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数列测试题(2)
　　数列测试题 (2)　　一、选择题　　1、下列命题中正确的( ).　　(A)若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列 (B)若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列 (C)若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列 (D)若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列 2、若a,b,c成等比数列，m是a,b的等差中项，n是b,c的等差中项，则　　ac　　mn　　( )　　(A)4 (B)3 (C)2 (D)1　　3、等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1+a2+a3+…+an=2n-1，则a12+a22+a32+…+an2等于( )　　11　　(A)(2n1)2 (B)(2n1) (C)4n1 (D) (4n1)　　33　　4、已知数列{an｝是等差数列，首项a1<0，a<0，a，则使　　前n项之和Sn<0成立的最大自然数n是( )　　A 4008 B 4009 C 4010 D 4011　　5、已知数列{an｝满足a1=4, an+1 +an =4n+6(n∈N*),则a20 =( )　　A 40 B 42 C 44 D 46　　6、在等比数列{an｝中，a1=2,前n项之和为Sn，若数列{an+1｝也是等比数列，则Sn=( )　　A 2n+1-2 B 3n C 2n D 3n-1 7、已知数列{an｝满足:a1=1, an+1 =2an +3(n∈N*)，则a10 =( )　　A、210-3 B、 211-3 C、212-3 D、213-3 8、已知数列{an}的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k( ) A.9 B.8 C. 7 D.6　　9、各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于( )　　A.80 B.30 C.26 D.16　　10、设等差数列an的公差d不为0，若ak是a1与a2k的等比中项，则ka19d.( )　　A.2 B.4 C.6 D.8　　二、填空题 11、已知等比数列{an｝中，a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an｝的前n项和 Sn= __________　　n2an-1 +n-1112、 数列{an｝满足：a1=,且 = (n∈N*,n≥2),则数列{an｝的通an an-13　　项公式是an =______　　113、已知数列{an｝满足:a1=2, an+1 =2(1+2an (n∈N*),则数列{an｝的通项n　　公式an =____　　14、已知数列{an｝满足:a1=1, an+1 - an =4n-2(n∈N*)，则使an ≥163的正整数n的最小值是____　　n+115、已知数列{an｝的通项公式an =log2((n∈N*),其前n项之和为Sn,使Sn<-5n+2　　成立的正整数n的最小值是_____　　三、解答题:　　16.等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20.　　17、设关于x的一元二次方程anx2-an1x+1=0 (n∈N*)有两根α和β，且满足6　　α-2αβ+6β=3.　　(1)试用an表示an1;　　2 (2)求证:数列{an-}是等比数列. 3　　7(3)当 a1=时,求数列{an}的通项公式. 6　　18.设数列an满足a0a,an1can1c,cN*,其中a,c为实数，且c0 (Ⅰ)　　11求数列an的通项公式 (Ⅱ)设a,c，bnn(1an),nN*,求数列bn22　　的前n项和Sn;　　19.已知an是一个等差数列，且a21，a55.　　(Ⅰ)求an的通项 (Ⅱ)求an前n项和Sn的最大值. 20、沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造，乙企业的经营状况是，每月收入45万元，但因设备老化，从下个月开始需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月递增2万元。甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业;据测算，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后各月收入都稳定在第五个月的水平上，若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益?　　21、 已知正数数列{an｝满足：a1=1，n∈N时，有a　　*　　n1n　　=n1　　1　　1an　　(1)、求证：数列{　　1　　a　　｝为等差数列;并求{an｝的通项公式;　　n　　(2)、试问a3a6 是否为数列{an｝中的项，如果是，是第几项，如果不是，说明理由;　　(3)、设cn=anan1(n∈N)，若{cn｝的前n项之和为Sn，求Sn　　*　　附(备选例题)：　　★1.在数列an中，a11，an12an2n.　　(Ⅰ)设bn　　★2、 已知数列{log2(an1)}nN*)为等差数列，且a13,a39. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明1111. a2a1a3a2an1anan.证明：数列bn是等差数列; (Ⅱ)求数列an的前n项和Sn n12　　★3、甲乙两物体分别从相距70米的两处相向运动，甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米，①甲、乙开始运动几分钟后相遇?②如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米 ，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟之后第二次相遇　　★4、 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少20万元。今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资　　1金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1+n)万元(n为正整数);2设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进　　行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金),(1)、求　　An、Bn的表达式;(2)、依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进　　行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润　　★5、如图所示，一个计算装置示意图,J1、J2是数据入口，C 是计算结果的出口;　　计算过程由J1、J2 分别输入自然数m和n,经过计算所得结果由出口C输出，此　　种计算装置完成的计算满足以下三个性质：①若 J1、J2 分别输入1，则输出结　　果为1;②若 J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比　　原来增大2;③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍　　试问：①若 J1输入1，J2输入自然数n, 则输出结果为多少　　②若 J2输入1，J1输入自然数m, 则输出结果为多少　　③若 J1输入m，J2输入自然数n, 则输出结果为多少　　数列测试题(2)：　　1、C ;2、C ;3、D ;4、C;5、B ; 6、C; 7、B;8、B;9、C ;10、B　　1nn11、Sn121 ;12、an = ;13、n2214、n≥10;15、n≥63 2n+12　　16. 解：设数列an的公差为d，则a3a4d10d，a6a42d102d， a10a46d106d.由a3，a，6　　(10d)(1d062，即a1成等比数列得a3a10a6d2整理得 解得d0或d1.当d0)2d，(，　　时，S2020a4　　S当d1时，a1a43d10317，于是20190. d20719　　17、解：(1)根据韦达定理，得α+β=　　an12113,故an1an anan23an11，αβ=,由6α-2αβ+6β=3anan得 6　　2　　211121, (2)证明：因为an1an(an),所以an1　　18.解： (1) ∵an11c(an1) ∴当a1时，an1是首项为a1，公比为c的等比数列。　　∴an1(a1)cn1，即 an(a1)cn11。当a1时，an1仍满足上式。 ∴数列an的通项公式为 an(a1)cn11(nN*)。　　1　　(2) 由(1)得bnn(1a)cn1n()n　　2　　1111111　　Snb1b2bn2()2n()nSn()22()3n()n1　　2222222　　11111∴Sn()2()nn()n1　　22222　　1111111　　∴Sn1()2()n1n()n2[1()n]n()n ∴Sn2(2n)()n　　2222222　　a1d1　　19.解：(Ⅰ)设an的公差为d，由已知条件，，解出a13，　　a14d5　　d2.所以ana1(n1)d2n5.　　(Ⅱ)Snna1　　4.　　n(n1)　　dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值2　　20、解、设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An万元，进行技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn ①An=45n-[3+5+…+(2n +1)]=45n-(n2+2n)=43n-n2　　3　　16[()5-1]　　23　　②当n≥5 时，Bn=(4(n-5)-400=81n-594 当n≤4　　32 23　　16[(n-1]　　23　　时，Bn=-400=16[2()n-27]<0 显然，在前4个月里，对乙企业　　32 -1 2的技改投资未能收回，当n≥5 时，Bn - An=n2+38n-594>0，则n≥12， 所以，至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益　　21、解、① an+2则anan1-an1=0，=　　1　　a　　-　　n　　1　　a　　=2 则an=　　n1　　1　　②a3a6　　2n1　　111111，是第28项;③cn=anan1==(-) 则Sn552n12n122n12n111=(1-) 22n1　　附(备选例题)：　　an1anan+1an　　1-=1即bn+1-bn=1，所以nn-1nn-12222　　an1　　(n-1)1n，所以ann2n1所以 数列bn是等差数列 (Ⅱ)由(Ⅰ)n-1022　　1、解：(Ⅰ) an12an2n　　Snn-12Sn= 21+222+…+(n-1)2n-1+n2n-Sn2222　　1　　2　　n-1　　1-2n　　-n2-n2n(-1n)2n-1　　1-2　　n　　Sn=(n-1)2n+1　　2、解：设等差数列{log2(an1)}的公差为　　d. 由　　所明　　因　　以为以　　a13,a39得2(log22d)log22log28,l　　2　　即(　　II　　d=1.)所　　证　　(ano1)1g(n1)n,　　即　　an2n1.　　，　　111　　n1　　an1ana2n2n　　1111111　　123n　　a2a1a3a2an1an2222　　111　　n　　111. 12n12　　n(n-1)　　3、解、①设n分钟后第一次相遇，则2n+∴n=7　　2　　②设n分钟后第二 次相遇 ，则有2n+　　n(n-1)　　×3;∴n =15 2　　4、解、①依题意，有An=(500-20)+(500-40)+(500-60)+…+(500-2n)=490n-10n1500　　(1+n]-600=500n-n22　　2　　11　　Bn=500[(1++(1+2)+…+　　22　　考查Bn - An =10[n(n+1)-5050n-10]而函数y=x(x+1)-x在(0，+∞) 上为增函数，当n=1或2或3时，n(n+1)-n-10<0 当n≥4时，n(n+1)-n-10≥20-2216　　-10>0;∴仅当n≥4时，Bn>An　　∴至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润　　5、解、①转化条件：(1，1)=1; (m,n+1)=(m,n)+2; (m+1,1)=2(m,1); ②所求： (1,n+1)=(1,n)+2 等差数列;(1,n)=(1,1)+2(n-1)=2n-1; (m+1,1)=2(m,1) 等比数列;(m,1)=(1,1)×2m-1=2m-1;　　m-1(m,n+1)=(m,n)+2;则(m,n)=(m,1)+2(n-1)=2+2n-2