奇点或许永远不会临近--百度百家
奇点或许永远不会临近
分享到微信朋友圈
如今，对人工智能 (AI) 感到悲观或乐观的都大有人在。而无论是乐观主义者还是悲观主义者都被所谓技术奇点的概念吸引。所以，奇点到底会不会临近？看完这篇文章，你或许会有很多收获。
如今，对人工智能 (AI)
感到悲观或乐观的都大有人在。乐观者正在向人工智能领域投资数百万美元甚至数十亿美元，而悲观者则预测人工智能将终结很多事：工作，社会福利，甚至人类。
无论是乐观主义者还是悲观主义者都被所谓技术奇点 (technological ingularity)
的概念吸引。技术奇点是一个机器智能失控的时间点，在它之后一个全新的、更加智慧的「物种」将开始居住在地球上。如果乐观主义者是正确的，那么这将是一个
从根本上改变人经济和社会的时刻。如果悲观主义者是正确的，那么这将同样是一个从根本上改变人类经济和社会的时刻。因此，我们有必要花些时间决定这些看法
是否正确。
技术奇点的历史
许多不同的思想家都构思过关于技术奇点的理念。在约翰·冯·诺伊曼 (译者注: John von Neumann，
20世纪最重要的数学家之一，在现代计算机、博弈论等领域均有建树) 1957年去世时，斯塔尼斯拉夫·乌拉姆 (译者注: Stanislaw
Ulam，波兰数学家) 写道：
「我与约翰·冯·诺伊曼讨论过在技术不断加速发展、人类生活模式的改变下，我们看上去正在接近物种史上某个重要的奇点，在它之后已知的生活将无法延续。」
在1965年，I.J. 古德 (译者注: I.J. Good，英裔数学家、密码学家)
对这个现象提出了更具体的预测，他用「智能爆炸」(Intelligence Explosion) 取代了「奇点」 (Singularity)
的概念：「让我们把超智能机器定义成为一台能够远远超过任何人类智力活动的机器。
因为设计机器本身也算是智力活动，所以超智能机器可以设计出更好的机器；毫无疑问，这将会带来智力的爆炸式增长，而人类的智力将远远落后。以此类推，超智
能机器将会是人类最后一个发明。」 许多人把 「技术奇点」归功于计算机科学家。科幻小说家弗诺·文奇 (Vernor Vinge)
更是预言：「在三十年内，我们将创造出实现超人智慧的技术。不久后，人类的时代将结束。」
近来，技术奇点的概念又得到了包括雷·库兹韦尔 (译者注: Ray Kurzweil ，发明家、企业家、学者、《奇点临近》等畅销书作者)
在内许多人的推广。根据目前的趋势，库兹韦尔预计技术奇点会发生在2045年左右。就这篇文章的定义而言，我假设技术奇点是一个「当我们创造出拥有足够智
慧、能通过重新设计自己来改进智力的机器」的时间点，并且在这个点上我们将见证智力以指数级增长，并且迅速超越人类。
我将用两个数学论证来为以上观点辩护。其中一个论证是：技术奇点不是数学奇点。在函数1/(1-t)中，数学奇点是t=1。该函数演示了双曲增长。当t接
近1，t的导数趋于正无穷并且无法被定义。然而，许多技术奇点的拥趸只支持指数增长的说法。例如，函数2^t呈指数增长。这样的指数函数在接近正无穷时更
慢，并且有一个可以被定义的有限导数。其二个论证是：智力的指数增长完全取决于测量智力的数值范围。如果我们以对数分度向量（logspace）测量智
力，指数增长仅仅是线性的。在这里，我暂时不解释测量机器或者人类智力的具体定义或方法。我只假设有一个可以被测量、比较的特质叫做智力，并且当智力在适
当、合理的数值范围内呈指数增长时，我们将迎来技术奇点。目前，技术奇点的可能性已经迫使几名评论家发出关于人工智能对人类影响的悲观预言。例如，在
2014年12月时，史蒂芬霍金对BBC电视台说：
「人工智能的全面发展可能意味着人类的终结……机器将获得自主权，并且以前所未有的速度重新设计自己。被缓慢生物进化限制的人类将无法竞争并且最终被取代。」
其他的知名人物，包括比尔·盖茨，伊隆·马斯克和史蒂夫·沃兹尼亚克也随后发表了类似的警告。尼克·博斯特罗姆 (译者注: Nick Bostrom
，牛津大学人类未来研究院院长、哲学教授、著名人工智能学者)
也做出了对技术奇点的预言，并且认为这个现象将对人类的生存造成威胁。然而这篇文章与以上的观点相反，我将探讨的观点是：技术奇点或许永远不会临近。
反对技术奇点的论点
对技术奇点的争论多数发生在主流人工智能行业以外。在某种程度上，这个概念的许多拥趸都不是真正的从业者。在主流文化中，技术奇点也和一些例如寿命延长和
后人类主义等挑战现状的想法关系密切。这种联系干涉我们探讨真正重要的基础问题：人类真的可以开发出能够成倍提高自己智力并且远远超出人类的机器吗？虽然
它看上去并不是一个特别大胆的想法。计算机领域已经在指数增长的同时不断壮大。摩尔定律 (Moore’s Law)
以合理的精准预测告诉我们，晶体管上集成电路的数量（指每块芯片的储存量）将在1975年之后每两年内翻倍。库梅定律 (Koomey’s Law)
也已预测，单个能量焦耳所支持的计算次数将在1950年后的每19个月内翻倍。以此类推，为什么不能假设人工智能也会在某个时间段内实现指数增长呢？
针对技术奇点实现的可能性，以上的说法是一些有力的论据。准确地说，我并不是在预估人工智能无法拥有超出人类的智能。与许多在人工智能行业工作的同事一
样，我预测人类离这个阶段还有30到40年的时间。不过与一些人的观点相反，我认为未来将不会出现失控、呈指数增长的情形。我将在接下来的文章里提供多个
关于不可能有技术奇点出现的支持论点。
以下的讨论不包括所有技术奇点的反对论点。举例来说，我们也可以假设人工智能创造出了自己的人工智能。因此，阿兰·图灵 (Alan Turing)
在其影响深远的Mind论文（ Turing
1963）中提出了针对人工智能的九种通俗反对意见，例如机器不能拥有意识，或者不具有创造性。在这里，我将集中精力讨论人工智能在智力上失控增长的可能性。
论点一：快速思维的狗 (Fast Thinking Dog)
其中一个由技术奇点支持者提出的先锋观点是：硅与人类大脑湿件(wetware)相比有重要的速度优势，并且根据摩尔定律这一优势每隔两年都会翻倍。不
过，速度提高不代表智力增长。在这个问题上，弗诺·文奇认为一条快速思维的狗仍然不可能懂得下棋。史蒂芬·平克 (Steven Pinker)
意味深长地表示：
「我们没有任何理由相信技术奇点。人可以在自己脑海中想象未来，但不能证明它是否具有实现的可能性。在我的孩童时代，人们想象过的半球形城市，喷气交通运
输工具，水下城市，一英里高的建筑，核动力汽车，以及很多未来式的幻想在今天从来没有得以实现。最终，单纯的想象力无法像魔法一样奇迹般地解决所有问
智力不仅是比别人对一个问题思考更快或是更久。当然，摩尔定律对人工智能的发展有帮助。现在计算机拥有更多可供学习的数据库。速度更快的计算机肯定会帮助
我们开发更好的人工智能。但是，至少对于人类来说，对智力的评估取决于许多其他的事情，其中包括日经月久的经验和训练。我不确定人类是否可以利用硅，走上
提高智力的捷径。
论点二：人类中心主义 (Anthropocentric)
在许多对技术奇点的描述中，人类智力被假设成为一个需要跨越或颠覆的里程碑。例如，尼克·博斯伦特写道：
「拥有人类智力水平的人工智能的问世将会迅速带来通向高于人类水平人工智能的发展……与此同时，机器与人类在智力上的匹配将是暂时的。此后不久，人类将无法与人工智力竞争。」
人类智力范围是从蟑螂到老鼠再到人类的分布广泛的范围。事实上，与其说智力是一个点，不如说它是一系列概率的分布。我们并不确定人类将在具体哪一个点上被人工智能失控的智力增长超越：这个点具体是指人类的平均智力？还是人类史上最聪明的人？
科学史的教训告诉我们，人类远没有自己想象的那么特殊。哥白尼告诉我们，宇宙并不绕地球转。达尔文告诉我们，我们与猿类没有本质区别。人工智能可能会告诉
我们，人类的智力也并不特别。我们没有理由因此假定，人类智力是个一旦通过，智力将快速增长的特殊临界点。当然，这并不排除智力转捩点本身存在的可能性。
技术奇点的支持者提供的说法之一是，我们是唯一能够通过创造来拓展自己智力的物种，因此人类智力是一个特殊的临界点。我们是地球上唯一拥有足够智力设计新
智能的物种，并且这些被设计出来的新智能不受进程缓慢的繁衍与进化限制。然而，这一类说法假定人类的智力可以设计出一个智力足以跨越技术奇点的人工智能。
换句话说，它在我们决定是否有技术奇点之前，就已经下定它确切存在的结论。人类可能，也同样可能不会有足够的智力设计出这样的人工智能。我们并不是被注定
要创造出这样的东西。再者说，即使我们有足够的智力设计出了能够超越人类的人工智能，这样的人工智能也不一定能够带来技术奇点。
论点三：元智力 (Meta-Intelligence)
在我看来，反对技术奇点的其中一个强有力论点是，技术奇点混淆了完成工作的智力和提高完成工作的能力之间的区别。在对技术奇点的概念进行详细分析后，大卫·查莫斯 (译者注： David Chalmers，澳大利亚裔哲学家，认知科学家 )写道：
「如果我们通过机器学习创造一个AI，不久之后我们将能够改善学习的算法并且延长学习的过程，创造出接下来的AI+。」
在以上的论述中，AI是人类智力水平的系统，而AI+是比一般人类更聪明的系统。不过，为什么查莫斯认为我们可以在不久之后提高学习的算法？历来机器学习
在算法方面的进展既不迅速，也不容易。机器学习的确有可能成为未来任何人类智力级别的人工智能系统的重要部分，因为除此之外，利用人工编码知识和专长是很
痛苦的过程。假设，一个人工智能系统选择采用机器学习来提高自己理解文本，完成数学证明的能力。该人工智能的系统没有理由能够改善机器学习本身自带的算
法。事实上，机器学习的算法通常在某一项工作上已经达到极限，不论是工程还是参数的调整，都无法提高其性能。
目前，我们看到使用深度学习的人工智能令人印象深刻的进度。这极大地提高了语音识别，计算机视觉，自然语言处理及许多其他领域的发展。这些进度通常归功于使用更多数据以及更深层次的神经网络：
燕乐存（译者注: Yann Lecun，纽约大学计算神经科学家）表示: 「在此之前，神经网络并没有打破识别连续语音的记录；因为它们的大小有限。」
当然，更多的数据和更大的神经网络意味着我们需要更强的机器处理能力。其结果是，GPU现在经常被用来提供处理能力。然而，学会更好地识别语音或者物品并没有帮助深度学习进步。深度学习并没有自我改善。对深度学习在算法上的任何改善都要归功于人类在设计上的不懈努力。
我们也可以从另一方面用我们所了解到的有关智能系统的最好例子来例证这一论点。看看我们自己。我们只使用了我们自己大脑惊人能力中的一小部分，而且我们正
努力地想要改变现状。对我们来说，学习如何更好地完成某个特定任务很简单，但学习如何更高效地学习还需要下点功夫。举例来说，如果我们除去对智商固有的正
常定义，我们可以察觉到智商在上个世纪内有增长，但增长速度缓慢 （弗林效应「Flynn
Effect」）。在今天，提高智商的过程和一个世纪以前一样痛苦并且缓慢。或许，电子大脑也很难快速提高自己的性能，并且永远无法超越自身的基本功能？
论点四：收益递减 (Diminishing Return)
技术奇点通常假设智力的改进是一个相对恒定的乘数，每一代的分数都比上一代更高。然而到目前为止，大部分人工智能系统的性能一直在经历收益递减。在不同研
究的初期，研究人员通常获得许多成果，但在这之后则遇到一系列难以改进的困难。这个过程解释了许多早期人工智能的研究人员对行业发展过于乐观的看法。人工
智能系统也许可以无限制地完善自己，但对智力的总体改进很可能存在上限。举例来说，如果每一代人工智能比上一代增强半倍，那么系统永远不会达到2倍的整体智力。
收益递减不仅是由于改进人工智能算法的困难度，也是由于计算机科学快速增长的困难度。微软的联合创始人保罗·艾伦称这一现象为 「复杂性刹车」(Complexity Brake)。
「我们把这个问题叫做复杂性刹车。伴随人类对自然系统理解的不断加深，我们通常会发现，我们需要更多并且更专业的知识来描述它们，我们不得不用越来越复杂
的方式来持续扩展我们的科学理论… 我们相信，对自然世界 [认知上的] 理解正在被复杂性刹车放慢。」——Allen和Greaves，2011。
即使人类看到人工智能系统持续、甚至呈指数级的改进，这些或许都无法提高机器的性能。智力提升所需要解决的问题本身的难度增长速度，甚至比智力提升的速度还要快。很多人表示，现阶段理论物理学的探索似乎也遇到了同样的复杂性刹车。
论点五：智慧的极限 (Limits of Intelligence)
宇宙中存在很多基本的限制。其中一些是物理限制。例如，我们无法加速超过光速。我们无法同时知道位置和动量的精确数值。我们无法知道原子放射性衰变具体发
生的时间。我们创造出来的思维机器也受这些物理定律的限制。当然，如果机器在本质上是电子或者甚至是量子，这些限制很可能比人类大脑生物和化学的限制还要大得多。
更多可观察的经验法则也在复杂的系统中不断涌现。例如，邓巴数（Dunbar’s
Number）是灵长类动物脑容量和社会平均大小之间所观察到的联系数值。该数值把人类社会团体中关系稳定的人数限制在100到250人之间。智力是一个
复杂的现象，并且也会有类似的限制出现在这种复杂度中。机器智力的改善，无论是失控还是缓慢地增长，都可能碰触到这种限制。当然，我们没有理由假设人类智
力目前已经达到、或者接近这个上限。同样来说，我们也没有理由认为这个上限远远超过了人类的智力。
论点六：计算复杂性 (Computational Complexity)
假设我们坚持使用遵守传统计算模型的电脑开发人工智能系统。那么，指数级增长也无法与计算的复杂度匹敌。举例来说，计算机性能上的指数级增长不足以运行超
级指数算法。而且没有任何性能上的增长可以解决无法解决的问题。计算的复杂性也许正是我们前面所讨论到的基本限制之一。因此，除非我们使用的机器能够超越
传统的计算模型，否则我们很可能会碰到类似于计算的复杂性从根本上限制了计算机性能的问题。当然，很多计算的复杂度问题只是最坏的情况，大部分的人工智能
都使用启发式学习在实践中解决计算上难以处理的问题。不过，这些启发式学习在质量上有根本的限制。有一些级别的问题即使超人工智能
(super-human intelligence) 也不能很好的解决，哪怕只是大致解决。
在以上的文章中，我论述了关于人类也许永远无法见证技术奇点的许多原因。然而，即使没有技术奇点，我们也许仍然可以最终拥有展现出超出人类智力水平的机
器。不过实现它需要很多人非常痛苦地编码。如果是这样的话，人工智能对经济和社会的影响，要比对技术奇点持有悲观或乐观态度的人所预测的结果平淡得多。然
而，我们应该就人工智能对社会的影响开始做准备。就算没有技术奇点，人工智能依旧会大面积影响工作的性质。举第二个例子：即使智力有限的人工智能依然可以
对战争的性质产生很大的影响。现在，我们需要开始为这样的未来做计划。
机器之心，最专业的前沿科技媒体和产业服务平台，每日提供优质产业资讯与深度思考，欢迎关注微信公众号「机器之心」（almosthuman2014），或登录机器之心网站查看更多精彩内容。
阅读：4160
分享到微信朋友圈
在手机阅读、分享本文
还可以输入250个字
推荐文章RECOMMEND
阅读：12万
阅读：11万
阅读：10万
热门文章HOT NEWS
实则，汪峰在展示一个新好男人的形象，没有被打动，那是被某些媒体...
首席发言者
八卦掌门人
新榜——内容创业服务平台
百度新闻客户端
百度新闻客户端
百度新闻客户端
扫描二维码下载
订阅 "百家" 频道
观看更多百家精彩新闻商品名称：
评价得分：
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
此评价对我
多品类齐全，轻松购物
快多仓直发，极速配送
好正品行货，精致服务
省天天低价，畅选无忧您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
数学分析(甲)简介.doc15页
本文档一共被下载：
次 ,本文档已强制全文免费阅读，若需下载请自行甄别文档质量。
文档加载中...广告还剩秒
需要金币：100 &&
你可能关注的文档：
··········
··········
数学分析（甲）简介
课程号： 0座机电话号码，0座机电话号码，0座机电话号码
课程名称：数学分析 英文名称：Calculus
周学时：4-1，4-1，4-0 学分：4.5， 总学分：13
预修要求：无
内容简介：数学分析是数学系各专业的重要基础课。本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础
选用教材或参考书：（含教材名，主编，出版社，出版年）
材：《微积分与数学分析引论》，科学出版社
R.柯朗，F.
约翰 ，2002年
参考教材： 《数学分析》（第二版），华东师范大学数学系编《数学分析》（第二版），复旦大学数学系 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中 《数学分析》
教学大纲 课程的教学目的和基本要求 数学分析是数学系各专业的重要基础课。本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础
相关教学环节安排 第一学期主要内容：实数连续统、函数的概念、序列的极限概念、函数的极限概念、连续函数的概念和相关定理、积分的概念、积分的基本法则、不定积分的基本概念、导数的概念、积分、原函数和微积分基本定理、连续函数的定积分的存在性 第二学期主要内容：微分法则及其应用、反函数的导数、复合函数的微分法、指数函数的某些应用、最大值和最小值问题、函数的量阶、初等积分法、有理函数的积分法、几类特殊函数的积分法、反常积分概念及其判别法、三角函数的微分方程、幂级数、泰勒定理、余项的表示式及其估计、
正在加载中，请稍后...巅峰对话的博客
每个人都要会的数学分析
&发布日期& 14:38:26&&更新日期& 15:04:02
（Isaac Newton）把人类严格理性思维的转折点归结为微积分的出现毫不夸张。微积分也成了每一个理工科学生的第一道门槛，虽然也许你学过之后从此不会再遇到。但笔者认为，作为人类智慧结晶的“奇点”，无论用不用得到，遇到它之后你此生也算是见识了，毕竟见没见到，它都在那里，而且始终散发着光芒。工科里叫微积分，数学家的眼里就是数学分析，二者的研究对象几乎一样，只不过目的不同，侧重点不同。前者教你如何算怎么用，后者教你为什么，怎么来，哪里去。笔者固执地认为，不认识数学分析，不足以谈微积分，其美妙之处亦相隔甚远。在数学家眼里，Rudin的“Principles of Mathematical Analysis”以其干净利落、一阵见血享有盛誉，熟称baby Rudin。为全面了解严格数学和科学的起始，此书是不错的选择，当然前提是你已经有了较好的mathematical maturity。初学者不宜读，这貌似是共有的认识，为什么呢？因为Rudin喜欢general setting，比如numerical sequence，continuity等都直接在metric space上处理，实在不行了需要新的structure和operation了再忍痛割爱地回到R^n，C和R上，但总的来说Rudin坚持general setting的原则，这是笔者最喜欢的，generalization是深入认识和处理问题的基本途径（新闻联播语气～）。但对初学者问题也很大，各种space之间倒来换去，很容易搞不清结论的适用范围。&　　&Rudin关于integration of differential forms写法是争议最大的，很多人推崇，这一定程度归功于用differential form的语言导出stokes' theorem的漂亮。但就本章的写法而言，我不太认同。Rudin出人意料的在这一章做了限制，可能限于篇幅，把积分限制在cell和k-simplex上，而绝口不提manifold，让人感觉意犹未尽。一些定理也做了限制，比如change of variables。这些限制让人在应用时感觉很刺挠，无一泻千里之感，甚憾甚憾。当然鉴于generalization需要篇幅，而本章的目的就是stokes' theorem，所以做这些阉割也可以理解吧。陈天权老师的书就野心十足地处理了manifold上的积分，可惜无血无肉干巴巴。对manifold的处理大家可以参考Warner的书。　　&第11章争议也不少，很多人建议过掉不看。写得非常粗略，点到为止，估计Rudin想保持体系上的完整性吧，毕竟讲分析不提lebesgue不厚道，说多了就选兵夺主。如果你没学过lebesgue theory，笔者也建议过掉，如果学过一点，过一遍未尝不可，此部分算是不错的复习材料，让你快速概览lebesgue theory的建立。关于real analysis笔者推荐Royden的，layman入门首选。&　　&很多人说此书干巴巴像字典，罗列定义定理，挺中国的。而笔者烦死了美国式平易近人的大部头（特别是cs的！），罗罗嗦嗦婆婆妈妈，自然语言一大堆让人不知道关键所在。数学，或者抽象和符号的美就在于简洁和清晰，既然符号已经能说明白了，加上几句人话作为点睛岂不足矣？因此笔者力挺Rudin的风格。何况很多作者是在用密密麻麻的人话掩盖自己的愚昧呢。至于平易近人，对于想做严肃理论的人，平易近人只会把你带坏，漂亮深刻的理论需要大量严肃的训练。&　　&最后，Rudin的书永远适合你学过了回过头来品啊品啊品啊品。数学危机与广义相对论奇点_百度文库
数学危机与广义相对论奇点
数学危机与广义相对论奇点
- 萍踪浪迹 (王善钦) -
对于三次数学危机的看法，学界可谓仁者见仁，智者见智，当然还有一种情况，那就是傻者见傻。
第一次数学危机因为无理数的引入而消除。第二次数学危机则旷日持久，且事关重大，在数学界和哲学界的震撼力也是三次数学危机中最大的一个。Newton和Leibniz的微积分被公认为人类智力史上的最伟大成就之一，事实上，正如von Neumann所认为的那样，无论给这个成就多么高的评价都不过分。常微分方程，微分几何，偏微分方程都是以微积分为基础的。但是，学过数学史的人都知道，微积分诞生之初是建立于不严格的基础之上的。这使它从一开始就备受争议。有人认为，上世纪四五十年代的物理学奉行工具主义，实际上，真正的工具主义是在Newton时代。只要结果和现象符合，就是对的，不要管它什么基础。
但是，无穷小仍然困扰着所有为这门学科辩护的人。说远一点，很多人都说，微积分可以和现实模型如此逼近是这个学科的巨大成就。这话其实颠倒了。量子电动力学（QED）可以探索到一亿亿分之一米之内，但是微积分中的无穷小是一种要多小就有多小的“数”，那么它实际上要多精确就有多精确，我们要感叹的其实应该是“现实的测量技术和制造技术可以如此逼近微积分算出来的结果”，而不是相反地拿现实来验证微积分的准确度。
但是，正如很多人所熟知地那样，Newton和Leibniz虽然在优先权上面掐架，但是在面对无穷小的时候实际上是同命的（可惜不是同命鸳鸯，不然不会为了优先权争个头破血流），早在微积分建立之处，荷兰物理学家Nieuwentyt就指责Newton的流数术含糊不清，同时指责Leibniz的高阶微分缺乏根据。
著名主教Berkley于1734年发表《分析学家，或致一个不信神的数学家》，矛头直指Newton和Leibniz以及Halley，它先扬后抑，先说：“流数方法是一把通用的钥匙，当代数学家们借助它来解开几何学的、最终也是大自然的秘密。这一方法能够在发现定理和解决问题方面大大超越古人。”但接下来就开始讽刺：“正因为如此，其发挥和便成为那些号称深刻的几何学家们主要的（如果不是唯一的）事业。”或许他把 John Bernoulli讽刺Newton的话翻版了一下。他把无穷小说成是逝去的灵魂“它们既不是有限量，又不是无限小，又不是零，难道我们不能称它为消逝的灵魂吗？”
这篇文章实质上是给Newton和Leibniz鞭尸，因为当时Leibniz已经去世18年，Newton已经去世7年，看来在这方面Newton是胜利了，Lebniz去世时Newton很高兴，并宣称因为生前伤害了他而深感欣慰。可见周伯通对郭靖说的一套理论简直是放之四海皆准的真理，那就是，当你恨一个人时，最好是和他比谁更长寿，如果对方先死了，你就胜利了。Newton一胜就是11年，可见他是相当不容易的。
Berkley的鞭尸至少使当时以及后世的数学家难堪，d Aalembert，Euler和Lagrange都加入了反击的行列。d Aalembert发展了Newton的首末比方法，但是他开始用极限概念代替了Newton含糊不清的“最初”于“最终”比，Euler不愧使“分析的化身”，他写的《无限小分析引论》，《微分学》，《积分学》，不仅是18世纪分析学的标准教材，而且是后世诸君公然抄袭与辗转抄袭的最好样本。在1755年出版的《微分学》中，Euler给出了“不同阶零”的理论，可惜太超前了，这么形式化的东西使得当时的数学家普遍无法理解，但是这个理论为微积分基础的算术化于代数化论证打下了基础。但是他没有成功。
1786年，Lagrange在柏林科学院数学分部设立一个奖项，悬赏征答关于无穷小的合理解释。瑞士的Huillier获奖，他题写的一句话是：“无穷，是吞没我们思想的深渊。”但是他也没有解决问题。
Euler和Lagrange都至死未见问题的解决，据说，Euler在去世那天刚结束一个问题的思考，他抽了一口烟，被呛了一下，他说：“我要死了。”然后滑落到椅子下，死了。有一次著名数学家Erdos在演讲中讲到这里，一个听众在下面喊：“Euler最后猜想实现了。”
但是，他多少有些魂牵梦萦的无穷小的猜想却是在他死后近四十年才由一个法国青年数学家Cauchy渐渐实现。1821年Cauchy在名著《代数分析教程》中，给出极限论的奠基性工作，他定义了变量与函数的概念（第一个将函数的地位拉到数学的中心的是Euler），再定义变量的极限，然后说“无穷小是极限为零的量”，然后建立连续、导数与微分、积分。但是他认为连续函数必可导，后来的Weierstrass给出了一个处处连续却处处不可微的函数，也算是挖了Cauchy的墓。
有个教师让学生说个成语，能描述一个人高兴且带有数字的，一个学生非常自信地举手回答：“含笑九泉”。但是Cauchy实际上被Weierstrass搞得无法含笑九泉。Weierstrass指出Cauchy的论述方式依赖于几何直观，所以是不严密的，还有一点令现在的数学本科生都惊讶的是：Cauchy对于连续性和一致连续性都区分不清，Cauchy从直观上认为无理数是有理数的极限，但是无法严格论证，也正因为这个原因，他关于无穷小的一些论证是循环论证。Weierstrass和Cantor以及Dedkind分别独立地建立了实数理论。Dedkind的方法（Dedkind分割）是几何化的，Weierstrass和Cantor的方法则是一样的，都是从极限论本身出发，即用有理数基本序列的等价类来定义实数。基本序列是由Cauchy提出
贡献者：の善美の
喜欢此文档的还喜欢