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非正规子群的阶对有限p群结构的影响问题
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有且仅有一个内交换极大子群的有限2群的分类
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M11..12,M22..24
其他有限群
, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)
O(∞) SU(∞) Sp(∞)
阿貝爾群也稱爲交換群或可交換群，它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序（公理）的。阿貝爾群推廣了集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家命名。
阿貝爾群的概念是的基本概念之一。其基本研究對象是和。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被透底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。
阿貝爾群是有着群運算符合性質的，因此阿貝爾群也被稱爲交換群。它由自身的G和* 構成。它除了滿足一般的群公理，即運算的、G有、所有G的元素都有之外，還滿足公理
因為阿貝爾群的群運算滿足交換律和結合律，群元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。
而群運算不滿足交換律的群被稱爲“非阿貝爾群”，或“非交換群”。
阿貝爾群有兩種主要運算符號—加法和乘法。
一般地說，乘法符號是的常用符號，而加法符號是的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。
驗證是阿貝爾群，可以構造類似的一種表格（矩陣），它稱爲。如果群G = {g1 = e, g2, ..., gn}在運算?下，則這個表的第(i, j)個表項包含乘積gi ? gj。群是阿貝爾群這個表是關於主對角線是對稱的（就是說這個矩陣是）。
這是成立的因為如果它是於阿貝爾群，則gi ? gj = gj ? gi。這蘊含了第(i, j)個表項等于第(j, i)個表項，就是說這個表示關于主對角線對稱的。
集和運算\"+"是阿貝爾群，指示為(Z,+)，運算 +組合兩個整數形成第三個整數，加法是符合結合律的，零是，所有整數n都有-n，加法運算是符合交換律的因為對于任何兩個整數m和n有m + n = n + m。
所有G是阿貝爾群，因為如果x, y在G中，則xy = aman = am + n = an + m = anam = yx。因此集Z形成了在加法下的阿貝爾群， Z/nZ也是。
所有都是關于它的加法運算的阿貝爾群。在中的形成了阿貝爾。特別是集是在加法下的阿貝爾群，非零實數集在乘法下是阿貝爾群。
所有阿貝爾群的都是，所以每個子群都引發。阿貝爾群的子群、商群和也是阿貝爾群。
即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是2x2 的群。
阿貝爾群是以命名的，他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與的聯系的重要性。
如果n是而x是使用加號的阿貝爾群G的一個元素，則nx可以定義為x + x + ... + x（n個數相加）并且（-n）x = -（nx）。以這種方式，G變成在整數的Z上的。事實上，在Z上的模都可以被識別為阿貝爾群。
關於阿貝爾群（比如在Z上的）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如Z/pkZ對于素數p的有限多個群的直和，而后者是有限多個Z的復本的直和。
如果f, g : G  →  H是在阿貝爾群之間的兩個，則它們的和f + g，定義為(f + g)(x) = f(x) + g(x)，也是阿貝爾同態。（如果H是非阿貝爾群則這就不成立。）所有從G到H的群同態的集合Hom(G, H)因此是自身方式下的阿貝爾群。
某種程度上類似於的，所有阿貝爾群都有。它定義為群的元素的最大集合的。整數集和集和所有的有理數集的子群都有秩1。
的循環群Z/nZ是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限循環群的直和，并且這些階數是唯一確定的，形成了一個不變量（invariant）的完備系統。有限阿貝爾群的可以依據這些不變量來直接描述。有關理論最初發展自和：）在1879年的論文，后來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模，形成了的一個重要組成部分。
有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群G都可以表達為素幂（prime-power）階的循環子群的直和。這是在G有零時的特殊情況。
mn階的循環群同構於與的直和，當且僅當m與n是的。可推出任何有限阿貝爾群G同構於如下形式的
以任何下列規范方式：
數k1,...,ku是素數的冪
k1 k2，它又整除k3，如此直到ku。
例如，可以被表達為3階和5階的兩個循環群的直和：。對于任何15階的阿貝爾群這也成立，導致了所有15階阿貝爾群都是的的顯著結論。
另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構於要么(整數0到7在模8加法下)，（奇數1到15在模16乘法下），要么。
小於等于16階的有限阿貝爾群可參見。
可以應用基本定理去計數（有時確定）給定有限阿貝爾群G的。要這么做，可利用如果G分解為階的子群的直和H
K，則Aut(H
Aut(K)的事實（這里就不證明了）。
基本定理證明了要計算G的自同構群，分別計算p子群的自同構群就足夠了（也就是所有的循環子群的直和，每個都有p的冪的階）。固定一個素數p并假設西羅p子群的循環因子的指數ei是按遞增次序安排的：
對於某個n & 0。需要找到
的自同構。一個特殊情況是在n = 1的時候，此時在西羅p-子群P中只有唯一一個循環素數冪因子。在這個情況下可以使用有限的自同構的理論。另一個特殊情況是在n為任意的但ei = 1對於1 ≤ i ≤ n的時候。這里考慮P為有著形式
所以這個子群的元素可以被看作構成了在p元素的有限域上的n維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換，因此
它早先證明了有階
在最一般情況下，這里的ei和n是任意的，自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義
則有著特別的dk ≥ k, ck ≤ k，并且
可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階（參見[Hillar,Rhea]）。
Fuchs, László（1970）Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp.
------（1973）Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp.
Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1970.  .
Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. .
Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.非交换群的阶方程的一个问题
在〔3〕中,我们建立了有限群的阶方程,并且,对于交换群,得到结果:若G:与G:是n阶交换群,则G,望G:Gl一‘歹G:有相同的阶方程. 在〔3〕中,我们还指出,对了」:一般的。阶群,上述结果不成立,并给出了一个Pa阶交换群与一个护阶非交换群有相同的1价方程的例子,共中P为奇质数.于是,很白然地产生这样一个问题:对于。阶非交换群,上述结果是否成立?回答也是否定的.本文的日的就在于解决这个问题.作为准备,建立几个引理 引理1.、设Gl与GZ,A,与妊2,B,与B:均为同阶有限群,且GloA,xB,,G:=A:火BZ,则得:A,一与A:有相同的阶方程,B,与B:有相同的阶方程=二乡‘:与G:有相同的阶方程. 证明.山〔3」中定理3,即行。证完. 附注.弓!理1的逆是不成立的,但当(】A,},】B,})=1时,逆是成立的.此处从略. 引泛2.若G=AxB,则G为交换群A与B均为交换群. 证明,山直积的定.义及交换群!、勺定义,即得.证完...&
(本文共2页)
权威出处：
在〔3〕中,我宜叨}入了有限群的阶方程的概念,这就是下面的(工)t。二- (工)设G是n阶群,则有”的正约数”,二1,n:…,ns及相应的正整数b=1,kZ,,:’,k,使得G中恰有k小(”‘)个”阶元素,从而有等式“一i军k小(”‘卜称该等式为”阶群G的方程。为以下叙述方便,称k小(n)为关于n的项,有时也称项小(n),称ki为项小(n)的系数。 实际上,n阶群G的阶方程,就是一个数组1,k:小( nZ),…,k:小(。功。于是飞户狼百然地想到这样一个问题:什么样的数组可以充当n阶群的阶方程?‘要回答送匕问翘皇困褚南。原因在于,这与有限群的构造密切相关,而有限群的构造是十分复杂红阖糟韵简触,在这里,我们又只能从元素的阶出发去讨论构造,可以利用的“信息”太少。但是,对.厅n阶交换群的情况,木文回答了这一问题。 在〔3〕中,我们讨论了群的阶方程的性质,得到了下而的(五)。 g(“)”阶群G的阶方程”“、只“i小(”‘)有如下性质,...&
(本文共5页)
权威出处：
在文献[3]中Berkovich提出了一个问题：能否分类这样的有限p-群G，G包含一个极大子群是极小非交换群。作为解决这个问题的第一步，文献[1]中李天则讨论了极小非交换群的自同构群．所谓极小非交换群G是指G的每个真子群都是交换群，但G本身不是交换群．本文在文献[1]的基础上，给出以一类特殊极小非交换群P=P(2，m，1)为极大子群的2-群的完全分类，其中P=P(2，m，1)=，m≥2。定理：设G=是以P=P(2，m，1)，m≥2为极大子群的2-群，其中z∈G＼P，则G有下列分类：情形1：当m≥4，o(z)=2：G=G_1(0)，G_2(0)，G_3(0)，G_4(0)，G_5(0)，G_6(0)，G_7(0)，G_8(0)。情形2：当m≥4，o(z)≠2：情形2．1：当z~2=x~(2k)：情形2．1．1：当z~2=x~(2~(m-1))：G=G_4(2~(m-2))；情形2．1．2：当z~2=x~(2k)，k为任意奇数：G=...&
(本文共52页)
权威出处：
有限p-群是抽象有限群最基本和最重要的分支之一.随着著名的有限单群分类的完成,有限p-群的研究变得越来越活跃.许多群论学家投入到有限p-群研究中,如G. Glauberman, Y. Berkovich, Z. Janko等.“给定阶的有限群的同构分类是有限群研究的主要问题之一,然而给出给定阶的一般有限p-群的完全同构分类在目前看来似乎是不可实现的,更具可行性的是分类满足一定性质的有限p-群的同构分类”([40]).在这些方面,群论学家们做了大量工作,比如N. Blackburn ([9])对内亚循环p-群的分类；Redei([44])对内交换p-群的分类；Z. Janko ([31])对只有三个对合的有限2-群的刻画；Y.Berkovich ([4])对导群的阶为p的有限p-群的分类；徐明曜等([69])对非交换子群都2元生成的有限p-群的分类；张勤海等([75])对非交换子群都亚循环的有限p-群的分类等等.本论文分别从p-群...&
(本文共77页)
权威出处：
群的阶方程是笔者建立的一个概念,并且进行了较多的研究.本文综述群的阶方程的一些研究结果,其中的证明均未在文中列出,可以从相应的文献中得到.1群的阶方程从群的元素的阶出发,将群的元素分为若干类,从而引入群的阶方程的概念.对于任一个群G,首先将G的元素分为两类,即有限阶的元素和无限阶的元素.在有限阶的元素中,G的单位元e的阶是1,并且阶是1的元素仅有1个.这就产生了下面(1)式右边的第1项1;当G有阶大于1的有限阶元素时,任取G的一个d1阶元素a,就有G的一个循环子群〈a〉,并且〈a〉中有φ(d)个d阶元素,它们都是〈a〉的生成元,G的两个d阶循环子群相等当且仅当它们有相同的生成元.设G有kd(有限或无限)个互不相等的d阶循环子群,则G有kdφ(d)个d阶元素,于是就产生了下面(1)式右边的第2项;设G有无限阶元素,任取G的一个无限阶元素α,就有G的一个无限阶循环子群〈α〉,并且〈α〉有且仅有两个生成元α和α-1,G的两个无限循环子...&
(本文共5页)
权威出处：
本文讨论了关于有限群的元素共轭类的若干问题，主要结果包括了两部分．第一部分讨论了共轭类长的平方整除群阶的问题．首先从一般群的角度出发，给出群的所有共轭类长的平方整除群阶的必要条件是此群为交换群；其次，研究了具有简单结构的幂零群，给出了幂零群的所有共轭类长整除群阶的充分必要条件是它的所有的Sylowp子群的所有共轭类长的平方整除群阶；反之，如果一个有限群的所有的共轭类长的平方能整除群阶，则它一定不是单群和几乎单群．此外，围绕有限p群满足何条件时它的共轭类长的平方整除群阶进行了讨论，得到结论：若有限p群阶的幂指数小于等于4，则它的共轭类长的平方一定能够整除群阶；当有限p群阶的幂指数大于4时，若它的所有的共轭类长的平方能够整除群阶，则它一定不是极大类p群；有限p群的幂指数等于5或6时，若是极大类p群，则它一定存在一个元素使得它的的共轭类长的平方不能够整除群阶；最后，研究了一些具有特殊结构的有限p群的共轭类长度，得到：特殊p群，超特殊p...&
(本文共41页)
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