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3.2双曲线的几何性质
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3秒自动关闭窗口34四川大学微积分下册 习题册级数部分 答案-第2页
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34四川大学微积分下册 习题册级数部分 答案-2
二、求的近似值，误差不超过0.0001.附加题；；??(x,x2)=x2?x4，计1.设f(x,y；解把方程f(x,x2)=x3看成是f(x,y)与；??(x,x2)+f??(x,x2)(2x)=3；??(x,x2)(2x)=3x2,解之得f??(；????；面为z=1?x?y的上侧；????；解添加XOY面上的圆域1:z=0,x2+y2≤1；???????
二、求的近似值，误差不超过0.0001.附加题；??(x,x2)=x2?x4，计1.设f(x,y)具有一阶连续偏导数，且满足f(x,x2)=x3,fx??(x,x2).算fy解把方程f(x,x2)=x3看成是f(x,y)与y=x2复合而成的结果，对该方程两端关??(x,x2)+f??(x,x2)(2x)=3x2,即x2?于自变量x求导，注意左边是复合函数的全导数，fxy??(x,x2)(2x)=3x2,解之得f??(x,x2)=1x3+x.x4+fyy2.计算曲面积分I=P(x3?x)dydz+(y3?2y)dzdx+(z3+2)dxdy,其中积分曲????面为z=1?x?y的上侧。????解添加XOY面上的圆域1:z=0,x2+y2≤1的下侧,与构成封闭曲面，外侧??????????为正侧。由高斯公式得，P+P=x2+y2+2≤1,z≥0(?P+?Q+?R)dxdydz1??????????????????=(3x2?1+3y2?2+3z2)dxdydz=3(x2+y2+z2)dxdydz?3dxdydz????2π??π12dφ0r2r2sinφdr-3π13=30dθ0π=?4.π所求的曲面积分I=?4?????????ππ?P2dxdy=?4=?41????y3.计算Darctandσ,其中D是由直线y=0,y=x及圆周x2+y2=4,x2+y2=1所(x3?x)dydz+(y3?2y)dzdx+(z3+2)dxdy1????π6π?(?1)x2+y2≤12dxdy=2π?4=P????围成的在第一象限内的闭区域。解用极坐标来计算。????Darctanydσ=??π0dθ??23π1θρdρ=2傅立叶级数一填空题、??(1).设f(x)=?1,?π&x≤01+x2,0&x&π，则以2π为周期的傅立叶级数在x=π处收敛??于π；（2）设f(x)是以2为周期的函数，其表达式为f(x)=3.傅立叶级数在x=1处收敛于二、将下列函数f(x)开成傅里叶级数.??22,x3,?1&x≤00&x≤π,则f(x)的1.f(x)=bx,?π&x≤0ax,0≤x&π??????π10b1π解a0=?πf(x)dx=[?πbxdx+0axdx]=a?π??????π1π10an=f(x)cos(nx)dx=[bxcos(nx)dx+?π?π0axcos(nx)dx]bxsin(nx)=[+cos(nx)0]?πaxsin(nx)+[+cos(nx)π]0(a&b&0),6(?1)=1?(b?a)??????π1π10bn=f(x)sin(nx)dx=[bxsin(nx)dx+?π?π0axsin(nx)dx](nx)b=[?xcos+sin(nx)0xcos(nx)sin(nx)πa]+]0[?+?πnπ)(?1)n+1=?cos((b+a)=(a+b)??所以f(x)=a0+∞n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))??∞1?(?1)n(?1)n+1b=a?π+((b?a)cos(nx)+(a+??n=1ex,?π≤x&0nb)sin(nx))2.f(x)=0≤x≤π????π1101x解a0=?πf(x)dx=[?πedx+01dx]=(1+π?e?π)??????1π10xcos(nx)dx+πcos(nx)dx]an=f(x)cos(nx)dx=[e?π?π01cos(nx)e+ne={[n?πxxsin(nx)1,??π,sin(nx)π]0]0}?π+[(?1)e=1???????1π10xsin(nx)dx+πsin(nx)dx]bn=f(x)sin(nx)dx=[e?π?π01sin(nx)e?ne={[1ncos(nπ)e={[1(?1)ne={[nxxcos(nx)?π?n?cos(nx)π]0]0}?π+[n?1)]+[1?(]}??所以f(x)=a+∞n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))??∞1?(?1)ne?π1?(?1)n1(?1)nne?π?n?π)+(1+π?e({[]}sin(nx))=1cos(nx)+]+[n=1x3.f(x)=sin(arcsin).x为[?π,π]上的奇函数。解f(x)=?π?n(nπ)]+[1?cos]}an=0????1πx1πbn=?πf(x)sin(nx)dx=[?πsin(nx)dxsin(nx)πxcos(nx)1=+]?π[?(nπ)2(?1)n+1=?2cos=??∞a0所以f(x)=+n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))??(?1)n+1=∞2sin(nx))n=1正弦级数和余弦级数一、将f(x)=2x2(0≤x≤π)分别展开成正弦级数和余弦级数.1π2π2f(x)sin(nx)dx=?π[02xsin(nx)dx](nx)(nx)π4x2cos(nx)=[+2xsin+2cos]0nn2π42((?1)?1)=[]?(?1)??∞42((?1)n?1)(?1)nπ2?]sin(nx)正弦级数f(x)=n=1[解bn=????a0=2??π0??22πf(x)dx=[02x2dx]=4π7????1π2πan=?πf(x)cos(nx)dx=[02x2cos(nx)dx]cos(nx)2sin(nx)π42sin(nx)=[x+2x?]01)n=8(???∞a0所以余弦级数f(x)=+n=1(ancos(nx))??∞2(?1)n=2πcos(nx)+8n=1三、函数f(x)的周期为2π.证明：(1)如果f(x?π)=?f(x)，则f(x)的傅立叶系数a0=0,a2k=0,b2k=0(k=1,2,???)；??????π1π10证a0=f(x)dx=[f(x)dx+?π?π0f(x)dx]对第一个积分用换元x=t?π,x=?π?t=0,x=0?t=π,原积分为????π1π=[0f(t?π)d(t?π)+0f(x)dx]????π1π=[0?f(t)dt+0f(x)dx]=0??1πan=?πf(x)cos(nx)dx??π??10=[?πf(x)cos(nx)dx+0f(x)cos(nx)dx]对第一个积分用换元x=t?π,x=?π?t=0,x=0?t=π,原积分为??π??1πan=[0f(t?π)cos(n(t?π))d(t?π)+0f(x)cos(nx)dx]??π??1π=[0?f(t)cos(n(t?π))dt+0f(x)cos(nx)dx]????π1π=[0?f(x)cos(n(x?π))dx+0f(x)cos(nx)dx]??1π=[0f(x)[?cos(n(x?π))+cos(nx)]dx]当n=2k为偶数时an=a2k=0.bn=1??π??10?πf(x)sin(nx)dx=[?πf(x)sin(nx)dx+??π f(x)sin(nx)dx]对第一个积分用换元x=t?π,x=?π?t=0,x=0?t=π,原积分为????π1πbn=[0f(t?π)sin(n(t?π))d(t?π)+0f(x)sin(nx)dx]??π??1πbn=[0?f(t)sin(n(t?π))dt+0f(x)sin(nx)dx]??1π=[0f(x)[?sin(n(x?π))+sin(nx)]dx]当n=2k为偶数时bn=b2k=0.(2)如果f(x?π)=f(x)，则f(x)的傅立叶系数a2k+1=0,b2k+1=0(k=1,2,???).??1π证an=?πf(x)cos(nx)dx????π10=[?πf(x)cos(nx)dx+0f(x)cos(nx)dx]对第一个积分用换元x=t?π,x=?π?t=0,x=0?t=π,原积分为????π1πan=[0f(t?π)cos(n(t?π))d(t?π)+0f(x)cos(nx)dx]????π1π=[0f(t)cos(n(t?π))dt+0f(x)cos(nx)dx]????π1π=[0f(x)cos(n(x?π))dx+0f(x)cos(nx)dx]??1π=[0f(x)[cos(n(x?π))+cos(nx)]dx]8当n=2k+1为奇数时an=a2k+1=0.bn=1??π????π10f(x)sin(nx)dx=[f(x)sin(nx)dx+?π?π0f(x)sin(nx)dx]对第一个积分用换元x=t?π,x=?π?t=0,x=0?t=π,原积分为????π1πbn=[0f(t?π)sin(n(t?π))d(t?π)+0f(x)sin(nx)dx]????π1πbn=[0f(t)sin(n(t?π))dt+0f(x)sin(nx)dx]????π1πbn=[0f(x)sin(n(x?π))dx+0f(x)sin(nx)dx]??1π[0f(x)[sin(n(x?π))+sin(nx)]dx]bn=当n=2k+1为奇数时bn=b2k+1=0.附加题1n+1的敛散性.nnn=1(n+)1解级数的通项un=(n+1)nnn+的极限为1,1事实上,limn→∞un=limn→∞(n+1)nnn+1nn=limn→∞(n+)n11?=limn→∞(1+n+)nn11?=limn→∞(1+n+)nlimn→∞n1.判断级数??∞不为零,级数发散.因limn→∞n=1=limn→∞(1+11limn→∞n(?)n0n+=e)=en+?=1=0??n2.求级数∞n=0(n+1)(x?1)的收敛域及和函数.??n解令t=x?1,原级数变为∞n=0(n+1)t,设其和函数为s(t).??∞n+1????∞n+1????t??n=)=((t)=((n+1)ts(t)=∞n=0tn=0n=0),|t|&1,s(t)=1?0&x&2.s(x)=1)(1)n,发散.1.1.|t|&当x=0时,级数为√??∞??n,发散.当x=2时,级数为∞(n+(n+1)(?1)n=0n=03.将f(x)=xarctanx?ln展开成麦克劳林级数.????∞112)n=∞(?1)nx2n.解(arctanx)??=(?x==n=0n=0arctanx=√??x??∞ n2nn=0(?1)xdx=??∞n12n+1n=0(?1)x(ln)??=1xx=91=x=x??∞??2)n=∞(?1)nx2n+1.(?xn=0n=0n2n+1dx=n=0(?1)xln=√??x??∞ ??∞2n+2n1n=0(?1)x√????∞n1x2n+2?n12n+2f(x)=xarctanx?ln=∞(?1)n=0n=0(?1)x??11n2n+2,|x|&1.=∞n=0[(?1)(?)]x??12n+2,|x|&1.n=∞n=0[(?1)]x一般周期函数的傅立叶级数??一、将周期为6的周期函数f(x)=解a0=12x+1,?3≤x&01,0≤x≤3展开成傅立叶级数.????310f(x)dx=[(2x+1)dx+?3?l01dx]=1????3??13nπx10nπxan=?3f(x)cos()dx=[?3(2x+1)cos()dx+0cos(nπx)dx]??l6xnπx=1{[()sin()+180cos(nπx)]?3(nπ)6(1?(?1)n)6=1?cos=1+[3sin(nπx)3]?3}bn=??l????3nπxnπxnπx10f(x)sin((2x+1)sin()dx=[)dx+?l?l0sin()dx]+180sin(nπx)]?36xnπx=1{[(?)cos()(nπ)6(?1)n+16=?cos=+3cos(nπx)[?]3?3}所以f(x)==1+??∞a+n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))??∞(1?(?1)n)6(?1)n+16nπx)+sin(nπxcos(n=1))10包含各类专业文献、外语学习资料、各类资格考试、专业论文、中学教育、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、34四川大学微积分下册 习题册级数部分 答案等内容。　
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