（2009o深圳）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可证△AOC∽△COB，由相似比得OC2=OAoOB，设OA的长为x，则OB=5-x，代入可求OA，OB的长，确定A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；（2）根据△BDE为等腰三角形，分为DE=EB，EB=BD，DE=BD三种情况，分别求E点坐标；（3）作辅助线，将求△CDP的面积问题转化．方法一：如图1，连接OP，根据S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD，表示△CDP的面积；方法二：过点P作PE⊥x轴于点F，则S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP，表示△CDP的面积；再利用二次函数的性质求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标．
解：（1）设OA的长为x，则OB=5-x；∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；∴△AOC∽△COB，∴OC2=OAoOB∴22=x（5-x）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（1分）解得：x1=1，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（2分）∴点A、B、C的坐标分别是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；（注：直接用射影定理的，不扣分）方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax2+bx+2，将A、B、C三点的坐标代入得…（3分）解得：a=，b=，c=2所以这个二次函数的表达式为：2+32x+2…（4分）方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x-4）…（3分）将C点的坐标代入得：a=所以这个二次函数的表达式为：2+32x+2…（4分）（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：，，．…1+1+（1分）（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）②如图1，连接OP，S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD&&&&&&&&&&&&…（8分）==m+n-2=2+52m=2+258…（9分）∴当m=时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），S△CDP的最大值是．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（10分）另解：如图2、图3，过点P作PE⊥x轴于点F，则S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（8分）==m+n-2=2+52m=2+258…（9分）∴当m=时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），S△CDP的最大值是．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）根据阴影正方形的边长与大正方形边长有个对应关系,因为在直线上,所以可以求出,这个是正方形边长,如果,那么大正方形边长为,阴影正方形边长为,可以得出是一系列的相似多边形,相似比为,即可得出第个阴影正方形的面积.
点坐标设为,,解得:,如果,那么大正方形边长为,阴影正方形边长为,可以理解成是一系列的相似多边形,相似比为,第个阴影正方形的面积为:,第个阴影正方形的面积为:,第个阴影正方形的面积为:,故答案为:.
此题主要考查了勾股定理以及正方形的性质和一次函数的综合应用,得出相似多边形,相似比为,进而得出正方形面积是解决问题的关键.
3804@@3@@@@一次函数综合题@@@@@@253@@Math@@Junior@@$253@@2@@@@一次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3892@@3@@@@勾股定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3913@@3@@@@正方形的性质@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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第二大题，第10小题
求解答 学习搜索引擎 | 2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间的阴影部分是一个小正方形的"赵爽弦图".若这四个全等的直角三角形有一个角为{{30}^{\circ }},顶点{{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}},...,{{B}_{n}}和{{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}},...,{{C}_{n}}分别在直线y=-\frac{1}{2}x+\sqrt{3}+1和x轴上,则第n个阴影正方形的面积为___.先在直角三角形中根据和,利用三角函数的定义求出,然后根据角平分线的定义得到角等于,在三角形中,利用和,由三角函数的定义即可求出的长,根据等角对等边即可等于;分两种情况考虑:第一,在边上,根据速度和时间得到等于都等于,过作与垂直,等于,等于减去,利用三角形的面积公式即可列出与的函数关系式;第二,当在边上时,同理可得与的关系式;分三种情况考虑:第一,为等腰三角形的底边时,由角等于角都等于,则角为,得到与垂直,根据所对的直角边等于斜边的一半得到等于,分别表示出和代入即可得到关于的方程,求出方程的解即可得到的值;第二,当为等腰三角形的腰时,过做,得到角,所以三角形为等腰直角三角形得到,分别表示出和列出关于的方程,求出方程的解即可得到的值;第三,当时,,不存在三角形.
,在中,,平分,,,,;当时,,当时,综上:;当时,,,,;当时,过作于,则,,,解得当时,,不可能.综上,当或时,为等腰三角形.
此题考查学生会根据已知的边和角利用三角函数的定义求出未知边和角,掌握直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半及等腰三角形的性质与判断,注意灵活运用分类讨论的方法解决实际问题,是一道综合题.学生做题时应注意考虑问题要全面.
4009@@3@@@@解直角三角形@@@@@@267@@Math@@Junior@@$267@@2@@@@锐角三角函数@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3828@@3@@@@根据实际问题列二次函数关系式@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3883@@3@@@@等腰三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 如图(1),将直角三角形AOB放置在平面直角坐标系xOy中,角A={{90}^{\circ }},角AOB={{60}^{\circ }},角A={{90}^{\circ }},角AOB={{60}^{\circ }},OB=2\sqrt{3},斜边OB在x轴的正半轴上,点A在第一象限,角AOB的平分线OC交AB于C.动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t秒,同时动点Q从点C出发沿折线CO-Oy以相同的速度运动,当点P到达点O时P,Q同时停止运动.(1)OC,BC的长;(2)设\Delta CPQ的面积为S,求S与t的函数关系式;(3)当P在OC上,Q在y轴上运动时,如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时,\Delta OPM为等腰三角形?求出所有满足条件的t值.根据的面积求出点的坐标,然后根据点坐标确定出反比例函数的解析式.进而求得点的坐标.根据,的坐标即可求得直线的解析式;将分成和两部分进行求解.先根据直线的解析式求出的坐标,即可得出的长,然后根据,的纵坐标即可求出的面积;以为圆心,为半径,交坐标轴于四点,这四点均符合点的要求.以为圆心,为半径,交坐标轴于两点,作的垂直平分线,交坐标轴于两点,因此共有个符合要求的点.
在中,,,,即,反比例函数的解析式为,,设直线的解析式为,则有:,解得:,;根据,得,,;,,,,,,,.
本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定,图形的面积求法,等腰三角形的判定等知识及综合应用知识,解决问题的能力.要注意在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况,不要漏解.
3815@@3@@@@反比例函数综合题@@@@@@254@@Math@@Junior@@$254@@2@@@@反比例函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 已知反比例函数y=\frac{k}{x}图象过第二象限内的点A(-2,m),AB垂直于x轴于B,直角三角形AOB面积为3,若直线y=ax+b经过点A,并且经过反比例函数y=\frac{k}{x}的图象上另一点C(n,-\frac{3}{2}),(1)求反比例函数的解析式和直线y=ax+b解析式;(2)求\Delta AOC的面积;(3)在坐标轴上是否存在一点P,使\Delta PAO为等腰三角形,若存在,请直接写出P点坐标,若不存在,说明理由.由题意知:当与点重合时正好在上,此时三角形中,,而,因此,可在直角三角形中,根据的正弦值及的长求出等边三角形的边长;可设三角形从初始位置移动秒后得到三角形,那么在秒内点移动的距离就是的长,由于,因此三角形是个等腰三角形,过作,那么,可在直角三角形中,根据的长求出(的长就是三角形平移的距离),由此可得出的长除以用的时间即可得出点的速度.求点的速度解法类似,过作,设垂足为,那么就是点移动的距离,同样可在直角三角形中求出的长,进而可得出其速度;本题要先找出几个关键点:当与重合时,那么根据的速度可表示出的长,而为三角形平移的距离,据此可求出.当到达点时,,可求得此时.当在之间时,即,的长可在直角三角形中,根据和的余弦值求出,过作于,那么就是边上的高,可在直角三角形中根据的长和的正弦值求出(可根据来得出).据此可得出关于,函数关系式.当在之间时,即,可过作与,那么的长可在直角三角形中,根据的长和的正弦值求出,进而可根据三角形的面积公式求出,的函数关系式.当在上运动时,即,解法同上.根据上述三种情况得出的函数的性质及各自的自变量的取值范围,可求得的最大值及对应的的值.
当点与点重合时,如图所示:为等边三角,,;过点作,,,在中,,点在上的移动速度为点作,在中,点在上的移动速度为
;在中,,,当点运动到点时,有,当点在之间运动时,过点作,垂足为在中,与的函数关系式为:当点在之间运动时,过点作,垂足为在中,,与的函数关系式为:.当点在之间运动时,过点作,垂足为在中,与的函数关系式为:,,当时,,而当点在点时,,,当点在点时,的面积最大.
本题为动态形问题,考查了等边三角形和直角三角形的性质,二次函数的应用等知识.综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
3830@@3@@@@二次函数综合题@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 在直角三角形ABC中,角C={{90}^{\circ }},角A={{60}^{\circ }},BC=6,等边三角形DEF从初始位置(点E与点B重合,EF落在BC上,如图1所示)在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移,DE,DF分别与AB相交于点M,N.当点F运动到点C时,\Delta DEF终止运动,此时点D恰好落在AB上,设\Delta DEF平移的时间为x.(1)求\Delta DEF的边长;(2)求M点,N点在BA上的移动速度;(3)在\Delta DEF开始运动的同时,如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE\Rightarrow EF运动,最终运动到F点.若设\Delta PMN的面积为y,求y与x的函数关系式,写出它的定义域;并说明当P点在何处时,\Delta PMN的面积最大?