 矩阵的初等变换1.2.4 逆阵1.2.5 分块矩阵习题1.2第三节 向量组的相关性1.3.1 向量组的相关性1.3.2 矩阵的秩习题1.3第四节 线性方程组1.4.1 高斯消去法1.4.2 线性方程组有解的判定1.4.3 线性方程组解的结构1.4.4 最小二乘拟合习题1.4第二章 相似矩阵与二次型第一节 矩阵的对角化2.1.1 相似矩阵2.1.2 特征值和特征向量2.1.3 矩阵可对角化的条件习题2.1第二节 实二次型2.2.1 正交方阵2.2.2 施密特正交化方法2.2.3 实二次型的化简2.2.4 正定二次型*2.2.5 矩阵标准型在几何中的应用习题2.2附录 线性空间与线性变换1 线性空间及其运算2 线性空间的基、维数与同构3 线性子空间4 线性变换及其运算5 线性变换的矩阵习题概率论与数理统计第三章 概率论第一节 随机事件及其概率3.1.1 随机事件3.1.2 事件的概率3.1.3 条件概率与事件的独立性习题3.1第二节 概率分布3.2.1 随机变量及其分布3.2.2 随机变量的数字特征3.2.3 二维随机变量及其分布3.2.4 大数定律和中心极限定理习题3.2第四章 数理统计初步第一节 随机样本和抽样分布4.1.1 总体与样本4.1.2 常用的抽样分布习题4.1第二节 参数估计与假设检验4.2.1 参数的点估计4.2.2 参数的假设检验与区间估计4.2.3 非参数假设检验习题4.2第三节 回归分析4.3.1 一般概念4.3.2 一元线性回归4.3.3 相关系数与回归的显著性检验4.3.4 预测与控制4.3.5 一元非线性回归习题4.3附录习题答案与提示&>&&>&线性代数、概率论与数理统计试题及答案
线性代数、概率论与数理统计试题及答案 35805字 投稿：卢頧頨
起始课教案教学重点、难点：1、知识和能力目标：掌握并运用初中语文学习的方法。2、过程和方法目标：介绍初中语文教材的特点及与小学语文的异同。3、情感态度和价值观目标： 激发学生学习语文的兴趣。教学方法：介绍法，互动法。教学过程：一、今天我们相识欢迎同学…
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2010线性代数试题及答案
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式
=n，则行列式
a12?a13a22?a23
B. -(m+n) D. m-n
2.设矩阵A=?020?，则A-1等于（
?0??0? ?1??3?
?1?0 3?01?
3.设矩阵A=?10?1?，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（
D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（
B. B?C时A=0
C. A?0时B=C
D. |A|?0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A）等于（
6.设两个向量组α1，α2，,,，αs和β1，β2，,,，βs均线性相关，则（
A.有不全为0的数λ1，λ2，,,，λs使λ1α1+λ2α2+,,+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+,,λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，,,，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+,,+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，,,，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+,,+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，,,，λs和不全为0的数μ1，μ2，,,，μs使λ1α1+λ2α2+,,+
λsαs=0和μ1β1+μ2β2+,,+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（
A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（
B.秩(A)=n-1
D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，
λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（
B. k3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（
A.|A|2必为1
B.|A|必为1
D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（
A.A与B相似
B. A与B不等价
C. A与B有相同的特征值
D. A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为（
?111???D.?120? ???102?
非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每
小题的空格内。错填或不填均无分。
15.356?92536
?1?11??123?
?，B=??.则A+2B?11?1???1?24?
17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)218.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为
20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为
21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）. 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.
?0106??2?????
23.设矩阵A=?1?3?3?，已知α=??1?是它的一个特征向量，则α所对应的特征值
??????2108??2?
24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.设A=?340?，B=?（2）|4A|. ?.求（1）AB；
26.试计算行列式
27.设矩阵A=?110?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
??2??1??3??0?
1??3?0??1???28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=??.
?2??2??4??0?
4?13?????9???
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
?1?2?102????2426?6?. 29.设矩阵A=?
?2?1023????33334?
求：（1）秩（A）；
（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=??2?34?的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.
31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3， 并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
（2）η0，η1，η2线性无关。
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. ?
17. 4 18. –10
19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1
24. z1?z22?z3?z4
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
?120??2?2?????
25.解（1）ABT=?340??34?
??????121???10?
?86???=?1810?. ???310?
（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
|A|=340??2.
所以|4A|=64·（-2）=-128 31??4?1113?1
201??3?5?530
511=?111?1 ?5?50
?30?10?40. =?620?
AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
（A-2E）-1=?1?10?
?1?4?3?????1?5?3?. ????164?
?1?4?3??423?????
B=(A-2E)-1A=?1?5?3??110?
??????164???123?
?3?8?6???=?2?9?6?. ????2129?
???2?????1?30?1?1?30?1???28.解一
??????????34?19??013?112?
?0??0?1?0????
0?14?14??0002?
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
对矩阵A施行初等行变换
?1?2?102???0006?2? A????
?0328?2????0963?2?
2??1?2?10?1?2?1
?????????????000?0006?2?????000?217??000
所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二
考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?2即
2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.
（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是
B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T，
ξ2=（2，0，1）T.
?2/5??2/15?????
经正交标准化，得η1=??/5?，η2=?4/15?.
?0??5/3?????
λ=-8的一个特征向量为
?1??1/3?????ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.
??????2???2/3?
?2/52/151/3?
所求正交矩阵为
T=???5/54/152/3?.
?0/3?2/3??
?1对角矩阵
?2/52/151/3（也可取T=????0?/32/3?
?/5?45/15?2/3??
f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
y1?x1?2x2?2x3
?x1?y1?2y2设?
?y?y?2?x2?x3，
即?x2?y3， ?2?
x3?3?因其系数矩阵C=?1?20?
?可逆，故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形
y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证
由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 .
由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而所以η0，η1，η2线性无关。
2010期末考试试卷参考解答及评分标准
命题人(签字)
审题人(签字)
概率论与数理统计
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A?B的意思是 (
) (A) 事件A与事件B同时发生 (B) 事件A发生但事件B不发生 (C) 事件B发生但事件A不发生 (D) 事件A与事件B至少有一件发生 答：选D，根据A?B的定义可知。
2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件A?B(
) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从 (
) (A) 自由度为1的?2分布 (B) 自由度为2的?2分布 (C) 自由度为1的F分布 (D) 自由度为2的F分布
答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的?2分布。
4. 已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(?2,1), 则(
) (A) X+Y~P(4) (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) (D) X+Y~N(0,3)
答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+Y~N(0,5)。 5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=?, D(X)=?2, 则有(
(A) X1+X2+X3是?的无偏估计 (B) 1是?的无偏估计
?X1?X2?X3?222
(C) X2是?的无偏估计 (D) ??是?的无偏估计
答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。
6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为(
) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上） 1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(A?B)= __________ 答：填0.18, 由乘法公式P(A?B)=P(A)P(B|A)=0.6?0.3=0.18。
2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________
答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1?0.216=0.784。
3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____
答：填0.25或，由古典概型计算得所求概率为??0.25。 3
4. 已知连续型随机变量X~f(x)??2?x,1?x?2, 则P{X?1.5}=_______
?0,其它.?答：填0.875，因P{X?1.5}??
f(x)dx?0.875。
5. 假设X~B(5, 0.5)(二项分布), Y~N(2, 36), 则E(X+Y)=__________
答：填4.5，因E(X)=5?0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5
6. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)＝________ 答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。 三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）
解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有
P(B)?P(A)P(B|A)?P()P(B|)
四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）
解：已知X的概率密度函数为fX(x)??
Y的分布函数FY(y)为
FY(y)?P{Y?y}?P{2X?1?y}?P{X??FX???
因此Y的概率密度函数为
1?y?1??,1?y?3,
fY(y)?FY?(y)?fX?
(2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数?XY(满分10分) 的边缘分布率如下表：
2)=1?0.6+4?0.4=2.2, D(X)=E(X2)?[E(X)]2=2.2?0.04=2.16
E(Y)??1?0.3+1?0.3+2?0.4=0.8, E(Y2)=1?0.3+1?0.3+4?0.4=2.2 D(Y)= E(Y2)?[E(Y)]2=2.2
?0.64=1.56
?1)?(?1)?0.1+(?1)?1?0.2+(?1)?2?0.3+2?(?1)?0.2+2?1?0.1+2?2?0.1=
=0.1?0.2?0.6?0.4+0.2+0.4??0.5
cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)??0.5?0.16??
?XY??????0.36
六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分)
解：已知样本均值?1950, 样本标准差s=300, 自由度为15?1=14, 查t分布表得
2.6.1, 因此平均使用寿命的置信t0.025(14)=2.1448, 算出t0.025
3.873区间为?166.1，即()。
u2t分布表P{t(n)>t??n)}=?
附加题1 设总体X的概率密度为
?(??1)x?,0?x?1,
其中?>?1为未知参数，又设x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估计值。（满分15分） 解：似然函数
?n?L?(??1)??xi? ?i?1?
lnL?nln(??1)???lnxi
d?(??1)i?1dlnL
?0，解出?的最大似然估计值为 令d?
附加题2 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)?P(Y=yj), 经简单四则运算，可得
《线性代数、概率论》期末考试试卷答案
一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题2分，共40分）：
1．行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H，则------------C-------------; (A) G=H ；
(B) G= 0 ；
(C) H=kG ；
2．在行列式G中，Aij是元素aij的代数余子式，则a1jA1k+ a2jA2k+,,+anjAnk--------D------; (A) ?G (j=k=1,2,,,,n时) ；
(B) =G（j, k=1,2,,,,n; j?k时) ；
(C) =0 (j=k=1,2,,,,n时) ；
(D) =0（j, k=1,2,,,,j?k时) 。
3．若G，H都是n? n可逆矩阵，则----------B------------； (A) (G+H)-1=H-1+G-1 ；
(B) (GH)-1=H-1G-1 ； (C) (G+H)-1=G-1+H-1 ；
(D) (GH)-1=G-1H-1 。 4．若A是n? n可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------；
(A) ?A*?=?A?n-1 ；
(B) ?A*?=?A?n ；
(C) ?A*?=?A?n+1 ；
(D) ?A*?=?A? 。 5．设向量组?1, ?2,,,,?r (r>2)线性相关, 向量?与?1维数相同，则------------C----------- (A) ?1, ?2,,,,?r-1 线性相关；
(B) ?1, ?2,,,,?r-1 线性无关； (C) ?1, ?2,,,,?r ,?线性相关；
(D) ?1, ?2,,,,?r ,?线性无关。
6．设?1, ?2, ?3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是---------D---------- (A) ?1, ?2, ?3线性无关；
(B) X=?1+?2+ ?3是AX=0的解向量； (C) A的秩R(A)=2；
(D) ?1, ?2, ?3是正交向量组。
7．设?1, ?2是实对称阵A的特征值，?1, ?2,分别是对应?1, ?2特征向量，则----A-------- (A) 当?1??2时，?1与?2正交；
(B) 当?1=?2时，?1与?2不正交； (C) ?1, ?2线性无关；
(D) ?1, ?2线性相关。
8．设A与B相似，则在下列中错误的是----B--------
(A) A与B有相同的特征值；
(B) A与B有相同的特征向量； (C) A与B有相同的谱半径；
(D) ?A?=?B?。 9．设A为n级方阵，X为n维列向量, 则--------B----------- (A) 二次型?(X)=XTAX的矩阵是A； (B) 二次型?(X)=XTAX的矩阵是
(C) 二次型?(X)=XTBX的矩阵不是A； (D) 二次型?(X)=XTBX的矩阵可逆；
10．实对称阵A为正定的必要但不充分的条件是--------------D-------------------- (A) A的特征值全为正；
(B) A与单位阵E合同； (C) A的各阶顺序主子式都大于零；
(D) A可逆。
11. 设A, B为随机事件, 若--------C-------------- , 则A,B相互独立。
(B) P(AB)=0;
(C) P(?B)=P(?)P(B);
(D) A∪B=Ω,AB=Φ。 12. 设A,B为随机事件, 若P(A)=P(B)>0.5, 则------B------------ 。
(A) A,B互不相容;
(B) A,B非互不相容;
(C) A,B相互独立;
(D) A,B相互不独立.
13. 盒中有5个球, 其中2个是红球, 3个是白球, 从中任取2球, 则取到1个红球的概率是---------------B-------- 。
(D) 0.48。
14. 设A,B为随机事件, P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A-B)=0.1. 则------B-------- . (A) P(A∪B)=0.6;
(B) P(B-A)=0.3;
(C) P(?-B)=0.4;
(D) P(AB)=0.2;
15. 设随机变量X只能取3,4,5, …,17这15个值, 且取每个值的概率均相同, 则 P(0<X2<17)= ---------C---------- .
16. 己知函数? (x), 当x?[0.1] 时? (x)=0;当x?[0,1] 时, ?则? (x)可看作某一随机变量X的概率分布密度函数;
(D) 3x2; 17. 己知随机变量X服从区间[5.10] 上的均匀分布, 则----------C------------ . (A)P(X2<9)=0.3 ;
(B) P(X2<9)=0.15 ;
(C) P(X2≤9)=0;
(D)“X=7” 是不可能事件;
己知随机变量X服从二项分布B(n, p), 则 (A)
(D) 1/(1-p).
19. 己知随机变量X服从区间[a, b]上的均匀分布, 则(A) 1/(b-a) ;
(B) (a+b)/2;
(C) (a-b)/2;
(D) (b-a)2/12;
20.己知随机变量X服从正态分布N( ?, ?2), 则E(X2(A) ?2 ;
(C) ?2-?2;
(D) ?2+?2;
二、解答题(每小题8分，共48分)
1．解矩阵方程：X??12????20?
?1?1??1?1??3?2??1
???11????2?1???
解：X??20??????20?4?2?????
(8分) ?12??
??12???12???11??01?
???????1?1?
另解：A???,B?20?? ?12?
?11??10??10?
?12??11??01?
??????E??A??c2?c1c1?c2
???1?2??????3?2????1?
(6分) ?B???1?1?????????BA????202?24?2??????????12???11???01???3?2?
∴X?BA?1??4?2?
2. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1,?2,?3是它的三个解向量，且
?????3??2?
?1=?? , ?2+?3=?? ,求该方程组的通解。
43?????5??4?????
解：设四元非齐次线性方程组XA=B, R(A)=3, ?1,?2,?3是它的三个解向量, 则
?=2?1-?2-?3=??是齐次线性方程组XA=0的一个基础解系。
?3??2??????4??3?
∴方程组XA=B的通解为 X=k?+?1=k?????
54?????6??5?????
?110???3．求矩阵A?011的特征值和特征向量： ????001??
（3分） ????1
得A的特征值 ?1=?2=?3=1。
以?=1，代入(?E?A)X?0，得
?1???其基础解系是X?0，
??所以属于?=1的全部特征向量是k0,k?0是任意常数。
（8分） ????0??
4. 设P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A?B)?0.7,求P(AB),P(AB),P(AA?B)
解：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.5?0.4?0.7?0.2;
P(AB)?P(A?B)?P(B)?0.7?0.4?0.3
P(A(A?B))P(A)0.44???
P(A?B)P(A?B)0.77
5．设连续随机变量X的分布函数为
F(x)??a?be
(1) 求常数a、和b; (2) 求概率P{X2<1};
(3) 求随机变量X的概率密度函数。 解：(1) a=F(+?)=1, , a+b=F(0)=F(0-0)=0,
∴ a=1, b= -1,
P{X2<1}=F(1)-F(-1)=1-e-0.5;
X的概率密度函数：
f(x)?F?(x)??xe
6．设随机变量X的概率密度为：
试求（1）X的数学期望E(X)。（2）Y=e-2X的数学期望E(Y)。
解：（1）E(X)=
xf(x)dx??xe?xdx???xd(e?x)
（2）E(Y)=
??edx]??e?xdx??e?x
f(x)dx??e?3xdx??e?3x
三、证明题(每小题6分，共12分)
1．若A、B均为数域P上的n级矩阵，A与B在数域P上相似，且A与B都可逆，证明：A-1与B-1也在数域P上相似，
证：A与B在数域P上相似，则存在数域P上可逆矩阵C，使C-1AC=B, (2分) B=(CAC)=CA(C)=CAC.
A-1与B-1也在数域P上相似，(6分)
2．设随机变量X服从正态分布N( ?, ?2), ?(x)?
dt, 常数a<b,
证明：P{a<X<b}=??
?b????a???
???????????
证：随机变量X服从正态分布N( ?, ?2)，其密度函数为
(x??)2f(x)?
1?(x??)2P{a?X?b}??
P{a?X?b}?1a??
?b???????????a???????
1). 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
?1??2,?2??3,?3??1.
(B) ?1??2,?2??3,?3??1.
(C)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(2). 若AB?E,则
(A) A的行向量线性相关;
(B) B的行向量线性无关;
(C) A是列满秩的;
(D) B是列满秩的.
?2?1?1??10(3).设矩阵A????12?1??,B??0??010?
???1?12????000??
(A)合同,相似. (B)合同,不相似. (C)不合同,相似. (D)不合同,不相似. 【二、填空题(每小题5分,共15分)
(1). 在Ax??b?
A3j?3,Ai3?6, 则x3.
(2). 若n阶矩阵A的特征值为0,1,2,?,n?1, 且B?A, 则|B?E|??1
三、(12分) 求以?:?为准线,母线平行于向量(2,1,1)的柱面方程. 2
?x1?x2?x3?0?
四、 (12分) 设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解,求a的值
?x1?4x2?ax3?0
及所有公共解.
五、(12分). 设二次型f(x)?xTAx，其中A??202?.
(1) 求一个正交矩阵P，使PAP成对角矩阵;
(2) 若f(x)??1,指出方程所表示的图形名称. ?23?1???
六、(12分) 设A??210?且知AX?A?3X，求矩阵X.
七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)
(1) 1?x,x?x2,x2?1是否可作为span{1?x,x?x2,x2?1}的一个基？求
span{1?x,x?x2,x2?1}维数.
a?c??a?b?c
?的值域的基和零度空间的基
2a?b?2c??0
八、(10分) 设?1,?2,?,?k是齐次线性方程组Ax?0的基础解系，向量?满足A??0，证明：
(2) 求V?W的线性变换T(a,b,c)??向量组?1??,?2??,?,?k??线性无关. 1).【 A 】(2).【 D 】(3).【 B 】
二、填空题(每小题5分,共15分) (1). x3 ??1? .
三、(12分).解设柱面上的点为p(x,y,z),准线?上的点为p?(x?,y?,z?),则
p??p?t(2,1,1)
?x??x?2t?x??x?2t??
?z?z?t?z?z?t????
?y?0?y?t?0
?z?x?z?t?(x?2t)
消去t,即得所求柱面方程 z?y?(x?2y)2,
x2?4y2?4xy?y?z?0.
四、 (12分) 解:因为方程组①与②的公共解,即为联立方程组
?x1?x2?x3?0?x?2x?ax?0?123
(*)的解.对方程组(*)的增广矩阵施以行初等变换: ?2
?x1?4x2?ax3?0?x?2x?x?a?1
??a?????12a0010a?1?????B ??
2?14a?0??00a?11?a????121a?1000(a?1)(a?2)????????
因为方程组(*)有解, 所以a?1或a?2,
?1010???1?????;
0时,B??010
0?, ①与②的公共解为x?k?当a?1???0000?
?0000????1?
当a?2时,B??0
0??0?????1?, ①与②的公共解为x??1?
五、(12分).解: (1)|A??E|?2
2?(4??)(??2)2?0, ??
?1?4,?2??3?? 2.
2?(4??)2??
当?1?4时, ?2?4
当?2??3??2时, ?2
2??1?21??10?1??1?
?0?33???01?1?????1?; 2??1???????
??4????000????000???1??
22??111???1???1?
?000?????1?,???0?,
22??2?????3??
??22????000???0???1??
?1??1,?2??2,?3??3?
?2?(?,?,1)T,
?,?2?(T,?3?( ||?1||?4?
? 令P?[?1,?2,?3], 则P?1AP???2??
????T??TT??T?222
(2)做变换x?Py, 则f(x)?xAx?yPAPy?y?y?4y1?2y2?2y3??1
???1,为单叶双曲面. 整理得 ?111422
六、(12分) 设
解：由AX?A?3X，得AX?3X?A，
??13?1??23?1??????1
210即X?(A?3E)A?2?20????.
?040??043??????0?4?2??23?1???8?12
1????1?00?2210 ??????8?0?8?8??84?4??043??2412?????
222?七、(12分) 解：(1) [1?x,x?x,x?1]?[1,x,x]1?
?10?1??10?1?
?110???011?，故2
可作为span{1?x,x?x2,x2?11?x,x?x}的
??????011????000??
一个基，维数是2.
?20???3??3??
0?1?10??，而 11??
4??3?. 4??5??2?
a?c??a?b?c????
(2) T(a,b,c)????(E11E12E22)?101??b?,
02a?b?2c???212??c?
????1?111??111??10?
?101???0?10,
?212??010??00?0??????
0?11??1???10?
R(T)的基为?,,ker(T)的基为?????.
?02??01??01?
八、(10分)证：设t1(?1??)?t2(?2??)???tk(?k??)?0，则
t1?1?t2?2???tk?k?(t1?t2???tk)??0
（*）式左乘A，得t1A?1?t2A?2???tkA?k?(t1?t2???tk)A??0
因为?1,?2,?,?k是齐次线性方程组Ax?0的基础解系
因而，A?j?0，所以
(t1?t2???tk)A??0, 但A??0
从而t1?t2???tk?0，继而t1?1?t2?2???tk?k?0，
又 ?1,?2,?,?k是齐次线性方程组Ax?0的基础解系。
推得t1?t2???tk?0，证毕.
1). 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
?1??2,?2??3,?3??1.
(B) ?1??2,?2??3,?3??1.
(C)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(2). 若AB?E,则
(A) A的行向量线性相关;
(B) B的行向量线性无关;
(C) A是列满秩的;
(D) B是列满秩的.
?2?1?1??100?????
(3).设矩阵A???12?1?,B??010?, 则A与B
??1?12??000?????
(A)合同,相似. (B)合同,不相似. (C)不合同,相似. (D)不合同,不相似. 【
二、填空题(每小题5分,共15分)
(1). 在Ax?b中,
A3j?3,?biAi3?6, 则x3.
(2). 若n阶矩阵A的特征值为0,1,2,?,n?1, 且B?A, 则|B?E|?O(3). ?
三、(12分) 求以?:?为准线,母线平行于向量(2,1,1)的柱面方程. 2
?x1?x2?x3?0?
四、 (12分) 设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解,求a的值
?x1?4x2?ax3?0
及所有公共解.
五、(12分). 设二次型f(x)?xAx，其中A??202?.
(1) 求一个正交矩阵P，使PAP成对角矩阵;
(2) 若f(x)??1,指出方程所表示的图形名称. ?23?1???
六、(12分) 设A??210?且知AX?A?3X，求矩阵X.
七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)
(1) 1?x,x?x,x?1是否可作为span{1?x,x?x,x?1}的一个基？求
span{1?x,x?x2,x2?1}维数.
a?c??a?b?c
?的值域的基和零度空间的基
2a?b?2c??0
八、(10分) 设?1,?2,?,?k是齐次线性方程组Ax?0的基础解系，向量?满足A??0，证明：
(2) 求V?W的线性变换T(a,b,c)??向量组?1??,?2??,?,?k??线性无关. 1).【 A 】(2).【 D 】(3).【 B 】
二、填空题(每小题5分,共15分) (1). x3 ??1? .
三、(12分).解设柱面上的点为p(x,y,z),准线?上的点为p?(x?,y?,z?),则
p??p?t(2,1,1)
?y??y?t ?z?z?t??
?z?x?z?t?(x?2t)
消去t,即得所求柱面方程 z?y?(x?2y)2,
x2?4y2?4xy?y?z?0.
四、 (12分) 解:因为方程组①与②的公共解,即为联立方程组
?x1?x2?x3?0?x?2x?ax?0?123
(*)的解.对方程组(*)的增广矩阵施以行初等变换: ?2
?x1?4x2?ax3?0?x?2x?x?a?1
0??1011?a?
2a0??010a?1??B
?4a0??00a?11?a
21a?1?000(a?1)(a?2)?????
因为方程组(*)有解, 所以a?1或a?2,
时,B??0当a?1
当a?2时,B??0
0???1????; 00?, ①与②的公共解为x?k?0
00??00??0?
????01?, ①与②的公共解为x??1?
五、(12分).解: (1)|A??E|?2
2?(4??)(??2)2?0, ??
?1?4,?2??3?? 2.
2?(4??)2??
当?1?4时, ?2?4
当?2??3??2时, ?2
正交化, 单位化
2??1?21??10?1??1?
?0?33???01?1?????1?; 2??1???????
??4????000????000???1??
22??111???1???1?
?000?????1?,???0?,
22??2?????3??
??22????000???0???1??
?1??1,?2??2,?3??3?
?2?(?,?,1)T,
?,?2?(T,?3?( ||?1||?4?
? 令P?[?1,?2,?3], 则P?1AP???2??
?????????222
(2)做变换x?Py, 则f(x)?xTAx?yTPTAPy?yT?y?4y1?2y2?2y3??1
???1,为单叶双曲面. 整理得 ?422
六、(12分) 设
解：由AX?A?3X，得AX?3X?A，
??13?1??23?1??????1
210即X?(A?3E)A?2?20????.
?040??043??????0?4?2??23?1???8?12
1?1????00? ???????8???043??8???????1
222?七、(12分) 解：(1) [1?x,x?x,x?1]?[1,x,x]1?
?20???3??3??
0?1?10??，而 11??
4??3?. ?4?5??2?
?10?1??10?1?
?110???011?，故1?x,x?x2可作为span{1?x,x?x2,x2?1}的 ??????011????000??
一个基，维数是2.
a?c??a?b?c????
(2) T(a,b,c)????(E11E12E22)?101??b?,
02a?b?2c???212??c?
????1?111??111??10?
?101???0?10,
?212??010??00?0??????
0?11??1???10?
R(T)的基为??,??,ker(T)的基为??.
020101??????
八、(10分)证：设t1(?1??)?t2(?2??)???tk(?k??)?0，则
t1?1?t2?2???tk?k?(t1?t2???tk)??0
（*）式左乘A，得t1A?1?t2A?2???tkA?k?(t1?t2???tk)A??0
因为?1,?2,?,?k是齐次线性方程组Ax?0的基础解系
因而，A?j?0，所以
(t1?t2???tk)A??0, 但A??0
从而t1?t2???tk?0，继而t1?1?t2?2???tk?k?0，
又 ?1,?2,?,?k是齐次线性方程组Ax?0的基础解系。 推得t1?t2???tk?0，证毕.
2006年1月线性代数与几何试题A卷
一、填空题(每小题3分,共12分)
(1). 若向量组α1?(?2,3,1)T,α2?(2,t,?1)T,α3?(0,0,1)T线性相关,则常数t.
(2). 若矩阵A的伴随矩阵A*??
0?0??,则det(A). 0??8?
?1?12???TT
(3). 已知α?(a1,a2,a3)T为3维向量, αα??11?2,则αα.
????2?24??
(4). 已知α1,α2是齐次线性方程组Ax?0的基础解系,则向量组
β1?α1?t1α2,β2?α2?t2α1也可作为Ax?0的基础解系的充要条件是常数t1,t2
二、单项选择题(每小题3分,共12分)
?2(1). 设矩阵A?21??
(A) A为正交矩阵 (B) A为正交矩阵.(C) A为正交矩阵. (D) A-1?AT. 【
33?280??6????6?,则等于
(2). 已知矩阵A?22a相似于对角矩阵
????a???2??006????
(3). 设矩阵A?bab的伴随矩阵A的秩为1,则
(A) a?b?0. (B) a?b且a?2b?0. (C) a?2b?0.
(D) a?b且a?2b?0.【
????a?ba??2?2
a,b?R(4).R的子空间???的维数是 ?0b??????
三、(12分) 设3阶方阵A、B满足A?B?AB,
?220???(1) 证明矩阵A?I可逆;
(2) 当B?360时,求A. ????003??
四、(13分) a、b取何值时,线性方程组
?13?2?1??x1??0??013??x??1?2???2???? ?14a1??x3??1???????1710a?6???x4??b?
有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出方程组的结构式通解.
?x?3?z?x?y?3z??7
五、(12分) 求两相交直线L1:?与L2:?所确定的平面的一般式方程.
y?2x?2z??6??
六、(12分) 设3阶矩阵A的特征值为1,2,?3,求方阵B?A?2A?3I的特征值及det(B).
七、 (13分) 设矩阵B?220,x?(x1,x2,x3),
(1) 写出二次型f(x1,x2,x3)?xTBx的矩阵A;
(2) 求一个正交矩阵P,使PAP成对角矩阵;
(3) 写出在正交变换x?Py下f化成的标准形.
八、(8分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)
由向量组α1?(1,1,1,3)T,α2?(?1,?3,5,1)T,α3?
(3,2,?1,4)T,α4?(?2,?6,10,2)T生成,求V的基与维数.
(2) 设α1,α2,α3为3维线性空间V的基, V上的线性算子T在该基下的矩阵为
?,求T的值域R(T)的基与维数、T的核ker(T)的基.
九、(6分) 设A、B均为n阶正定矩阵.证明:关于?的方程det(?A?B)?0的根全大于零.
线性代数与解析几何(A卷)参考答案与评分标准
(4) 1?t1t2?0.
,故A?I可逆.
(2) 解法1: 由(1)有A?I?(B?I)?1 , A?I?(B?I)?1 (7分)
?????520?420?????1
而(B?I)??3?10?
??1?3?0000????
解法2: A(B?I)?B,A?B(B?I)?1.
以下同解法1.
?13?2?1?0??013?2?1?
(4分) 四. ?(A,6)??
?00a?10?0???000a?1?b?4??
(1) 当a?1时, r(A)?r()?4有唯一解;
(2) 当a?1且b?4时,r(A)?r()无解;
(3) 当a?1且b?4时, r(A)?r()?2?4有无穷多解,此时,由
?10?11?7??3???3??11??7??013??1???3???2?2?1?,得所求通解x????c1???c2??.
?000?0??1??0?0?0?????????
0?0??000?0??0??1???
五. L1的方向向量为a1?(?1,0,1),L1上有点p1(3,2,0) (2分) L2的方向向量为a2?(2,1,1),
L2上有点p2(?6,?1,0) (5分)
由[a1a2p1p2]?0,知L1与L2共面
a2?a1?(1,3,1)
所求平面方程为x?3?3(y?2)?z?0,或x?3y?z?3?0.
?6?6?2?3)?1??5?1,
B?2?(?4?3)?2??4?2,
六. |A|??6, B?1?(11
B?3?(?6?3)?3?11?3,
得B的特征值为-5,-4,11, 对应特征向量分别为c1?1,c2?2,c3?3 (ci?0) (8分) 由特征值的性质知B的特征值为?
,?,，对应特征向量分别为k1?1,k2?2,k3?3 (ki?0) (11分) 5411
det(B)?(?)?(?)?()?
七. (1) A?(B?B)?320
A的特征值为?1??2?5,?3??1,
对应于?1??2?5,的标准正交特征向量可取为
e2?(0,0,1)T
(1,?1,0)T,令p?[e1对应于?3??1的单位特征向量可取为e3?2
5p为正交矩阵,使pAp???.
(3分) ?5y2?y3
知道V的基与维数分别等于向量组?1,?2,?3,?4的极大无关组与秩.
?,知V基可取?1,?2,?3, (4分) dim(V)?3 (6由A?[?1?2?3?4]行?
?0010???0000??
因r(A)?3,知Ax?0基础解系含1个向量,再由?4?2?2知Ax?0的基础解系可取
??(0,2,0,?1)T
??(2) 知道R(T)与A的列空间同构,
由A行01?1知R(T)的基可取为 ????000??
?1??2?2?3,?1?2?2?3?3?dim(R(T))?2.
(6分) ?104?
?知Ax?0的基础解系为
01?1T)与Ax?0的解空间同构,由A行?知道ker(????000??
(?4,1,1)T, ker(T)的基可取为?4?1??2??3.
九. 因A正定,有可逆矩阵P,使A?PP,
因B正定,故(P)BP也正定,
|?A?B|?|?PTP?PT(P?1)TBP?1P|?|PT(?I?(P?1)TBP?1)P|
?|PTP||?I?(P?1)TBP?1|?|A||?I?(P?1)TBP?1|?0
?|?I?(P?1)TBP?1|?0(5分)
方程的要即正定矩阵(P?1)TBP?1的特征值,故全大于零.
2006年1月线性代数与解析几何试题B卷
一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设矩阵A??
?,则det(AA)的值为
2.设A、B均为可逆方阵,则??
3.若线性方程组?
?x1?3x2?ax3?1
无解,则常数a?
?2x1?6x2?8x3?1?1???
?的属于特征值??2的特征向量,则常数k?
4.已知向量????1??是矩阵A???3
5.方程组x1?x2?x3?0的基础解系是二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1. 设向量??(1,3,?5,4)T, ,矩阵A???,则det(A)等于
】 2.设A为3阶方阵,则det(A)?0的充分必要条件是
(a)A的列向量组线性无关.
(b)A的行向量组线性相关.
(c)A的秩为3.
(d)A中有两行对应成比例.
??1???2??????,
3.设3阶方阵A??2,其中?i为3维行向量(i?1,2,3),矩阵B?1????
?010??100?
????P?100,P?0101??2??,则必有
?001???201?????(a)AP1P2?B.
(b)AP2P1?B.
(c)P1P2A?B.
(d)P2P1A?B.
】 4. 设向量组?1,?2,?3,?4,?5线性相关,而向量组?2,?3,?4,?5线性无关,则向量组
?1,?2,?3,?4,?5的极大无关组是
(a)?1,?2,?3.
(b)?2,?3,?4.
(c)?2,?3,?4,?5 .
(d)?1,?2,?3,?4.
】 5. n阶方阵A正定的充要条件是
(b)A的n个特征值均大于零.
(c)A有n个线性无关的特征向量.
(d)A为对称阵.
三、(12分)求过三个平面2x?y?z?2?0,x?3y?z?1?0,x?y?z?3?0的交
点，且平行于平面x?y?2z?2?0的平面方程。
四、(12分)当a、b为何值时,线性方程组
x1?x2?x3?x4?0??x2?2x3?2x4?1?
?x?(a?3)x?2x?b34?2??3x1?2x2?x3?ax4??1
有唯一解、无解或有无穷多解？并在其有无穷多解时，求出结构式通解
五、(12分) 求向量组?1?(2,1,4,3)，?2?(?1,1,?6,6)，?3?(?1,?2,2,?9)，
?4?(1,1,?2,7)，?5?(2,4,4,9)的极大线性无关组与秩，并将其余向量用极大无关组线性表
六、(10分)已知矩阵A??131?，求A
七、(10分)判定下面的二次型是否正定
f(x1,x2,x3)?5x12?2x2?5x3?4x1x2?8x1x3?4x2x3.
八、 (8分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题). (1)若三阶方阵A有三个互不相等的特征值1,2,4，设B?A?2A?I，求：
(2)设T?L(R3)，定义为T(x1,x2x3)T?(x1?2x2?x3,x2?x3,x1?x2?2x3)T，
?(x1,x2,x3)T?R3.求：T的值域与T的秩，T的核与T的零度 九、（6分）证明：n阶实矩阵A为正定矩阵的充要条件，是存在n个线性无关的实向
量?i?(mi1,mi2,?min),i?1,2,?,n，使得A??1?1??2?2????n?n
2006年线性代数与解析几何B卷参考答案
一、（1）100
（5）?1?(?1,1,0)T,?2?(1,0,1)T ?B?1??
二、（1）A
三、解 过三个平面交点的面束为
2x?y?z?2??(x?3y?z?1)?(x?y?z?3)?0，
1?4,??且平行于平面x?y?2z?2?0，知法向量平行，得??。即 1919
x?y?2z?4?0
四、解 方程组的增广阵为
???012210＝?　　???
?0－1a?3?2b??0???32???1a?1???0
（1）a?1时，原方程组有唯一的解。
（2）a?1,b??1时，原方程组无解。 （3）a?1,b??1时，原方程组有无穷多解。
　　?0a?10b?1?
?0?(1,1,0,0)T,?1?(1,?2,1,0)T,?2?(?1,?2,0,1)T
结构式通解为x??0?k1?1?k2?2，其中k1,k2为任意常数。
五、解 设k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?k5?5?0，其系数矩阵为
2??1?2－1－11
???11－2140???A＝　　??4－62－24??0???36－97???9???0
（1）r(?1,?2,?3,?4,?5)?3
（2）极大线性无关组为?1,?2,?4
（3）?3???1??2；?5?4?1?3?2?3?4
03?　　 1－3?
??3?1?六、解 . det(?I?A)?det??1??0，特征值为?1?1,?2?2,?3?4，
?0?1??2???
特征向量为p1?(1,?1,1)T,p2?(?1,0,1)T,p3?(1,2,1)T
正交阵为P???5?
七、解 A??2
，A?Pdiag(1,2,4)P ??4??2?2? ?25??
2?4??5?52???
A1?0，A2?det???0,det?22?2??0
?22???4?25?
所以f(x1,x2,x3)正定
八、解 （1）B的特征值为?3,?1,7，det(B)?21，det(B*)?212 （2）值域R(T)的基为(1,0,1)T,(2,1,1)T，T的秩为2，
T的核的基为(3,?1,1)T，T的零度为1.
九、解 A正定的充要条件是存在可逆阵M使A?MM，
M可逆的充要条件是存在实的线性无关的行向量
?i?(mi1,mi2,?min),i?1,2,?,n
A?MTM??1T????1????n?n2
华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2004学年第2学期
考试科目：
考试类型：（闭卷）
考试时间： 120 分钟
一．填空题（每空2分，共16分）
1、向量??[1，4，0，2]T,??[2,?2,1,3]T的距离为；内积为
2、当常数a?时，方程组 ??x2?5x3?0 有非零解。
3、向量组?1?[1，1，0，0]T,?2?[0,1,1,0]T,?3?[0,0,1,1]T,?4?[1,0,0,1]T的秩为?231??011?
???110?? 4、110??????400????100??
5、三阶可逆矩阵A的特征值为2，3，4，则A的三个特征值分别为 6、若?1?[1，1，1]T,?2?[1,2,3]T,则与?1和?2都正交的单位向量为
二、单项选择题（每题3分，共15分）
1、设A、B为n阶可逆阵，则(AB)?
（A）(A)(B)
（B）(A)(B) （C）(BA)
2、设A为n阶可逆阵，tr(A)为A的对角元之和，r(A)表示A的秩，?为非零实数，则
。 （A）?aA
（B）r(aA)?ar(A)
（C）tr(aA)?atr(A)
（D）(aA)3、设A、B为n阶方阵，且AB=0, 则
（A）A?0或B?0
（B）A?0或B?0 （C）A?B?0
4、设A为n阶方阵，且A?a?0，则其伴随矩阵A?（A）a
5、设A、B为n阶可逆阵，则
（A）A?B??B（B）AB?BA（C）AB?BA（D）(A?B)?1?A?1?B?1
三、解答题（本题12分）
计算下列行列式
?的特征值和特征向量。
020四．（本题12分）求矩阵A???????413??
?111??001?
?,B??011?,
110五．（本题12分）设A?????????100???111??
1、求A；2、已知AX?B，求X
?x1?2x2?x3?6?
六、（本题12分）已知方程组?2x1?x2?3x3?2 有解。
?3x?x?2x?k
试求：1、k的值；2、方程组的通解
七、（本题12分）
求一个正交变换X?PY，把二次型f?4x1化为标准型。
?2x2x3?3x2?3x3
八、证明题（此题9分）
设A为二阶实对称矩阵，且满足矩阵方程A?3A?2E?0 试证：1、A?2E可逆。
2、A为正定矩阵。
华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2004学年第2学期
考试类型：（闭卷）
考试时间： 120 分钟
-一．填空题（每空
6、?[1，?2，1]/6 ??234
二、选择题
四、?E?A?(??2)?(??2)2(??1)
特征根为：?1??2?2,?3??1
11??1???4?1?1??4?1?1??44??????00? 对于?1??2?2，?2E?A??000?000?0??????
??0??00?4?1?1???000??
11?x?x?x3?x1??1??1?12?4411???????k?x,k?x3，特征向量：?x2??k1?4??k2?0? 取x?x?12222
44????x3?x?x3???0???4???
?1?1?1??10?1??x1?x3
?????对于?3?1,
?E?A?0?30?010,故等价于?x2?0
????4?1?4???000???x3?x3
?x1??1?????
取x3?k?0，得特征向量为：x2?k0
???????x3???1??
11??001??001??1
五、X?AB?01?
????????1?10????1?11????0?10??
2?2??12?16??101?101
??????01?1?
22六、[A,b]?2?132?01?1??????
???2k??31??000k?8???000k?8??
?x1??x3?2?x1???1??2????????（1） k=8; (2)令k=8,得：?x2?x3?2，令x3?c，通解为：x2?c1?2
?x?x??33?x3???1????0???
?400???七、A?031，特征根为?1?2,?2??3?4， ????013??
对应的标准正交特征向量分别为：
P?1AP??040 f(X)?f(PY)?2y?4y?4y123??
(A?2E)(E?A)?E,结论1成立 八、1、(A?2E)(A?5E)??12E,故：
2、设?是A的特征值，p是A属于?的特征向量。
设f(?)??2?3??2，则：f(A)?A2?3A?2E，由f(A)?0，得：f(?)?0 特征根为：?1?1,?2?2都大于零，且A为实对称矩阵，故A为正定矩阵。
]T,p2?[1,0,0]T,p3?[0,
]T,P??p1,p2,p3?
2010线性代数期末试题及参考答案
一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)
1． A是n阶方阵，??R，则有?A??A。
2． A，B是同阶方阵，且AB?0，则(AB)?BA。
3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。
) 4．若A,B均为n阶方阵，则当?B时，A,B一定不相似。
?1,?2,?3,?4?线性相关，则??1,?2,?3?也线性相关。 （
） 5．n维向量组?
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（
）不是初等矩阵。
?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??
(B)??010??
(C) ??001??(D) ??001?? （A）?
2．设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（
）。 （A）?1??2,?2??3,?3??1
（B）?1,?2,?3??1
（C）?1,?2,2?1?3?2
（D）?2,?3,2?2??3
3．设A为n阶方阵，且A2
?A?5E?0。则(A?2E)?1?（
(C) 3(A?E)1
(D) 3(A?E)
4．设A为m?n矩阵，则有（
（A）若m?n，则Ax?b有无穷多解；
（B）若m?n，则Ax?0有非零解，且基础解系含有n?m个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则Ax?b有唯一解； （D）若A有n阶子式不为零，则Ax?0仅有零解。
5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（
（A）A与B相似
（B）A?B，但|A-B|=0
（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|
三、填空题（每小题4分，共20分）
2．A为3阶矩阵，且满足A?A?13A*3,则=______，?
?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2?
?1??5??7??0?????????是线性
（填相关或无关）3．向量组，，，
的，它的一个极大线性无关组是
?1???2?1???
?3???4???,?,?R(A)Ax?b123??，4． 已知是四元方程组的三个解，其中A的秩=3，
??，则方程组Ax?b的通解为
??503??，且秩(A)=2，则a=
四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
??122??，求矩阵B。 1．已知A+B=AB，且
??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)A???，求An。 2.设，而
?x1?x2?ax3??1?
?x1?x2?2x3??1?
??x?ax?x?a2
233.已知方程组?1有无穷多解，求a以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型
f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求
矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，AB?BA是否为对称矩阵？证明你的结论。
2．设A为m?n矩阵，且的秩R(A)为n，判断AA是否为正定阵？证明你的结论。
线性代数试题解答
???A） 1．（F）（
?100??000?
????A??010?B??010?
????????000001??，??。 3．（F）。如反例：4．（T）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F） 二、
1．选B。初等矩阵一定是可逆的。
2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与?1，?2，
?3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组
合，C、D中的向量组线性相关。
2A?A?2E?3E??A?2E?(A?E)?3E， A?A?5E?0?3．选C 。由
??A?2E??(A?E)
4．选D。A错误，因为m?n，不能保证R(A)?R(A|b)；B错误，Ax?0的基础解系含有n?R?A?个解向量；C错误，因为有可能R(A)?n?R(A|b)?n?1，Ax?b无解；D正确，因为R(A)?n。
5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵P,Q，使得
PAP?1?diag(?1,?2,?,?n)?QBQ?1，因此A,B都相似于同一个对角矩阵。
n?1???1n!（按第一列展开） 三、1．
12?353A3A2． 3；3（=）
3． （因为向量个数大于向量维数）。 ?1,?2,?4。因为?3?2?1??2，
?4|?0。 4．
234??k?20?2?4?。因为R?A??3，原方程组的导出组的基础
解系中只含有一个解向量，取为?2??3?2?1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。 5．a?6（R?A??2??0) 四、
A?EB?A?B?(A?E)A。将A?E与A组成一个???A?B?AB1．解法一：
(A?E|A)(E|(A?E)A)。 矩阵，用初等行变换求
????A?E|A?=??121122??(r1?r3)?121122? ?0001?
?????122?2???r?2?3r1,r3?r1?02?r3?0?r? ????????????????????
?2???????r?r?1?3?25??3?03?2r2?0? ????????????001??100001?
?32?5??00132?5?r?r23??。 ????????。故
A?EB?A?B?(A?E)A。 ???解法二：A?B?AB
?001??021???101?
B?(A?E)?1A???103?(A?E)?1??332????1?1?3?
32???。 ????，因此??111?1?
???1?1?11?
1?1?11?????111?1???，A2??4A， 2．解：
An?(??T)(??T)?(??T)??(?T?)(?T?)?(?T?)?T???4?
3．解法一：由方程组有无穷多解，得R(A)?R(A|b)?3，因此其系数行列式
。即a??1或a?4。
当a??1时，该方程组的增广矩阵
11?1?1???01???
(A|b)??1?12?1???
???00?????1?111??
于是R(A)?R(A|b)?2?3，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础
T1???100??22?，原方程组的一个特解解系?，故a??1时，方程组有无穷
多解，其通解为
(A|b)??1?12?1??
?????14116??当a?4时增广矩阵
R(A)?2?R(A|b)?3，此时方程组无解。
???0?2?20?????00015??，
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
1a?1??11a?1??11a?1??1
(A|b)??1?12?1???0?22?a0???0?22?a0?
?1a1a0a?11?aa?11?????00(1?a)(4?a)a2?1???
(1?a)(4?a)?a2?1?0
由于该方程组有无穷多解，得R(A)?R(A|b)?3。因此2，
即a??1。求通解的方法与解法一相同。
4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵
???22?1?22?
A???2?24?|A??E|??2?2??4??(??2)2(??7)
????24?224?2????， 因此得到其特征值为?1??2?2，?3??7。
再求特征值的特征向量。
解方程组(A?2E)x?0，得对应于特征值为?1??2?2的两个线性无关的特征向量?1???210?，?2??201?。
?解方程组(A?7E)x
0得对应于特征值为?3??7的一个特征向量
再将?1???2
，?2??201?
正交化为p1???2
?54?1?5?。
5?，?3??12?2?单位化后组成的矩
1??3?2??3??2?
3?f?2y?2y?7y?，123。其标准形为
?5最后将p1???210?，
??2??5?5??5?0?
阵即为所求的正交变换矩阵?
5． 解：（1）由E?A?2E?A?0知-1，2为A的特征值。
AB?2B?0??A?2E?B?0，故-2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值-2有两
个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2。
（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。
（3）A?3E的特征值为2，5，1，1。故A?3E=10。 五、1．AB?BA为对称矩阵。
?AB?BA?T??AB?T??BA?T=BTAT
所以AB?BA为对称矩阵。 2．ATA为正定矩阵。 证明：由?AA??AA知AA??0， ??AA??=A?
?ATBT=?BA?A??B?=AB?BA，
A为对称矩阵。对任意的n维向量??0，由R?A??n得
?0，由定义知ATA是正定矩阵。
线性代数期末考试题
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
x?0，则??__________。 ?2
??x1?x2?x3?0?
2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足
3．已知矩阵A，B，C?(cij)s?n，满足AC?CB，则A与B分别是
4．矩阵A??a21
?a?31a12??
a22?的行向量组线性
5．n阶方阵A满足A?3A?E?0，则A?
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）
1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D?0。（
） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（
3. 向量组a1，a2，?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。（
?，则A?1?A。4. A??（
?0001???0010??
5. 若?为可逆矩阵A的特征值，则A的特征值为?。 (
三、单项选择题
(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共
1. 设A为n阶矩阵，且A?2，则AA?（
④ 4 2. n维向量组 ?1，?2，。 ?，?s（3 ? s ? n）线性无关的充要条件是（
① ?1，?2，?，?s中任意两个向量都线性无关
② ?1，?2，?，?s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ ?1，?2，?，?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ ?1，?2，?，?s中不含零向量
3. 下列命题中正确的是(
任意n个n?1维向量线性相关 ②
任意n个n?1维向量线性无关 ③
任意n?1个n 维向量线性相关 ④
任意n?1个n 维向量线性无关
4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是(
① 若A，B均可逆，则A?B可逆
② 若A，B均可逆，则 AB
③ 若A?B可逆，则 A?B可逆
④ 若A?B可逆，则 A，B
5. 若?1，?2，?3，?4是线性方程组A??0的基础解系，则?1??2??3??4是A??0的（
② 基础解系
④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
1. 计算行列式
bx?cdbcx?d
2. 设AB?A?2B，且A??110?,
?1?100??21
?01?10??02
C??3. 设B??
001?1???00?0001??00???
4?3??且矩阵?满足关系式X(C?B)'?E, 求1?2??
?1???1????2??a???2?????
4. 问a取何值时，下列向量组线性相关？?1????,?2??a?,?3????。
??1???1?a?????????2???
??x1?x2?x3???3
5. ?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组
?x?x??x??2
有无穷多解时求其通解。
?1??2??1??3?????????490???????10?
6. 设?1???,
?4???. 求此向量组的秩和一个极大无关组，并?1?1?3?7
?????????0???3???1???7?????????
将其余向量用该极大无关组线性表示。
7. 设A??010?，求A的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 (7分)
若A是n阶方阵，且AA?I 证明 A?I?0。其中I为单位矩阵。 A??1，
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题 1.
3. s?s，n?n
A?3E 二、判断正误 1.
三、单项选择题 1.
四、计算题 1.
ccx?ccdddx?dbbbx?b?
x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?cc
?(x?a?b?c?d)x3
?(x?a?b?c?d)?(x?a?b?c?d)
???2?2?1??
B?(A?2E)?1A??4?3?2??
?2123?'?，(C?B)???3012?
??21?00?，X??
?1??2???1??0
0?0??0??1?
a1，a2，a3??
??(2a?1)2(2a?2)当a??或a?1时，向量组282?a
a1，a2，a3线性相关。
① 当??1且???2时，方程组有唯一解； ②当???2时方程组无解
??2???1???1???????③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c20 ??????????0???0???1??
?49??01?4?2??01?4?2?010???????(a1，a2，a3，a4)??
?1?1?3?7??0?3?4?10??00?16?16????????0?3?1?7??0?3?1?7??00?13?13?
?100?2??0102?
?0011????0000?
则 r?a1，a2，a3，a4??3，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a4??2a1?2a2?a3
0?(??1)3?0 ??1
?000??1??0???????特征值?1??2??3?1，对于λ1＝1，?1E?A?000，特征向量为k0?l0 ?????????0?20???0????1??
五、证明题
A?I?A?AA??AI?A????I?A????I?A?
∴2?I?A?0，
西安交通大学考试题
线性代数与解析几何（A卷）
考 试 日 期
16 日 专业班号
(1). 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A) ?1??2,?2??3,?3??1.
(B) ?1??2,?2??3,?3??1.
(C)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
】 (2). 若AB?E,则
(A) A的行向量线性相关;
(B) B的行向量线性无关;
(C) A是列满秩的;
(D) B是列满秩的.
?2?1?1??100?????
(3).设矩阵A???12?1?,B??010?, 则A与B
??1?12??000?????(A)合同,相似. (B)合同,不相似. (C)不合同,相似. (D)不合同,不相似. 【
二、填空题(每小题5分,共15分)
(1). 在Ax?b中, ?a3jA3j?3,?biAi3?6, 则x3.
(2). 若n阶矩阵A的特征值为0,1,2,?,n?1, 且B?A, 则|B?E|
三、(12分) 求以?:?为准线,母线平行于向量(2,1,1)的柱面方程. 2
?x1?x2?x3?0?
四、 (12分) 设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解,求
?x1?4x2?ax3?0
a的值及所有公共解.
五、(12分). 设二次型f(x)?xTAx，其中A??202?.
(1) 求一个正交矩阵P，使P?1AP成对角矩阵;
(2) 若f(x)??1,指出方程所表示的图形名称.
六、(12分) 设A??210?且知AX?A?3X，求矩阵X.
一、单项选择题(每小题5分,共15分)
(1).【 A 】(2).【 D 】(3).【 B 】
二、填空题(每小题5分,共15分) (1). x3.(2). .(3).
三、(12分).解设柱面上的点为p(x,y,z),准线?上的点为p?(x?,y?,z?),则
p??p?t(2,1,1)
?z?z?t???x??x?2t?
?y??y?t ?z?z?t??
?y?0?y?t?0
z?xz?t?(x?2t)??
消去t,即得所求柱面方程 z?y?(x?2y)2,
x2?4y2?4xy?y?z?0.
四、 (12分) 解:因为方程组①与②的公共解,即为联立方程组
?x1?x2?x3?0?x?2x?ax?0?123
(*)的解.对方程组(*)的增广矩阵施以行初等变换: ?2
?x1?4x2?ax3?0?x?2x?x?a?1
??a?????12a0010a?1?????B ??
2?14a?0??00a?11?a????121a?1000(a?1)(a?2)????????
因为方程组(*)有解, 所以a?1或a?2,
?1010???1??????时,B??010
0?, ①与②的公共解为x?k?0?; 当a?1
0000?????1000??0????? 1当a?2时,B??010
1?, ①与②的公共解为x?????001?1?
五、(12分).解: (1)|A??E|?2
2?(4??)(??2)2?0, ??
?1?4,?2??3??2.
2?(4??)2??
当?1?4时, ?2?4
当?2??3??2时, ?2
???22??1?21??10?1??1?
?0?33???01?1?????1?; 2??1???????
??4????000????000???1??
22??111???1???1?
?000?????1?,???0?,
22??2?????3??
??22????000???0???1??
正交化, ?1??1,?2??2,?3??3?单位化
?2?(?,?,1)T,
?,?2?(T,?3?( ||?1||?4?
? 令P?[?1,?2,?3], 则P?1AP???2??
????T??TT??T?222
(2)做变换x?Py, 则f(x)?xAx?yPAPy?y?y?4y1?2y2?2y3??1
???1,为单叶双曲面. 整理得 ?111422
六、(12分) 设
解：由AX?A?3X，得AX?3X?A，
??13?1??23?1??????1
即X?(A?3E)A?2?20210????.
?040??043?????
（试卷一）
一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）
1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若
a113a123a226
3. 已知n阶矩阵A、B和C满足ABC?E，其中E为n阶单位矩阵，则
若A为m?n矩阵，则非齐次线性方程组AX?b有唯一解的充分要条件是 _________
5. 设A为8?6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数
为__2___________。
?100????1*
6. 设A为三阶可逆阵，A??210?，则A??321???
7.若A为m?n矩阵，则齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是
8.已知五阶行列式D?1
1，则A41?A42?A43?A44?A45?31
(?2,1,0,2)T的模（范数）______________。
10.若???1k1?与???1?21?正交，则k?
二、选择题（本题总计10分，每小题2分）
1. 向量组?1,?2,?,?r线性相关且秩为s，则(D)
2. 若A为三阶方阵，且A?2E?0,2A?E?0,3A?4E?0，则A?(A)
3．设向量组A能由向量组B线性表示，则( d )
Ａ．R(B)?R(A)
Ｂ．R(B)?R(A)
Ｃ．R(B)?R(A)
Ｄ．R(B)?R(A)
4. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则
等于_____。c
设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是_____。
(A)AB?AC 则 B?C
(B) AB?0,则A?0或B?0
(C) (AB)T?ATBT
(D) (A?B)(A?B)?A2?B2
三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）
22?. 计算n阶行列式D?223?2
。 222?n?12
n2．设A为三阶矩阵，A*
为A的伴随矩阵，且A?
，求(3A)?1?2A*
. 3．求矩阵的逆
?111?A???2?11?
?x1?x2??x23??4.
讨论?为何值时，非齐次线性方程组?
?x1??x2?x3??
???x1?x2?x3
① 有唯一解；
②有无穷多解；
5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。?x1?x2?x3?x4?2 ?
?2x1?3x2?x3?x4?1 ??x1
?2x3?2x4?5
T6.已知向量组?1??1023?、?2??1135?T
、?3??1?131?T、
2010线性代数试题及答案 第一部分 选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-…
２Ｏ ０ ９年 ６月 第 ｌ 卷第 ２ ｌ 期　云南 电大学报　Ｊｕ ａ　ｆＹｕ ｎ ｎ ＲＴｖ ｉ ￣ｔ ｏ ｒ ｌｏ ｎ ｎ ａ Ｕｎｗ． ｔ ｙＪ ｎ ．０Ｄ ｕ ｅ２ ９Ｖ０ ． １． ． １ １ Ｎｏ ２我 国教师教育存在 的问题及路径探析…
ＴｈｅｏｒｙａｎｄＰｒａｃｔｉｃｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ中小学教师怎样进行课题研究（六）———教育科研方法之教育观察法◇张观察法源于人类学的研究，后来逐步走进了心理学和教育学的研究领域。随着教育科学研究方法研究的不断深入，观察法逐渐成为了教育研究中重…
实习周记第一周周记 毕业的最后一年，是我们真正实习生活的开始，是汇报我们这三年来在学校学习成果的开始，是步入社会大展宏图的开始。 我对社会充满了信心和对我自己充满自信参加了多场的招聘会、面试了多家的公司、但是一次又一次的失落快把我刚丛那学校里出来的…
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