怎么证明x在第一象限时，sinx&x&tanx呀_百度知道
怎么证明x在第一象限时，sinx&x&tanx呀
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画弦线切线单位圆用面积刚没久吧应该
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谢谢，我理解了，不是面积是长度
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设f(x)=sinx-x(0&=x&π/2)则f'(x)=cosx-1&=0f(x)减函数<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af&x&π/2f(x)=sinx-x&f(0)=0即sinx&x设f(x)=tanx-x(0&=x&π/2)则f'(x)=1/(cosx)^2-1&=0f(x)增函数<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af&x&π/2f(x)=tanx-x&f(0)=0即tanx&x所x第象限sinx&x&tanx
好麻烦，没学过导数。。。
画个单位圆看看就知道了
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出门在外也不愁有没有办法在不求导的情况下判断f(x)=tanx(0,π/2)的有界性?请说明理由_百度知道
有没有办法在不求导的情况下判断f(x)=tanx(0,π/2)的有界性?请说明理由
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显然我们知道在π/2附近应该无界，因为tan(π/2)从左边逼近是正无穷大下用定义证明无界：对于任意的M&0存在δ=min{π/3,arcsin( 1,min{1/(2M)} ) }&0使得当0&π/2-x&δ时，即π/2-δ&x&π/2有tanx=sinx/cosx&=sin(π/2-δ)/cosx=cosδ/cosx&=cos(π/3)/cosx=(1/2)/cosx而cosx&cos(π/2-δ)=sinδ&1/(2M)即tanx&(1/2)/cosx&(1/2)/(1/(2M))=M总结如下，对于任意M&0,存在δ=min{π/3,arcsin( 1,min{1/(2M)} ) }&0,都有当0&π/2-x&δ时,tanx&M所以tanx在(0,π/2)上无界
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代入0和二分之派若同号则没有，一负一正则有
题目不明白是什么意思。
知道怎么判断有界性吗?
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出门在外也不愁证明 ：当x大于0时
tanx ＞x－x^3／3_百度知道
证明 ：当x大于0时
tanx ＞x－x^3／3
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构造f(x)=tanx-x+x^3/3f'(x)=1/(cosx)^2-1+x^2=(sinx)^2/(cosx)^2+x^2=(tanx)^2+x^2≥0所f(x)(0,+∞)增函数所f(x)&f(0)=0所tanx&x-x^3/3
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出门在外也不愁数学中,X~N(u,62),X~B(X,Y),X~U(X,Y) 中的N,B,U,分别表示的是什么,学...
发表于： 03:08:57
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数学问题:已知函数y=f(x)=bx+c/(ax^2+1)(a,b∈R,b∈N)是奇函数1,已知函数y=f(x)=bx+c/(ax^2+1)(a,b∈R,b∈N)是奇函数,f(x)有最大值1/2,且f(1)&2/5(1)试求函数f(x)的解析式答案:f(x)=x/x^2+1(2)是否存在直线l,它与y=f(x)的图象只交于P,Q两点,并且使得PQ的中点为(1,0)?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由答案:不存在2,设直线l与椭圆x^2/25+y^2/26=1相交于A,B两点,l又与双曲线x^2-y^2=1相交于C,D两点,C,D三等分线段AB,求直线l的方程3,设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)&f(m),求实数m的取值范围答案:-1≤m≤1/2最好解析一下【满意答案】网友回答1,已知函数y=f(x)=bx+c/(ax^2+1)(a,b∈R,b∈N)是奇函数,f(x)有最大值1/2,且f(1)2/5(1)试求函数f(x)的解析式答案:f(x)=x/x^2+1(2)是否存在直线l,它与y=f(x)的图象只交于P,Q两点,并且使得PQ的中点为(1,0)?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由答案:不存在解:(1)由f(x)=-f(-x),得:c=0y=f(x)=bx/(ax^2+1)ayx^2-bx+y=0此方程看成x的方程则:b^2-4ay^2=04ay^2&=b^2因y有最大值,所以上式中a0,且y为最大值,因取等号4a*(1/2)^2=b^2a=b^2而:f(1)=b/(a+1)2/55b2(a+1)=2(b^2+1)2b^2-5b+2&0(2b-1)(b-2)&=01/2&b&2而:以知b为整数所以:b=1a=1所以:函数解析式f(x)=x/(x^2+1)(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)则:x1+x2=2y1+y2=0所以:y1+y2=x1/(x1^2+1)+x2/(x2^2+1)=0(x1+x2)(x1x2+1)=02(x1x2+1)=0x1x2=-1x2=-1/x1所以:x1+x2=x1-(1/x1)=2x1^2-2x1-1=0x1=1-(根号2)或x1=1+(根号2)y1=x1/(x1^2+1)=-(根号2)/4,或y1=-(根号2)/4结合中点(1,0),可得直线l的方程:y=x-1,代入y=x/(x^2+1),得:x^3-x^2-1=0此方程有三个根,所以y=x-1与曲线有三个交点,不合题目要求,所以:满足直线l的方程不存在2,设直线l与椭圆x^2/25+y^2/26=1相交于A,B两点,l又与双曲线x^2-y^2=1相交于C,D两点,C,D三等分线段AB,求直线l的方程解:椭圆x^2/25+y^2/26=1与双曲线x^2-y^2=1都是关于原点中心对称的,而C,D三等分线段AB,所以直线l必通过原点,否则CD的中点与AB的中点无法重合设:C点坐标为(m,n),则A点坐标为(3m,3n)所以:m^2-n^2=1m^2=n^2+1-----------------(1)而:(3m)^2/25+(3n)^2/26=19m^2/25+9n^2/26=1将(1)代入,得:n^2=16*26/(9*51)m^2=n^2+1=(16*26+9*51)/(9*51)=875/(9*51)n^2/m^2=(16*26)/875=(16*26)/(25*35)m/n=+-(4/5)(根号(26/35))=+-4(根号910)/175直线l的方程:y=(n/m)x即:y=(4(根号910)/175)x或y=-(4(根号910)/175)x共两条3,设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)&f(m),求实数m的取值范围答案:-1≤m≤1/2解:函数在区间[0,2]上单调递减,f(1-m)&f(m),则:(1-m)-m00&=1-m&=20&=m&=2联立以上,解得:0&=m&1/2而函数为偶函数,所以f(m)=f(-m)所以:f(1-m)&f(-m)当m&=0,则:1-m0,-m=0,所以:1-m,-m落在单调递减区间,而1-m-m,所以:f(1-m)&f(-m)成立而:0&=1-m&=20&=-m&=2联立以上两式,得:-1&=m&=0综合以上,-1&=m&1/2(m=1/2一定不是m的取值范围,因为,如m=1/2,则:f(1-m)=f(1/2)=f(m),这与已知条件f(1-m)&f(m)矛盾)学习帮助领域专家当前分类官方群学习帮助交流群(官方群)学习考试-其他专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导2015&&-&直线l与椭圆C：X^2/3+y^=1交与A,B两点,原点O到l的距离为√3/2,求三角形AOB面积最大值【满意答案】网友回答若l与x轴垂直，则，l：x=√3/2或-√3/2，代入椭圆方程，可得A、B两点的纵坐标分别为√3/2和-√3/2AB=√3，此时面积为S=1/2*AB*d=1/2*√3*√3/2=3/4***或l不与x轴垂直，可设l：y=kx+b,由（0，0）到l的距离为√3/2可得|b|/根号（1+k^2）=√3/2,即4b^2=3(1+k^2)①把直线方程y=kx+b和椭圆方程x^2+3y^2-3=0联立得(1+3k^2)x^2+6kbx+3b^2-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6kb/(1+3k^2)，x1x2=3(b^2-1)/(1+3k^2)②AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+k^2)*(x1-x2)^2=(1+k^2)*[(x1+x2)^2-4x1x2]③面积S^2=1/4*d^2*AB^2，把③式代入面积公式并结合②式得S^2=9/4*(1+k^2)*(1-b^2+3k^2)/(1+3k^2)^2⑤把①式代入⑤得S^2=9(1+k^2)(1+9k^2)/[16*(1+3k^2)^2]⑥，令t=k^2，则t=0⑥式变为S^2=9(1+t)(1+9t)/[16*(1+3t)^2]=9/16*[1+4/3*1/(1+3t)-4/3*1/(1+3t)^2]⑦令u=1/(1+3t),则0&u&=1⑦式化为S^2=-3/4*u^2+3/4*u+9/16=-3/4*(u-1/2)^2+3/4，0&u&=1最大值为S^2=3/4，Smax=√3/2，******此时，u=1/2，t=1/3，k=√3/3，b=1，此时A、B分别为椭圆与x、y轴的交点。结合***式和******式可知，当l垂直于x轴时，面积最大，最大为3/4。这个题，打得太痛苦，不容易啊。。。。学习帮助领域专家当前分类官方群学习帮助交流群(官方群)学习考试-其他专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导2015&&-&已知椭圆C：(x^2)/3+(y^2)/2=1的离心率为三分之根号三，过右焦点F的直线L与C相交于A,B两点15椭圆C上是否有一点P，使OP向量=OA向量+OB向量成立。存在求出P和L的方程，不存在说明理由【满意答案】假设存在，若斜率不存在即x=1，OA向量+OB向量=（2，0），所以存在这样一点即长轴右顶点。若斜率存在设为k，直线l，y=kx-k，：(x^2)/3+(y^2)/2=1解得，2(x^2)+3(k^2x^2-2k^2x+k2)=6,(3k^2+2)x^2-6k^2x+3k^2-6=0,设AB交点（x1,y1）(x2,y2),x1+x2=6k^2/(3k^2+2),y1+y2=k(x1+x2-2)=-4/(3k^2+2),OA向量+OB向量=【6k^2/(3k^2+2)，-4/(3k^2+2)】，所以p点坐标【6k^2/(3k^2+2)，-4/(3k^2+2)】带入椭圆方程计算出k即可，计算量太大口算没法了，你自己算吧的感言：就是因为计算量太大所以想找找有没有别的方法，结果还是……其他回答(2)热心问友设过Q(1,0)的直线L为:y=k(x-1)=kx-k∵椭圆C的焦点在x轴上，∴可设其标准方程为：x^/a^y^/b^=1另外，设其右焦点为(c,0),且ab0,c0，根据椭圆性质有：a^-c^=b^①又由于椭圆离心率为e=√2/2∴c/a=√2/2②由①，②可得到：b=c,a=√2c∴椭圆方程可化为：x^/2c^y^/c^=1设椭圆C与直线L的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，根据中点坐标公式，可得AB中点M的坐标为((x1x2)/2,(y2y2)/2)联立椭圆C与直线L的方程，消去y，可得到关于x的一元二次方程：(2k^1)x^-4k^x(2k^-2c^)=0由此可得：x1x2=4k^/(2k^1)③将P(x1,y1),Q(x2,y2)代入直线L的方程可得：y1=kx1-ky2=kx2-k&=y1y2=k(x1x2)-2k将③代入，得：y1y2=-2k/(2k^1)④分别将③，④代入已设的PQ中点M的坐标，可得到：M(2k^/(2k^1),-k/(2k^1))∵M在直线y=x/2上∴k/(2k^1)=(1/2)*(2k^)/(2k^1)&=k=0或k=-1若k=0，则直线L的方程为y=0，即x轴，必过与椭圆C的右焦点F(c,0)，不符合题目中“椭圆C上存在与F关于L对称的点”的条件，故k=0舍去；由此可得到k=-1于是，直线L的方程就为:y=-x1设椭圆C上关于L与F点对称的点为D(x3,y3)根据对称的定义可知：线段DF被直线L垂直平分，则有：DF⊥L&=kDF=-1/kL=-1/(-1)=1结合F(c,0)，可得到直线DF的方程为：y=x-c联立DF与L的方程y=-x1，可得出其交点的坐标N为：N((c1)/2,(1-c)/2)由刚才的结论：DF被L垂直平分，可知N为DF的中点，于是，联合N,F的坐标，根据中点坐标公式，可以得出D点坐标为:D(2*(c1)/2-c,2*(1-c)/2-0)即D(1,1-c)而D为椭圆C上的点，故将其代入椭圆C所设的标准方程：x^/2c^y^/c^=1：1/2c^(1-c)^/c^=1&=c=3/4带回到原所设方程，可得到C的方程为：x^/(9/8)y^/(9/16)=1追问：离心率为=√3/3不存在追问：为什么？数学领域专家2015&&-&问题对于集合M,N定义M-N={X|X属于M且X不属于N},M*N=(M-N)U(N-M).设A={y|y=x^2-3x,x属于R},B={y|y=-2^2,x属于R}  A(-9/4,0]      B [-9/4,0]    C (-∞，-9/4)∪[0,+∞)   D  (-∞,-9/4]∪(0,+∞)问题补充： 打错了，B={y|y=-2^x,x属于R}   则A*B等于…… 【最佳答案】解 由A={y|y=x^2-3x,x属于R}={y|y=(x-3/2)^2-9/4,x属于R} ={y|-9/4≤y}=[-9/4,+∞)， B={y|y=-2^x,x属于R}=(-∞,0) A-B=[0,+∞) B-A=(-∞,-9/4) A*B=(A-B)U(B-A)=(-∞,-9/4)U[0,+∞) 选取C。lca001      普通答案B 另外，B集合你打错了，y=-2^x 如果是y=-X^2,就应该是（负无穷，-9/4）U（0，正无穷）phoenahere      1月6日高中必用的数学公式有哪些？高三了要努力拼搏，不让数学拉后退…【满意答案】高中常用数学公式高中常用数学公式一.代数1.绝对值与不等式a,a≥0绝对值定义:|a|=a,a&0⑴a2=|a|,|a|=|a|⑵|a|≤a≤|a|⑶若|a|≤b(b0),则b≤a≤b⑷若|a|≥b(b0),则a≥b或a≤b⑸(三角不等式)|a+b|≤|a|+|b|,|ab|≥|ab|⑹|ab|=|ab|⑺|a|a=(b≠0)b|b|2.指数运算⑴axay=ax+y⑶(ax)y=axyaxax⑸()=xbb⑵ax=axyya⑷(ab)x=axbx⑹a=axyxy⑺ax=1ax⑻a0=13.对数运算(a0,a≠1)⑴零和负数没有对数⑶loga1=0⑸logax=logaxlogayy⑵logaa=1⑷loga(xy)=logax+logay⑹logaxb=blogax⑻换底公式logay=⑺对数恒等式alogay=y⑼e=2.logbylogba⑽lge=log10e=0.1⑾ln10=loge10=2..乘法及因式分解公式⑴(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab⑵(x±y)2=x2±2xy+y2⑶(x±y)3=x3±3x2y+3xy2±y3⑷(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz⑸(x+y+z)3=x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3y2z+3yz2+3x2z+3xz2+6xyz⑹x2y2=(x+y)(xy)⑺x3±y3=(x±y)(x2xy+y2)⑻xnyn=(xy)(xn1+xn2y+xn3y2++xyn2+yn1)⑼xnyn=(x+y)(xn1xn2y+xn3y2+xyn2yn1)(n为偶数)⑽xn+yn=(x+y)(xn1xn2y+xn3y2xyn2+yn1)(n为奇数)⑾x3+y3+z33xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2xyyzxz)⑿x4+x2y2+y4=(x2+xy+y2)(x2xy+y2)5.数列⑴等差数列通项公式an=a1+(n1)d(a1为首项,d为公差)前n项和Sn=特例:1+2+3++(n1)+n=n(n+1)2(a1+an)nn(n1)=na1+d221+3+5++(2n3)+(2n1)=n22+4+6++(2n2)+2n=n(n+1)⑵等比数列通项公式an=a1qn1(a1为首项,q为公比,q≠1)前n项和Sn=a1(1qn)a1anq=1q1q2⑶12+22+32++n2=⑷13+23+33++n3=2221n(n+1)(2n+1)6n2(n+1)242n(4n21)⑸1+3+5++(2n1)=3⑹13+33+53++(2n1)3=n2(2n21)12(n+1),n为奇数n1⑺12+3+(1)n=n,n为偶数21⑻12+23+34++n(n1)=n(n+1)(n+2)36.牛顿二项公式(a+b)n=an+nan1b+n(n1)n22n(n1)(n2)n33ab+ab+2!3!+nn(n1)(nk+1)nkkab++nabn1+bn=∑Cnkankbkk!k=0二,三角1.基本关系式⑴tanα=⑶tanα=⑸cscα=sinαcosα1cotα1sinα⑵cotα=⑷secα=cosαsinα1cosα⑹sin2α+cos2α=1⑻1+cot2α=csc2α⑺1+tan2α=sec2α2.诱导公式角A函数sinAcosAtanAA=π2±αA=π±α3A=π±α2A=2παsinαcosαsinαcotαsinαcosα±sinαcotαcosα±tanαcosαtanα3cotAtanα±cotαtanαcotα3.和差公式⑴sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ⑵cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ⑶tan(α±β)=⑷cot(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβcotαcotβ1cotβ±cotα⑸sinα+sinβ=2sin⑹sinαsinβ=2cosα+β2cossinαβ2α+β2αβ2⑺cosα+cosβ=2cosα+β22cosαβ2⑻cosαcosβ=2sin⑼sinαcosβ=⑽cosαsinβ=⑾cosαcosβ=α+βsinαβ21[sin(α+β)+sin(αβ)]21[sin(α+β)sin(αβ)]21[cos(α+β)+cos(αβ)]21[cos(α+β)cos(αβ)]2⑿sinαsinβ=4.倍角和半角公式⑴sin2α=2sinαcosα⑶tan2α=⑸sin⑺tan2tanα1tan2α⑵cos2α=cos2αsin2α⑷cot2α=⑹cos⑻cotcot2α12cotαα2=±=±1cosα21cosα1+cosαα2=±1+cosα21+cosα1cosαα2α2=±三,初等几何4在下列公式中,字母R,r表示半径,h表示高,l表示斜高,s表示弧长.1.圆;圆扇形圆周长=2πr;圆面积=πr2圆扇形:圆弧长s=rθ(圆心角θ以弧度计)=πrθ180(圆心角θ以度计)扇形面积=11rs=r2θ222.正圆锥;正棱锥1正圆锥:体积=πr2h3侧面积=πrl全面积=πr(r+l)1正棱锥:体积=×底面积×高3侧面积=3.圆台:体积=1×斜高×底周长23(R2+r2+Rr);侧面积=πl(R+r)πh44.球:体积=πr3;表面积=4πr23四,导数和微分1.基本求导公式⑴(C)′=0(C为常数)⑵(xn)′=nxn1;一般地,(xα)′=αxα1.111特别地:(x)′=1,(x2)′=2x,()′=2,(x)′=.xx2x⑶(ex)′=一般地,(ax)′=axlna(a0,a≠1).⑷(lnx)′=11;一般地,(logax)′=(a0,a≠1).xxlna⑸(sinx)′=cosx,(cosx)′=sinx,(tanx)′=sec2x,5(cotx)′=csc2x,(secx)′=tanxsecx,(cscx)′=cotxcscx.⑹(arcsinx)′=(arctanx)′=11x2,(arccosx)′=11x2,11,(arccotx)′=,21+x1+x2(arcsecx)′=1xx21,(arccscx)′=1xx21.2.求导法则⑴四则运算法则设f(x),g(x)均在点x可导,则有:(Ⅰ)(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x);(Ⅱ)(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),特别(Cf(x))′=Cf′(x)(C为常数);(Ⅲ)(特别(f(x)f′(x)g(x)f(x)g′(x))′=,(g(x)≠0),g(x)g2(x)1g′(x))′=2.g(x)g(x)⑵复合函数求导法则设函数y=f(u),=(x)均可导,y=f((x))关于x的导数恰为f(u)及(x)u则的导数的乘积:dydf((x))dydu′x.===f′(u)′(x)(y′=yuu′)xdxdxdudx推广若y=f(u),u=g(v),v=h(x),则:dydydudv′′x.==f′(u)g′(v)h′(x)(y′=yuuvv′)xdxdudvdx3.微分⑴函数y=f(x)在点x处的微分:dy=y′dx=f′(x)dx⑵微分规则设函数u=u(x),v=v(x)均可微,C为常数,则有(Ⅰ)d(Cu)=Cd(u±v)=du±(Ⅱ)d(uv)=vdu+6uvduudv(Ⅲ)d()=(v≠0).vv2若函数y=f(u),u=(x)均可微,则复合函数y=f((x))也可微,且有dy=f′(u)du=f′(u)′(x)dx.五,不定积分1.常用的不定积分公式⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽∫0dx=C;∫xαdx=1α+1x+C(α≠1);α+1∫xdx=ln|x|+C;∫ex1dx=ex+C;x∫adx=ax+C(a0,a≠1);lna∫cosxdx=sinx+C;∫sinxdx=cosx+C;∫sec∫csc2xdx=tanx+C;xdx=cotx+C;2∫11x212dx=arcsinx+C=arccosx+C;⑾∫1+xdx=arctanx+C=arccotx+C.2.不定积分的性质和法则⑴(∫f(x)dx)′=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)dx⑵⑶⑷∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k为常数)设F(u)是f(u)的原函数,u=(x)可导,则F[(x)]是f[(x)]′(x)的原函数.7⑸凑微分法即若∫f(x)dx=F(x)+C,则∫f[(x)]′(x)dx=∫f[(x)]d(x)=F[(x)]+C⑹换元积分法设x=(t)可导,且′(t)≠0,又f[(t)]′(t)有原函数F(t),则∫f(x)dx=∫f[(t)]′(t)dt=F(t)+C=F[其中t=1(x)是x=(t)的反函数.⑺分部积分法1(x)]+C∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)∫v(x)u′(x)dx或简写成∫udv=uv∫vdu六,定积分1.定积分性质和运算⑴∫[kab1f(x)+k2g(x)]dx=k1∫f(x)dx+k2∫g(x)dxaabb其中k1,k2为任意常数.⑵∫baf(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dxacbbaacb⑶若f(x)≤g(x),x∈[a,b],则∫f(x)dx≤∫g(x)dx⑷若m≤f(x)≤M,x∈[a,b],则m(ba)≤∫f(x)dx≤M(ba)ab⑸定积中值定理设f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使∫baf(x)dx=f(ξ)(ba)1bf(x)dx,此值称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均ba∫a由上式,得f(ξ)=值.2.牛顿-莱布尼兹公式若函数f(x)在区间[a,b]上连续,F(x)是f(x)的一个原函数,即F′(x)=f(x),则∫baf(x)dx=F(x)|b=F(b)F(a)a83.积分法⑴换元积分法设函数f(x)在区间[a,b]上连续,作变换x=(t),如果①′(t)在区间[α,β]上连续;②当t从α变到β时,(t)从(α)=a单调地变到(β)=b,则有∫⑵分部积分法baf(x)dx=∫f[(t)]′(t)dtαβ设u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数u′(x),v′(x),则∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)abba∫v(x)du(x)ab9其他回答(3)有点多，不如买本小册子那个还是比较完善的三角的公式及变形再有就是求导公式，还有就是一些常用公式的变形热心问友常用数学公式表乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|ba-b|≤|a|+|ba|≤b&=-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac0注：方程有一个实根b2-4ac&0注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>数学领域专家2015&&-&广义相对论的数学公式有哪些【满意答案】网友回答狭义相对论最著名的推论是质能公式，它可以用来计算核反应过程中所释放的能量，并导致了原子弹的诞生。而广义相对论所预言的引力透镜和黑洞，也相继被天文观测所证实。狭义相对论的四维时空观狭义相对论是建立在四维时空观上的一个理论，因此要弄清相对论的内容，要先对相对论的时空观有个大体了解。在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义，在此不做讨论。四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。我在一个帖子上说过一个例子，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种“此消彼长”的关系。四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。可以说至少它比牛顿力学要完美的多。至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。单位符号单位符号坐标：m(x,y,z)力：NF(f)时间：st(T)质量:kgm(M)位移：mr动量:kg*m/sp(P)速度：m/sv(u)能量:JE加速度：m/s^2a冲量：N*sI长度：ml(L)动能：JEk路程：ms(S)势能：JEp角速度：rad/sω力矩：N*mM角加速度:rad/s^2α功率：WP一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。(此处先给出公式再给出证明)(二)洛仑兹坐标变换：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c^2)(三)速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)(光源与探测器在一条直线上运动。)(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt(九)质能方程：E=Mc^2(十)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)三：三维证明：(一)由实验总结出的公理，无法证明。(二)洛仑兹变换：设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c^2)(三)速度变换：V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)同理可得V(y),V(z)的表达式。(四)尺缩效应：B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ(五)钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量)，故△t=γ△T.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。牛顿力学中，v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）(八)相对论力学基本方程：由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）(九)质能方程：Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2=Mc^2-mc^2即E=Mc^2=Ek+mc^2(十)能量动量关系：E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2四：四维证明：(一)公理，无法证明。(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔，dS^2&0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）X=xcosφ+(ict)sinφicT=-xsinφ+(ict)cosφY=yZ=z当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c^2)(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)则f=mdV/dτ=mω(九)质能方程：fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2故E=Mc^2=Ek+mc^2理工学科领域专家2015&&-&
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