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二阶系统的阶跃响应
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自动控制原理考试试卷及答案30套
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自动控制原理_习题答案
自动控制原理课后习题答案第一章（略）第二章2.1试分别写出图2.68中各无源电路的输入ur(t)与输出uc(t)
之间的微分方程。图2.68习题2.1图解：(a)ur?ucuRRRRR2?r?u?c)?i2，i1?i2?c，12Cu?c?uc?12Cu?r??i1，
C(uurR1R2R1?R2R1?R2R1?R2(b)?r?u?c)?i1，C1(uur?u1?1，uc?i1R2?u1，?i2，i1?i2?C2uR1??c?(R1C1?R1C2?R2C1)u?c?uc?R1R2C1C2u??r?(R1C1?R2C1)u?r?urR1R2C1C2u(c)u1ur?uci1dt?u1，?i1，C1(ur?u1)?i2，i1?i2?1，uc?R1R2C2???c?(R1C2?R2C2?R2C1)u?c?uc?R1R2C1C2u??r?(R2C2?R2C1)u?r?urR1R2C1C2u2.2试证明图2.69(a)所示电路与图2.69(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。图2.69(b)中Xr(t)为输入，Xc(t)为输出，均是位移量。(a)图2.69习题2.2图(b)解：1(a)1ur?uc?r?u?c)?i2，i1?i2?i，uc?idt?iR2，?i1，
C1(uR1C2???c?(R1C1?R1C2?R2C2)u?c?uc?R1R2C1C2u??r?(R1C1?R2C2)u?r?urR1R2C1C2u(b)?c?x?1)?K2x1，B1(x?r?x?c)?K1(xr?xc)?B2(x?c?x?1)，B2(xB1B2BBBBBBB???c?xc?12???r?xrxc?(1?2?2)xxr?(1?2)xK1K2K1K2K1K1K2K1K22.3试分别求出图2.70中各有源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的微分方程。(a)(b)图2.70习题2.3图(c)解：(a)uurR?r??c，uc??R2Cu?r?2ur?CuR1R2R1uurR?c，R2Cu?c?uc??2ur??c?CuR1R2R1uc??ur1u?c??R2Cu?r?urR2??rdt，R1CuR1CR1(b)(c)2.4某弹簧的力-位移特性曲线如图2.71所示。在仅存有小扰动的情况下，当工作点分别为x0=-1.2、0、2.5时，试计算弹簧在工作点附近的弹性系数。2
图2.71习题2.4图解：设力f与位移x的关系为f=g(x)。取增量方程：?f?dg(x)dx?x，x0x0=-1.2、0、2.5dg(x)dx为工作点处的弹性系数，分别从曲线中量出为x,?20,?80.5122.5设某系统的传递函数为G(s)，在初始条件为零时，施加输入测试信号r(t)=t（t≥0）,测得其输出响应为c(t)=1+sint+2e-2t（t≥0）,试确定该系统的G(s)。解：s3?5s2?2s，G(s)?R(s)?2，C(s)??2?ss?1s?2ss3?2s2?s?22.6系统的微分方程组如下：dx1(t)?K1x1(t)dtx3(t)?K2x2(t) ,
x4(t)?x3(t)?x5(t)?K5c(t)x1(t)?r(t)?c(t) ,
x2(t)??dx5(t)dc(t)?K3x4(t) ,
K4x5(t)?T?c(t)dtdt其中?，K1，K2，K3，K4，K5，T均为正常数。试建立系统r(t)对c(t)的结构图。解：3
2.7系统的微分方程组如下：x1(t)?r(t)?c(t)?n1(t) ,
x2(t)?K1x1(t)x3(t)?x2(t)?x5(t) ,
Tdx4(t)?x3dtd2c(t)dc(t)x5(t)?x4(t)?K2nNN2(t) ,
dt其中K0，K1，K2，T均为正常数。试建立系统结构图。解：2.8图2.72是一个模拟调节器的电路图。试写出输入与输出之间的微分方程，并建立该调节器的结构图。图2.72习题2.8图解：(a)uuduuu1ur?uci2dt，2??c，?i1，i1??(1?C11，i2?1，u2??R1R2dtR3C2R4R5?R1R3R4C1C2RRRC??c?1342u?c?uc??uruR5R2R54
2.9图2.73是一个转速控制系统，输入量是电压ua，输出量是负载的转速?，试写出其输
入输出间的微分方程，并画出系统的结构图。图2.73习题2.9图解：(a)ua?iaRa?Ladiad??B?，?K
e?，Md?Kii
a，Md?JdtdtLaJRB11?????(a?1)???(RaJ?LaB)?uaKiKeKiKeKiKeKe2.10某机械系统如图2.74所示。质量为m、半径为R的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为?的斜面上滚动(无滑动)，试求出其运动方程和结构图。图2.74习题2.10图52.11试化简图2.75中各系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s
(b)(c)图2.75习题2.11图解：(a)G(s)?G1G2?G2G31?G1G2H2?G2H1G1G2(1?H1H2)1?G1H1?H1H26(b)G(s)?(c)G(s)?G1G2
G3H3?G1G2G3H2?G3G4H4?G1G2G3G4H12.12已知系统结构如图2.76所示，试将其转换成信号流图，并求出C(s)/R(s)。(a)图2.76习题2.12图(b)解：(a)G(s)?G1G21?G1H1?G2H2?G1G2H1H2(b)G(s)?G1G21?G1H1?G2H22.13系统的信号流图如图2.77所示，试用梅逊公式求C(s)/R(s)。(a)图2.77习题2.13图(b)解：(a)G(s)?G(s)?0.5Ks3?3.5s2?s?0.5KG1G2G3G4?G1G5?G6(1?G4H2)1?G1G2H1?G1G2G3?G1G5?G4H2?G1G2G4H1H2(b)2.14试梅逊公式求图2.78所示结构图的传递函数C(s)/R(s)。7
(a)图2.78习题2.14图(b)解：(a)G(s)?G4?G1G2G31
?G2H1?G1G2H1?G2G5H2G1?G2?2G1G21?G1?G2?3G1G2(b)G(s)?2.15已知系统结构图如图2.79所示，试写出系统在输入R(s)及扰动N(s)同时作用下输出C(s)的表达式。图2.79习题2.15图解：C(s)?[G1G2?G1G3(1?G2H)]R(s)?[1?G2H?G1G2G4?G1G3G4(1?G2H)]N(s)1?G1G2?G2H?G1G3?G1G2G3H2.16系统的结构如图2.80所示。（1）求传递函数C1(s)/R1(s)，C2(s)/R1(s)，C1(s)/R2(s)，C2(s)/R2(s)；（2）求传递函数阵G(s)，其中，C(s)=G(s)R(s),C(s)=??C1(s)??R1(s)?，R(s)=。????C2(s)??R2(s)?8
图2.80习题2.16图解：（1）G1G2G3(1?G5H2)C1(s)
??G11(s)R1(s)1?G5H2?G3H1?G5G7G8G1G5G6G7C2(s)??G21(s)R1(s)1?G5H2?G3H1?G5G7G8G3G4G5G9C1(s)??G12(s)R2(s)1?G5H2?G3H1?G5G7G8G4G5G（C2(s)61?G3H1）??G22(s)R2(s)1?G5H2?G3H1?G5G7G8?G11(s)G12(s)?（2）G(s)????G21(s)G22(s)?2.17已知系统结构图如图2.81所示。（1）试求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)；（2）若要消除干扰对输出的影响，即C(s)/N(s)=0，试问应如何选取G0(s)。图2.81习题2.17图9解：（1）K1K2K3C(s)?R(s)K1
K2K3?s(Ts?1)C(s)K1K2K3G0(s)?K3K4s?N(s)K1K2K3?s(Ts?1)（2）G0(s)?K4sK1K23.1.已知系统的单位阶跃响应为c(t)?1?0.2e?60t?1.2e?10t试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？(2)阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn=？解：（1）由c(t)得系统的单位脉冲响应为g(t)??12e?60t(t?0)?12e?10t?(s)?L[g(t)]??2s?10s?60s?70s?6002?n（2）与标准?(s)?2对比得：2s?2??n??n?n?600?24.5，??702?600?1.4293.2.设图3.36(a)所示系统的单位阶跃响应如图3.36(b)所示。试确定系统参数K1,K2和a。(a)10(b)图3.36习题3.2图解：系统的传递函数为K12?nK1K2s(s?a)W(s)?K2?2?K221s?as?K1s?2??n??n1?s(s?a)又由图可知：超调量Mp?4?31?33峰值时间tp?0.1?s?代入得???2??n?K1?????1??21??e3????0.1????2?n??K?K2解得：ln3?????2；??0.33，?n?10???22?33.3，K1??n?1108.89，a?2??n?2?0.33?33.3?21.98，K2?K?3。3.3.给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量?p?5%，调节时间ts?3s，峰值时间tp?1s，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。解：设该二阶系统的开环传递函数为?n2G?s??ss?2??n11?????1??2??e?0.05?p?3?3则满足上述设计性能指标：?ts???n???t??1?p2?n1?
?0.69，??n?1?n1??2??由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：3.4.设一系统如图3.37所示。(a)求闭环传递函数C(s)/R(s)，并在S平面上画出零极点分布图；(b)当r(t)为单位阶跃函数时，求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。图3.37习题3.4图解：(a)系统框图化简之后有C(s)2?s?2?R(s)s?0.5s?2.252?s(s?j)(s?j)2212z1?2,s1,2??零极点分布图如下：35j
2(b)若r?t?为单位阶跃函数，L??r?t????1，则s2s(s2?)4?1s2?41C(s)??s2?s(s?35j)(s?j)22?88s1818s2?????????35s5235(s2?)s2?s?()s2?(4422c(t)?882?cost?sint353522大致曲线图略。3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为2?nC(s)?2R(s)s2?2??ns??n分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。(1)??=2，?n=5s?1；(2)???1.2，?n=5s?1；(3)说明当??≥1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。解：（1）?(=2)&1,闭环极点s1,2????n??n132?1??10?53W(s)?C(s)25?2R(s)s?20s?25C(s)?W(s)R(s)?T1?1??251?s2?20s?25sT2?15(2?3)?n(??2?1)?tT115(2?)tT2eee?5(2?)te?5(2?)tc(t)?1???1??T21?1T12?16?46?4s1??1.34,s2??18.66|s2/s1|?13.9??5e?5(2?)tc(t)?1??1?1.0t6?43ts?2.29s（2）?(=1.2)&1,闭环极点s1,2????n??n2?1??6?50.44W(s)?C(s)25?2R(s)s?20s?25T1?tT111,T2?5(1.2?0.44)5(1.2?.44)?tT2eee?5(1.2?)te?5(1.2?)tc(t)?1???1??T21?1T12?11.2?.441.2?.44?1?11.2?.441.2?.44s1??6?5.44??2.68,s2??9.32?ts?1(6.45??1.7)?(6.45?1.2?1.7)?1.2s?n51（3）答：??1.5时，s1,2????n??n142?1??7.5?5.25。s1??1.91，s2??13.09，两个闭环极点的绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点对应的暂态分量初值小、|s2/s1|?6.85?5，衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上），因此可以忽略掉。2?n3.6.设控制系统闭环传递函数为G(s)?2，试在S平面上绘出满足下列各要求的系2
s?2??ns??n统特征方程式根可能位于的区域：(1)(3)1&?≥0.707，?n≥2(2)0.5≥??&0，4≥?n≥20.707≥??&0.5，?n≤23.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，图3.38习题3.7图1200r/min的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s，试求电机传递函数。提示：注意?(s)K=，其中?(t)?d?，单位是rad/sV(s)s?adt?(s)K=可得V(s)s?a解：由式?(s)?KK1010KV(s)????s?as?asa1s(s?1)a?10K11(?ass?a?10K?(t)?(1?e?at)??0(1?eT)at?(1.2)??0(1?e?1.2a)?0.5?0(1?e?1.2a)?0.515a?ln2?0.581.210K??0?1200rmin?20r/sak?a?00.58?20??1.161010电机传递函数为：G(s)??(s)K1.16??V(s)s(s?a)s(s?0.58)3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。(1)s?3s?3s?2s?2?0(2)0.02s3?0.3s2?s?20?0(3)s5?2s4?2s3?44s2?11s?10?0(4)0.1s4?1.25s3?2.6s2?26s?25?0答案：（1）劳斯表如下：432s4s3s2s1s劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（2）劳斯表如下：s3s2s1s00.劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（3）劳斯表如下：16s5s4s3s2s1s?85
10劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（4）劳斯表如下：s4s3s2s1s00.12..5225劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是1G(s)?s(0.1s?1)(0.2s?1)采用比例控制器，比例增益为Kp，试利用劳斯判据确定Kp值的范围。图3.39习题3.9图解：G(s)?Kps(0.1s?1)(0.2s?1)32特征方程为：D(s)?0.002s?0.3s?s?Kp?0劳斯表如下：s3s2s1s00.?0.002Kp0.3Kp171Kp?0.3?0.002Kp??0要使系统稳定只需?，解得0?Kp?150。0.3?Kp?0?3.10.某控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?K(s?1)s(Ts?1)(2s?1)试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。解：由系统开环传函可知D(s)?s(Ts?1)(2s?1)?K(s?1)?2Ts3?(2?T)s2?(K?1)s?K?0劳斯表如下：s3s2s1s02T2?T2K?(1?K)T?22?TKK?1K由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。若第一列元素均大于0，即T?0??2?T?0???2K?(1?K)T?2?0?K?0?解得K?0，2(K?1)?(K?1)T当K&1时0?T?2(K?1)，当0?K?1时,T?0。K?13.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为K*(s?1)(1)G(s)?s(s?1)(s?5)K*(2)G(s)?s(s?1)(s?5)试确定使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围（注意K≠K*）18解：(1)D(s)?0.2s?0.8s?(K?1)s?K?032劳斯表如下：s3s2s1s00.20.83K?44KK?1K04。3解得：使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围K?(2)D(s)?0.2s?0.8s?s?K?032由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益Ｋ取何值闭环系统都不稳定。3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为KG(s)?s(1?s/3)(1?s/6)若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值应取在什么范围?如果要求实部均小于?2，情况又如何?解：由反馈系统的开环传函G(s)?K18K?sss(1?1?s(s?3)(s?6)36D(s)?s3?9s2?18s?18K?0（1）令s?z?1,得：劳斯表如下：D(z)?(z?1)3?9(z?1)2?18(z?1)?18K?z3?6z2?3z?18K?10?0z3z2z1z28?18K618K?10514?K?99欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：?28?18K?0得??18K?10?019（2）令s?z?2,得：D(z)?(z?2)3?9(z?2)2?18(z?2)?18K?z3?3z2?6z?18K?8?0如果要求实部均小于?2，由特征方程可见，a2??6?0，系统稳定的必要条件不成立，无论K取何值，系统都不稳定。3.13.单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?4s(s2?2s?2)(1)求系统的单位阶跃响应；(2)输入信号为r(t)=1(t)，求系统的误差函数e(t)；解：（1）开环传递函数G(s)?4s(s2?2s?2)44?s(s2?2s?2)?4(s2?2)(s?2)闭环传递函数单位阶跃响应W(s)?C(s)?K2s?K3K141K0????ss?2(s2?2)(s?2)ss2?2K0?1，K1??K2?K3??2313112s?11112s22C(s)??????????ss?23s2?2s3s?23s2?23s2?2?122c(t)?1?e?2t?cos2t?sin2t333（2）不考虑扰动作用r(t)?1(t)G(s)?2s(0.5s2?s?1)20Kp?limG(s)??s?0essr?11??01?Kp1??3.14.某控制系统的结构图如图3.40所示。(1)当a=0时，试确定系统的阻尼比ζ，无阻尼自然振荡频率ωnn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。(2)当系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707）时，确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。(3)若要保证系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707），且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少？解：(1)当a=0时，G(s)?图3.40习题3.14图8821，W(s)?2，?n?，???s(s?2)2?ns?2s?81?0.25。KvKv?limsG(s)?4，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr?s?0(2)当ζ=0.707时，G(s)?88，W(s)?2，?n?，s(s?2?8a)s?(2?8a)s?82??n?2?8，Kv?limsG(s)?2，单位斜坡??4?2?8a，得a?0.25，G(s)?s?02s(s?4)1?0.5。Kv信号作用时系统的稳态误差essr?(3)此时G(s)?KK，W(s)?2s(s?2?Ka)s?(2?Ka)s?KKv?limsG(s)?s?0K?42?Ka2??n?2?联立上两式解得2?K?2?Ka23。16K?32，a?213.15．已知单位反馈系统闭环传递函数为b1s?b0C(s)?4R(s)s?1.25s3?5.1s2?2.6s?10(1)求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数b0,b1应满足的条件；(2)在(1)求得的参数b0,b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。解：（1）等效单位负反馈开环传递函数G(s)?b1s?b0s4?1.25s3?5.1s2?(2.6?b1)s?10?b0根据单位斜坡输入时，稳态误差为0得：?b0?10即开环传递函数为?b?2.6?1（2）单位抛物线输入时G(s)?2.6s?10s2(s2?1.25s?5.1)s2(2.6s?10)10Ka?limsG(s)?lim22?s?0s?0s(s?1.25s?5.1)5.12essr?C5.1?Ka103.16.系统结构图如图3.41所示。(1)当r(t)=t，n(t)=t时，试求系统总稳态误差(2)当r(t)=1(t)，n(t)=0时，试求?p,tp。图3.41习题3.16图解：（1）参考作用下的误差传递函数为N(s)?0,Er(s)?1?R(s)?1?G(s)141?s(2s?1)?R(s)稳态误差为essr或2s2?s1?limsEr(s)?lims?2?2?0.25s?0s?02s?s?4s22Kv?limsG(s)?limss?0s?04?4s(2s?1)essr?1?0.25Kv扰动作用下的误差传递函数为R(s)?0,En(s)??1N(s)??1?G(s)11?s(2s?1)N(s)稳态误差为essn2s2?s1?limsEn(s)?lims?(?2?2??0.25s?0s?02s?s?4s系统总误差为ess?essr?essn?0（2）当r(t)=1(t)，n(t)=0时，G(s)?4，s(2s?1)2?nG(s)42W(s)??2?2?221?G(S)2s?s?4s?0.5s?2s?2??ns??n??n?2?解得：??1???42????1??2?p?etp??100%?e??31??n??2??2??132?4?313.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为100G(s)?s(0.1s?1)23试求当输入信号r(t)=1?2t?t2时，系统的稳态误差。解：系统为I型系统Kv?limsG(s)?limss?0s?，Kp??,Ka?0s(0.
1s?1)ess?ABC???0?0.02????1?KpKvKa3.18.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定，图3.42（a）、（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。(a)图3.42习题3.18图(b)（1）若r(t)?1(t)，n(t)?0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？（2）当有阶跃扰动n(t)?0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。解：（1）开环：C?s??1?R?s?10s?1达到稳态温度值的62.3%需时T?101?R?s?0.1s?1达到稳态温度值的62.3%需时T?0.1闭环：C?s??（2）1?N?s?10s?11闭环：C?s???N?s?10s?100开环：C?s??各项指标不变。又解：can(t)=0.1，加干扰后对系统始终有影响；24cbn(t)=0.1e-10t，加干扰后，当t趋于无穷时，对系统没有影响。结论：反馈结构可以消除干扰的影响。4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数
s)?Ks?1试用解析法绘出K从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：(?2，j0)，(0+j1)，(??3+j2)。解：根轨迹如习题4-1答案图所示。（-2，+j0）在根轨迹上；(0,+j1),(-3,+j2)不在根轨迹上。习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。G(s)?K(3s?1)s(2s?1)试用解析法给出开环增益K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。解：解析法：K=0时：s=-1/2，0；K=1：s=-1±2；K=-∞：s=-∞，-1/3。根轨迹如习题4-2答案图所示。习题4-2答案图25K(s?1)，试按根轨迹规则画出该系统的根轨s(s?1)
迹图，并确定使系统处于稳定时的K值范围。解：分离点：0.414；会合点：-2.414；与虚轴交点：±j。稳定的K值范围：K&1。根轨迹如习题4-3答案图所示。4-3已知系统的开环传递函数G(s)H(s)?习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为K*G(s)?(s?1)(s?1)(s?4)2（1）试粗略画出K*由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。解：稳定性分析：系统不稳定。根轨迹如习题4-4答案图所示。Imaginary AxisReal Axis26习题4-4答案图K*(s?1)4-5设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?，试绘制系统根轨2s(s?1)(s?4s?16
迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。解：渐近线：??=?60°，180°；??=-2/3；复数极点出射角?55°；分离会合点0.46和-2.22；与虚轴交点1.57和2.56；使系统稳定的开环增益为1.46＜K＜2.23(即23.4＜K
＜35.7)。习题4-5答案图4-6已知系统的特征方程为(s?1)(s?3)(s?1)(s?3)?K(s2?4)?0试概略绘出K由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。解：渐近线：??=?90°，??=0；分离点?2，相应K=1.88；会合点?j3.46，相应K=34.14；复数零点入射角?90°；无论K为何值系统均不稳定。27习题4-6答案图4-7反馈系统的特征方程为s4?3s3?12s2?(K?160)s?K?0作出0&K&∞的根轨迹，并求出系统稳定时所对应的K值范围。解：渐近线：??=?60°，180°；??=-2/3；复数极点出射角?63°；分离点：1.6，会合点：-3.43。由图可知系统在任何K
值下都是不稳定的。习题4-7答案图4-8已知闭环系统的特征方程为s2(s?a)?K(s?1)?0。(1)画出a=10时的根轨迹，并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时K的取值范围；(2)确定根轨迹具有一个非零分离点的a值，并画出相应的根轨迹；(3)在(2)中确定的a值下，求闭环传递函数具有二重极点时所对应的K值；(4)画出a=5时的根轨迹。当K=12时，已知一个闭环极点为?s1=?2，问该系统能否等效为一个二阶系统？解：（1）渐近线：??=?90°，??=-4.5；会合点：-2.5，分离点：-4。阻尼振荡时K的取值范围为（0，31.3）（32，∞），呈单调变化时K的取值范围为（31.3，32）
。28习题4-8（1）答案图（2）具有一个非零分离点的a=9
。习题4-8（2）答案图（3）a=9时，闭环二重极点s1,2=-3对应的K=27。（4）渐近线：??=?90°，??=-2；不能等效。画出a=5时的根轨迹。Root LocusImaginary AxisReal Axis习题4-8（4）答案图4-9设单位反馈系统的开环传递函数为Ks(s?a)试绘出K和a从零变到无穷大时的根轨迹簇；当K=4时，绘出以a为参变量的根轨迹。解：令a=0绘制K为参变量的根轨迹如习题4-9答案图之一所示。G(s)?29
习题4-9答案图之一当K取不同值时，绘出a变化的根轨迹簇如习题4-9答案图之二所示。当K=4时，画a
从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示。习题4-9答案图之二4-10设单位反馈系统的开环传递函数为Ks(s?1)(T?s?1)其中开环增益K可自行选定，试分析时间常数Ta对系统性能的影响。解：重做该题。等效开环传递函数T?s2(s?1)'?G(s)??2s?s?K当K?????时，?G(s)?’具有实数极点。取任何正实数Ta系统都是稳定的。选择K=0.1画根轨迹如习题?-??答案图之一所示。G(s)?30Root Locus0.10.0Imaginary Axis-0.0-0.1Real Axis习题????答案图之一当K?????时，?G(s)?’具有复数极点。取K=0.5，1，2，画根轨迹如习题?-??答案图之二所示。当0&K??1时，取任何正实数Ta都是稳定的；当Ta??1时，K&2，否则系统不稳定。0.80.60.40.2Imaginary Axis0-0.2-0.4-0.6-0.8?????
Real Axis31
Root Locus10.80.60.4Imaginary Axi
s0.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1Real AxisRoot Locus1.510.5Imaginary Axis0-0.5-1-1.5Real Axis习题????答案图之二K，H(s)?1。该系统在增益K为任何正值时，均不稳s2(s?1)定。试画出该系统的根轨迹图。利用作出的根轨迹图，说明在负实轴上加一个零点，将G(s)改变为G1(s)，即K(s?a)G1(s)?2(0?a?1)s(s?1)可以使系统稳定下来。解：（1）渐近线：??=?60°，180°；??=-1/3。画出根轨迹如习题?-??答案图之一所示。（2）取a=0.5，渐近线：??=?90°，??=(a-1)/2。画出根轨迹如习题?-??答案图之二所示。从图中可以看出增加开环零点后使得根轨迹向s左半平面弯曲，从而使得闭环系统的稳定4-11设控制系统中G(s)?32
性得到提高。习题?-??答案图之一?????????????????????????????????????习题?-??答案图之二4-12设控制系统开环传递函数为G(s)?K(s?1)，试分别画出正反馈系统和负反2s(s?2)(s?4
馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同。解：负反馈系统：渐近线：??=?60°，180°；??=-5/3；与虚轴交点s=?1.414，K=12。根轨迹如习题?-??答案图之一所示。正反馈系统：渐近线：??=0°，?120°；??=-5/3；根轨迹如习题?-??答案图之二所示。稳定情况的不同：正反馈系统恒不稳定，负反馈系统条件稳定，稳定范围0&K&12。习题?-??答案图之一?????????????????????????????????????????????习题?-??答案图之二4-13已知系统如图4.23所示。画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比??0.707时，系统的单位阶跃响应。33
图4.23习题4-13图解：?=0.707时系统的闭环极点为s1,2=-2?j2，s3=-2。此时，K=2。根轨迹如习题?-??答案图所示。当闭环共轭复数极点呈现阻尼比为0.707时系统的单位阶跃响应为c(
t?-2tcos(2t?45)?习题?-??答案图画一张响应曲线图：求c(t)。已知C(s)?16s(s?2)(s?2?j2)(s?2?j2)34K(s
2?2s?5)4-14系统的开环传递函数为G(s)H(S)?。(s?2)(s?0.5)
(1)绘制系统的根轨迹图；(2)确定系统稳定时K的取值范围；(3)若要求系统单位阶跃响应的超调量为16.3％，确定相应的K值。解：(1)分离点：-0.41，K=0.24；复数零点入射角?200°；与虚轴交点?j1.25。根轨迹如习题?-??答案图所示。(2)稳定时的k的范围是：0.2&K&0.75。(3)单位阶跃响应的超调量为16.3%时K的值为0.311。习题?-??答案图4-15已知系统的信号流图如图4.24所示。且可变系数??０(1)证明该系统实轴以外部分的参数根轨迹为半圆周。(2)完整准确地画出系统的参数根轨迹。(3)以根轨迹为依据，求出满足系统阻尼比??=0.5时的??值。图4.24习题4-15图解：（1）证明略。（2）会合点s=-1；复数极点出射角?180°；根轨迹如习题?-??答案图所示。（3）??=0.5时的??=0.999。35
习题?-??答案图4-16设控制系统如图4.25所示，试概略绘出Kt=0，0&Kt&1，Kt&1时的根轨迹和单位阶跃响应曲线。若取Kt=0.5，试求出K
=∞时的闭环零极点，并估算出系统的动态性能。图4.25习题4-16图解：（1）Kt=0时的根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题?-??
答案图之一所示。习题?-??答案图之一?响应曲线不对已知C(s)?K，请选K=0.5做响应曲线。此时??=0.707。2s(s?s?K)36
（2）0&Kt&1，取Kt=0.5时，根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题?-??
答案图之二所示。习题?-??答案图之二?响应曲线不对已知C(s)?K，请选K=1做响应曲线。2s(s?s?K+0.5Ks)37
（3）Kt&1，取Kt=2时，根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题?-??
答案图之三所示。习题?-??答案图之三?响应曲线重画已知C(s)?K，请选K=1做响应曲线。2
s(s?s?K+2Ks)38（4）闭环极点：-2；闭环零点：无；可等效为一阶系统，时间常数T=0.5。估算系统性能：??%≈0%ts≈3T=1.5s4-17系统结构如图4.26所示。(1)试求当K从0～∞时系统C(s)／N(s)的根轨迹图。(2)若N(s)=1／s，讨论K
值大小对输出响应的影响。图4.26习题4-17图解：（1）复数零点的入射角为0°。K&0特征根为一对共轭复数，系统稳定。根轨迹曲线如习题?-??答案图所示。Imaginary AxisReal Axis习题?-??答案图（2）K值大小对输出响应的影响：K值小时，???大，ts长。5-1某系统的单位阶跃响应为c(t)=1?e?t+e?2t?e?4t，试求系统的频率特性。3s2?8s+83(j?)2?8j?+8解：G(s)?，将s=j?代入，得G(j?)?(s?1)(s?2)(s?4)(j??1)(j??2)(j??4)5-2设系统传递函数为C(s)K(T2s?1)?R(s)T1s?139当输入信号r(t)=Asin?t时，试求系统的稳态输出。
解：系统的稳态输出为Css(t)??t?arctan?T2-arctan?T1)5-3画出下列传递函数的Bode图。T1s?1Ts?1，(T1&T2&0)；(2)G(s)=1，(T1&T2&0)T2s?1T2s?1?T1s?1(3)G(s)=，(T1&T2&0)T2s?1解：答案见胡寿松主编《自动控制原理习题集》Page709，B5-13。(1)G(s)=5-4画出下列传递函数对数幅频特性的渐近线和相频特性曲线。50s(s?s?1)(6s?1)10(s?0.2)8(s?0.1)(3)G(s)=2；(4)G(s)=s(s?0.1)s(s2?s?1)(s2?4s?25)解：对数幅频特性的渐近线和相频特性曲线如习题5-4（1）~5-4（4）答案图所示。(1)G(s)=(2)G(s)=2202；(2s?1)(8s?1)Magnitude (dB)Magnitude (dB)Phase (deg)10-2-4-10-6
-4Phase (deg)-20
-18-27-9-13-1810-36-45101010101010Frequency
d/sec)Frequency
(rad/sec)习题5-4（1）答案图习题5-4（2）答案图40155Magntude (dB)10Magntude (dB)Phase (deg)5-5-10-5
-9-18-27-3610Phase (deg)-19-19-20101010Frequency
)10101010101010Frequency
(rad/sec)习题5-4（3）答案图习题5-4（4）答案图5-5系统开环传递函数如下。试绘制极坐标曲线，并用奈魁斯特判据判别其闭环系统的稳定性。1000(s?1)(1)G(s)H(s)=s2(s?5)(s?15)；(3)G(s)H(s)=(2)G(s)H(s)=250s2(s?50)5(0.5s?1)s(0.1s?1)(0.2s?1)解：(1)稳定；(2)不稳定；(3)稳定。极坐标曲线如习题5-5（1）~5-5（3）答案图所示。第（1）题重做。习题5-5（1）答案图41Nyquist DiagramImaginary AxisNyquist DiagramImaginary Axis-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5RealAxis-0.4-0.3-0.2-0.10
-1-0.8-0.6-0.4-0.20RealAxis0.20.40.6
0.81习题5-5（2）答案图习题5-5（3）答案图5-6给定系统的开环传递函数10s(s?1)(s?2)试绘制系统的极坐标图，并用奈魁斯特判据判断闭环系统的稳定性。解：极坐标曲线如习题5-6答案图所示。Z=2，闭环系统不稳定。
G(s)H(s)＝Nyquist DiagramImaginary AxisReal Axis习题5-6答案图5-7给定系统的开环传递函数42G(s)H(s)＝K(s?1)，K&0s(s?1)
试用奈魁斯特判据判断闭环系统的稳定性。解：极坐标曲线如习题5-7答案图所示。Z=1，闭环系统不稳定。Nyquist Diagram2211Imaginary Axis-1-1-2-2-1-0.500.5Real Axis11.52习题5-7答案图5-8已知系统结构如图5.61(a)所示，其中G1(s)的频率特性如图5.61(b)所示，T&??&０。试用奈魁斯特稳定判据分析该系统的稳定性。（a）图5.61习题5-8图(b)解：G2(s)??s+1Ts?1，Z=2，闭环系统不稳定。此处加一个习题答案图。习题5-8答案图435-9某无源RLC网络如图5.62所示，当???10时，其幅值A=1，相角φ=90?，试求其传递函数G(s)
。图5.62习题5-9图解：G?s??11，如设C=0.1μf，则G(s)?CLs2?RCs?1
10?10s2?0.1s?15-10某单位反馈系统的开环传递函数为Ks(T1s?1)(T2s?1)其中T1=0.1秒，T2=10秒，开环对数幅频特性如图5.63所示。设对数幅频特性斜率为?20dB/dec的线段的延长线与零分贝线交点的角频率为10弧度／秒。试问：(1)系统中K=？(2)剪切频率?c=？(3)系统是否稳定?(4)分析系统参数K，T1，T2变化时对系统稳定性的影响。G(s)H(s)=图5.63习题5-10图解：(1)K=10；(2)?c?1；(3)系统临界稳定，属于不稳定；(4)Κ?，系统稳定性变差。T1，T2减小，对系统稳定性有利，其中T2的减小效果更显著。5-11最小相位系统开环幅频特性如图5.64所示。试求其传递函数，并作出相应的相频特性。44L(ω)(dB)10-20dB/dec
-100.010.1?-20dB/dec+20dB/dec(b)L(ω)(dB)?1(a)L(ω)(dB)-40dB/dec4028-20dB/dec
-20dB/dec?0.512-40dB/dec(c)20-40dB/dec
0.112.5?(d)图5.64习题5-11图解：0.5?2s?1?31.6s(a)G(s)?；(b)G(s)?；(c)G(s)?2s?110s?.5s?1?????(d)G(s)?62.5(s?1)10(s?1)或G(s)?s(s2?1.05s?6.25)??s?2?s??s????2?0.21???1??2.5????2.5???5-12试求图5.65所示具有纯延时环节控制系统稳定时的K?０的范围。图5.65习题5-12图解：稳定范围：0＜K＜1.9。455-13设单位反馈控制系统的开环传递函数：as?1，试确定使相角裕度等于45°的a值s2K(2)G(s)＝，试确定使相角裕度等于45°的K值。(0.01s?1)3(1)G(s)=解：(1)a=0.84；(2)K=2.83。5-14设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?求幅值裕度为20dB时的K值。解：K=1.52，其中?g?0.722。K(s?1)(3s?1)(7s?1)5-15设系统结构如图5.66所示。试用奈魁斯特判据判别系统的稳定性，并求出其稳定裕度。其中K1=0.5，G(s)=2。s?1图5.66习题5-15图解：系统闭环稳定?g?1.5????180?5-16设一负反馈系统的开环传递函数200s(s2?s?100)若使系统的幅值裕度为20分贝，开环放大倍数K应为何值?此时相角裕度为多少??解：开环放大倍数K=0.1相角裕度??90。G(s)=5-17对于典型二阶系统，已知参数?n?3，???0.7，试确定剪切频率?c和相角裕度?。解：G(s)?9，?c?1.944，??65.16?。s(s?4.2)5-18一控制系统的结构如图5.67所示。其中4610(s?1)4.8,G2(s)=8s?1s(s/20?1)试按其闭环幅频特性曲线估算系统的阶跃响应性能指标??％及ts。G1(s)=图5.67习题5-18图解：??％=20%ts=1.17??％=11%ts=2.8第六章习题6-1．解：方法一：原系统的截止频率为44.16rad/s，相稳定裕度为180°-90°-arctan4.416=12.76°截止频率和相角裕度均不满足要求，需加入串联超前校正，选择校正网络的传递函数为Gc(s)?K1?aTs1?Ts取校正后系统的截止频率?c?52rad/s，相角裕度??50?。则?c?由上述3式的1aT，20lgK?10lga?2.6，11??arctana?1?50?a?1a?4.4,T?0.01,K?0.64Gc(s)G(s)?128(0.04s?1)s(0.1s?1)(0.01s?1)校正后系统的截止频率为?c?53rad/s，相角裕度??49.5?，满足要求。方法二：按二阶系统最佳模型设计，设校正后系统的开环传递函数为G(s)?则闭环系统的传递函数为Ks(Ts?1)472?nKK/T?(s)?2?2?22Ts?s?Ks?1/Ts?K/Ts?2??ns??n令K?50，??0.707由2??n?1/T，?n?K/T，得T?0.01。即2Gc(s)G(s)?易验证该校正环节满足要求。，Gc(s)?。s(0.01s?1)40.01s?16-2.解：本题可首先检验系统得性能指标，针对系统在性能上的缺陷并结合校正网络的作用，选用合适的校正网络，再按相应的步骤确定校正网络的参数。（1）根据稳定误差要求，确定系统的K值。Kv?limslimsG(s)?lims?s?0s?Ks(0.4s?1)ess?11??1%K100K求得K?1。（2）利用已确定的K，计算未校正系统的相角裕度。取K?1，则其渐近对数幅频特性可表示为Gc(s)?100s(0.4s?1)100?20lg??L(?)??100?20lg0.04?2?由L(??)?0求得此时系统的相角裕度为(??25)(??25)???50rads?)?26.6??45????180??90??arctan(0.04?c显然，系统在稳态误差满足指标要求的情况下，相角裕度不满足要求。可选用超前校正网络来提高系统的相角裕度，改善系统的动态性能。（3）根据相角裕度的要求，计算超前校正网络的参数。48?m??????(5?~12?)?45??26.6??8??26.4?按照要求的相角裕度45?和未校正系统的相角裕度26.6?计算，超前校正网络应提供18.4?的??处超前相角，但考虑到超前校正会使系统的剪切频率增大，而未校正系统在新的剪切频率?c具有更大的滞后相角，因此需在18.4?相角的基础上增加一些裕量（此处选为8?）。利用（6-13）式可得a?1?sin?m1.44??2.571?sin?m0.56由（6-15）式有??)?10lga?4.1?20lgG(j?c?20lg100?4.12??0.04?c即解得???63rads?c??是校正后系统的剪切频率，它与超前校正网络产生最大超前相角时所对应的注意：?c??上，未校正系统的对数幅频特性应该与超前网络的对数幅频特性大小相频率?m相等。在?c等、符号相反。由（6-14）式有故超前校正网络的传递函数为T?11??0.01s101???caGc(s)?1?aTs1?0.026s?1?Ts1?0.01s（4）验算已校正系统的相角裕度。?)?arcan(0.026?c??)???180??90??arctan(0.04?c??)?47.87??arctan(0.01?c校正后系统的相角裕度满足给定指标要求。校正后系统的开环传递函数为G(s)Gc(s)?100(0.026s?1)s(0.04s?1)(0.01s?1)49校正前后开环系统及校正网络的Bode图如图6-2
所示。图6-26-3.解：当未校正系统在要求的剪切频率附近相频特性负斜率较大，或需要提供的补偿相角较大时，采用一级超前校正满足不了要求，此时可以采用两级或多极串联超前校正方案。其参数确定的方法可参照一般设计步骤进行。（1）根据误差系统的要求，确定开环增益K。Ka?lims2G(s)?lims2s?0s?0K?Ks2(0.2s?1)K?Ka?10（2）根据确定的K值，计算未校正系统的相角裕度。取K?10，则G(s)?10s2(0.2s?1)(??5)(??5)其渐近幅频特性为10?20lg2??L(?)??10?20lg2??0.2????3.16rads?c50?)?0求得由L(?c此时相角裕度?)??32.29????180??90??arctan(0.2?c显然系统是不稳定的。若要求系统的相角裕度??35?，需要用串联超前校正来提高系统的相角裕度。（3）根据相角裕度要求，确定超前校正网络的参数。?m??????(5?~12?)?35??(?32.29?)?12??79.3?其中12?为增加的裕量。考虑到需增加的超前相角较大，可采用二级相同的串联超前校正网络来完成校正任务，每级校正网络所提供的最大超前相角为???m校正网络的传递函数为79.3??40?22?1?aTs?Gc(s)????1?Ts?a?利用（6-13）式可得?1.641?sin?m??4.6?1?sin?m0.35由（6-15）式有??)?2?10lga?13.26?20lgG(j?c???6.13rads，?cT?1?0.076s???ca解得（4）验算已校正系统的性能指标。??)?2arcan(0.35?c??)????180??180??arctan(0.2?c??)?29.3??35??2arctan(0.076?c相角裕度不满足要求，这是因为在确定校正网络的最大超前相角?m时，所增加的裕量较小?和?c??处的相角分别为（为12?）。未校正系统在?c?)??212.3?，G(j?c??)??230.79?(j?c两者相差18.49?，故所增加的裕量应在18?以上才能保证校正后的相角裕度略大于35?。为???6.7rads，T?0.06s，校正网络的传递函数为此将a值增大，取a?6求得?c51?1?0.37s?Gc(s)???1?0.06s??经验算????39??35?，满足要求。校正后系统的开环传递函数为210(0.37s?1)2G??(s)?2s(0.2s?1)(0.06s?1)26-4.解：校正系统时，若性能指标不是以稳态误差、相角裕度和幅值裕度等形式给出的，则可先进性指标换算。换算时可用二阶系统的有关公式或经验公式来近似。换算后再按一般步骤进行校正。（1）将要求的Mr和?r转换成对相角裕度和剪切频率的要求。根据高阶系统谐振峰值Mr与相角裕度?的关系式Mr?1sin?解得??arcsin11?arcsin?45?Mr1.41将系统近似地看成二阶系统，由下列关系式Mr?2???2?1.4?4?4?2?2?r??n?2?2，?c??n求得??0.4，?r??2?2?0.79?n?c0.83?0.83，?c??r?10.5rads?n0.7952以上求得的?和?c即为对系统的相角裕度和剪切频率的要求。（2）计算未校正系统的相角裕度。未校正系统的开环渐近幅频特性为10?20lg?(??4)???(4???20)10?20lg?L(?)??0.25?2??10(??20)?20lg??0.25??0.05?????)?0求得由L(?c此时系统的相角裕度??6.32rads?c?)?arctan(0.05?c?)?14.8????180??90??arctan(0.25?c显然系统不满足相角裕度要求，可用超前相角裕度网络来提高其相角裕度。（3）根据相角裕度和剪切频率的要求，确定超前校正网络的参数。?m??????(5?~12?)?45??14.8??10??40.2?a?由1?sin?m1.65??4.661?sin?m0.35??)?10lga?6.68?20lgG(j?c???12rads，T??c1?0.039s???ca解得超前校正网络的传递函数为Gc(s)?1?aTs1?0.18s?1?Ts1?0.039s（4）验算已校正系统的性能指标。??)?arctan(0.05?c??)?40.2??28?????180??90??arctan(0.25?c不满足相角裕度要求，因此必须对前述的校正方法作适当的修改，重新确定校正网络的参数。53???15?10.5rads，该频率处对应的未校正系统的相角裕度按性能指标要求，选择?c为??)?arctan(0.05?c??)???180??90??arctan(0.25?c?180??90??75.07??36.86???22?则?m??45??(?22)??67?，a?10?12??0.25?c1?sin?m1.92??241?sin?m0.08由求得超前校正网络的传递函数为???14rads，T??c1?0.015s??a?cGc(s)?验算已校正系统的性能指标为1?aTs1?0.36s?1?Ts1?0.015s??)?arcan(0.05?c??)????180??90??arctan(0.25?c??)?arctan(0.015?c??)?47.86??45??arcan(0.36?c经换算可知Mr?Mr?1?1.35?1.4sin???1?1.35由2???2求得??0.41???c??n?4?4?2?2?0.85由求得?n?16.47rads?r??n?2?2?13.42rads?10rads54满足要求的性能指标。校正后系统的开环传递函数为G??(s)10(0.36s?1)s(0.25s?1)(0.05s?1)(0.015s?1)以上分析表明，当按照一般设计方法不能得到满意的校正网络时，可以按设计原理适当改变选择的某些量的值重新设计，直到获得满意的结果为止。设计方法是多种多样的，衡量它是否可行的依据是看系统能否满足所要求的性能指标。6-5.解:：本题说明串联滞后校正的一般步骤和原理。重点是理解和掌握每步的理论依据及具体处理方法。（1）?和相角裕度??。根据开环增益要求确定未校正系统的剪切频率?c取K?10，则未校正系统的开环传递函数为G(s)?其渐近幅频特性为10s(s?1)(0.125s?1)10?20lg????10??20lg2L(?)?????10?20lg0.125?3????)?0解得由L(?c此时系统的相角裕度为(??1)(1???8)??8??3.16rads?c??arctan(0.125?c?)??3.99????180??90??arctan?c未校正系统不稳定。55（2）选取??。根据相角裕度的要求确定校正后系统的剪切频率?c??)??10?，则由（6-16）式有c(j?c???arctan(0.125?c??)?10??31??30?180??90??arctan?c即???arctan(0.125?c??)?49?arctan?c由此得arctan???0.125?c???c?49?2??1?0.125?c解得???0.915rads?c（3）确定滞后校正网络的参数b和T。由（6-17）式得解得由（6-18）式得?20lg10?20lgb???cb?0.09T?1?121s，bT?11s??b?0.1?c1?bTs11s?1?1?Ts121s?1串联滞后校正网络的传递函数为Gc(s)?（4）验算系统的性能指标。校正后系统的开环传递函数为G??(s)?G(s)Gc(s)?此时系统的相角裕度为10(11s?1)s(s?1)(0.125s?1)(121s?1)??)?arctan?c???arctan(0.125?c??)????180??90??arctan(11?c??)?35.8??arctan(121?c满足设计要求。校正前后系统的Bode图如图6-5所示。56
图6-5利用滞后校正网络的高频衰减特性使系统的剪切频率有原来的3.16rads降到0.915rads，提高了系统的相角裕度，同时也使系统的带宽减小，提高了系统的抗干扰能力，但系统的响应速度变慢。为减小滞后校正网络的相交滞后特性对系统相角裕度的影响，应使校正网络的转折频率1??，通常选取远离?cbT1???(0.2~0.1)?cbT这时，滞后网络的相交对系统相角裕度的影响将限制在?10?~?5?的范围以内。??处的相交为对本题，滞后校正网络在?c??)?arctan(11?c??)?arctan(121?c??)??5.2?c(j?c6-6.解：本题主要是学习滞后校正的一般步骤，并掌握全面检验指标的方法。特别是检验幅值裕度的方法。?、相角裕度??和幅值裕度（1）按要求的开环增益确定未校正系统的剪切频率?c57?。20lgKg未校正系统的渐近幅频特性可表示为7?20lg????7?20lg?L(?)????0.5???7?20lg??0.5??0.166?????)?0解得由L(?c??3.7rads?c(??2)(2???6)??6?)?arctan(0.166?c?)??3.2????180??90??arctan(0.5?c由G(j?)?7j?(j0.5??1)(j0.166??1)将其分母有理化，并令ImG(j?)?0，求得???g?3.7rads，20lgKg??1.3dB显然系统不满足指标要求。???c，故可以采用串联滞后校正网络，利用其高频幅值衰减特性降低系统的考虑到?c剪切频率，以增加相角裕度。??。（2）根据相角裕度?剪切频率?c的要求，确定校正后系统的剪切频率?c选取??)??6?，则由（6-16）式有Gc(j?c??)?arctan(0.166?c??)?6??41??40?180??90??arctan(0.5?c即??)?arctan(0.166?c??)?43?arctan(0.5?c58解得满足?c?1rads的要求。???
1.2rads?c（3）确定滞后校正网络俄参数b和T。由（6-17）式得解得由（6-18）式得?20lg7?20lgb???cb?0.17T?1?49s，bT?8.3s??b?0.1?c1?bTs1?8.3s?1?Ts1?49s串联滞后校正网络的传递函数为Gc(s)?（4）验算系统的性能指标。校正后系统的开环传递函数为G??(s)?G(s)Gc(s)?其对应的Bode图如图6-6所示。7(8.3s?1)s(0.5s?1)(0.166s?1)(49s?1)图6-6由图6-8可知，加入滞后校正后，系统在中、高频段的对数幅值在未校正系统对数幅值的基础上下降了20lgb的高度。因此，校正后系统中、高频段的渐近特性可表示为597?20lg?20lgb????7?20lg?20lgb?L??(?)????0.5???7?20lg?20lgb??0.5??0.166????其中b?1，20lgb为负值。(??2)(2???6)(??6)考虑到系统要求的幅值裕度为20lgKg?10dB，因此可按上述渐近特性表达式求出满足幅值裕度要求的最低频率点?1，即令7b?20lg??1???7b20lg?0.5?12?10?L??(?1)????7b?20lg?0.5?0.166?13??解得(?1?2)(2??1?6)(?1?6)?1??2.74rads显然，如果校正后系统在?1处的相角??(j?1)??180????则有?1???，此时校正后的系统必定满足幅值裕度的要求。g（?g为校正后系统的交界频率）因为G??(j?1)?arctan(8.3?1)?90??arctan(0.5?1)?arctan(0.166?1)60?arctan(49?1)??170.5???180?故系统满足要求的幅值裕度。校正后系统的相角裕度为??)?arcan(0.166?c??)????180??90??arctan(0.5?c??)?arctan(49?c??)?43??arcan(8.3?c满足要求的相角裕度。?注意：幅值裕度的计算关键在于求解与180?对应的频率值??g，这要求解复杂的三角方程，采用以上近似分析法，可以避免这种求解过程。6-7.解：设计滞后-超前校正网络时，超前和滞后部分可以分别单独设计。根据性能指标要求，可以先按滞后校正网络的设计方法确定滞后部分的参数，在此基础上，再按超前校正网络的设计方法确定超前校正参数，也可以先确定超前校正参数再确定滞后校正参数。设校正网络的传递函数为Gc(s)?Gc1(s)Gc2(s)?(1?bT1s)(1?aT2s)(1?T1s)(1?T2s)(b?1)其中是滞后校正部分，Gc1(s)?(1?bT1s)(1?T1s)Gc2(s)?(1?aT2s)(1?T2s)(a?1)是超前校正部分。解法一先确定滞后校正参数，再确定超前校正参数。（1）根据误差系统要求，确定开环增益K。Kv?limsG(s)?K?50s?1s?061?和相角裕度??。（2）利用已确定的K确定未校正系统的剪切频率?c系统的开环传递函数为G(s)?其渐近幅频特性为50s(0.1s?1)(0.05s?1)50?20lg????50?20lg?L(?)????0.1???50?20lg??0.1??0.05?????)?0解得由L(?c此时系统的相角裕度为(??10)(10???20)(??20)??21.5rads?c?)?arctan(0.05?c?)??22????180??90??arctan(0.1?c不满足指标要求。??1（?c??1为单独由滞后校正部分（3）根据相角裕度要求，确定校正后系统的剪切频率?c校正后系统的剪切频率）。??1)?arctan(0.05?c??1)?6??40?180??90??arctan(0.1?c即解得??1)?arctan(0.05?c??1)?44?arctan(0.1?c???5.6rads?c（4）确定滞后校正网络的参数b和T1。由解得?20lg50?20lgb??1?cb?0.11262由1??1?0.1?cbT1T1?15.9s??1低于要求值?c，所以应使用超完成滞后校正的系统满足相角裕度要求，但剪切频率?c求得前校正来增大系统的剪切频率。（5）根据剪切频率要求，计算超前校正网络的参数a和T2。使用滞后校正后，系统的开环传递函数为G1(s)?50(1.78s?1)s(0.1s?1)(0.05s?1)(15.9s?1)???10rads，在该频率处未加超前校正网络时系统的相角裕度为选取?c??180??90??arctan(0.1?c??)?arcan(0.05?c??)?2??)?arctan(15.9?c??)?15.6??arcan(1.78?c??40??15.6??24.4??m????2a?1?sin?m1.41??2.41?sin?m0.591T2a?10rads????m??c求得T2?1?0.06s???ca加入超前校正后，被校正系统的开环传递函数为G??(s)?G(s)Gc1(s)Gc2(s)?G(s)Gc(s)?50(1.78s?1)(0.14s?1)s(0.1s?1)(0.05s?1)(15.9s?1)(0.06s?1)（6）验算已校正系统的性能指标。63????c?10radsKv?K?50s?1，?c??)?arcan(0.05?c??)????180??90??arctan(0.1?c??)?arcan(0.06?c??)?arctan(15.9?c??)?arcan(0.14?c??)?39.1??arctan(1.78?c全部满足指标要求。解法二按滞后-超前校正网络的一般设计方法确定校正参数。设校正网络的传递函数为Gc(s)??(1?T1s)(1?T2s)T(1?aT1s)(1?2s)a(a?1)（1）和（2）同解法一，即求得??21.5rads，????22?K?50s?1，?c??和校正网络的参数a。（3）根据指标要求确定校正后系统的剪切频率?c????c?10rads，则选取?c??)??90??arctan(0.1?c??)?arctan(0.05?c??)??161.6?G(j?c??)??6?1(?c则解得?6???m?161.6??180??40??m?27.6?a?1?sin?m1.46??2.71?sin?m0.54a?0.164s???c由（6-20）式得由（6-22）式有T2?（4）估算滞后校正部分的参数T1。64由（6-23）式有??)?arctan(T1?c??)?arctan(aT1?c??)??6??1(?c??(1?a)T1?c?tan(?6?)??0.122??(1?a)T1?cT1?0.62s即解得（5）验算已校正系统的各项性能指标。校正后系统得开环传递函数为G??(s)?G(s)Gc(s)?则50(0.62s?1)(0.164s?1)s(0.1s?1)(0.05s?1)(1.67s?1)(0.06s?1)????c?10radsK?50，?c??)?arcan(0.05?c??)?arctan(1.67?c??)????180??90??arctan(0.1?c??)??arctan(0.164?c??)?40.2??arcan(0.06???)?arctan(0.62?c全部满足性能指标。从本题的两种解法可见，当由于对系统的性能要求较高，需采用滞后-超前校正网络进行校正时，滞后校正部分和超前校正部分可以分别单独进行设计。设计时可以先确定滞后部分的参数，也可以先确定超前部分的参数，一般情况下是先求超前校正参数再求滞后校正参数，以便简化运算。6-8.解：三种串联校正装置的传递函数为s?1（a）10s?10.1s?1（b）0.01s?1(0.5s?1)2(c)(10s?1)(0.025s?1)方案（a）Gc(s)G(s)?400(s?1)s2(0.01s?1)(10s?1)校正前后的对数渐近幅频曲线如图6-8（a）所示，此时?c?6.3rads，65???11.7?，系统不稳定。方案（b）Gc(s)G(s)?400(0.1s?1)s2(0.
01s?1)2矫正前后的对数渐近幅频曲线如图6-8（b）所示，此时?c?38rads，??34?400(0.5s?1)2方案（c）Gc(s)G(s)?2s(0.01s?1)(10s?1)(0.025s?1)矫正前后的对数渐近幅频曲线如图6-8（b）所示，此时?c?10rads，??48.2?方案（c）的稳定裕度量最大。方案（c）对12Hz的正弦干扰消弱10倍左右。??2?f?2?3.14?12rass?75.36rass，图6-8666-9.解：首先将时域指标转换成频域指标，再按期望特性法进行校正，重点是掌握期望特性中频段特性的确定方法及有关公式的使用。（1）由绘制满足稳态性能要求的未校正系统的对数幅频特性20lgG(j?)
。Kv?limsG(s)?100K?1000s?1s?0求得K?10画出K?10时未校正系统的Bode图，如图6-9所示。图6-9??32rads，???180??182???2?由图可知，?c（2）根据性能指标要求绘制期望对数幅频特性20lgG??(j?)。由以下近似关系式?%?0.16?0.4(Mr?1)ts?和?[2?1.5(Mr?1)?2.5(Mr?1)2]?c?%?30%，ts?0.25s，求得67Mr?01.35，?c?36rads1低频段：使20lgG??(j?)与20lgG(j?)重合。中频段：将Mr?1.35，?c?40?36rads代入式（6-25）式、（6-26）式，有?2??cMr?1M?1?10.37rads，?3??cr?69.63radsMrMrh?Mr?1?6.7Mr?1由（6-28）式有中频段上、下限频率及中频段的宽度应该满足上述条件。选取?2?10rads，?3?70rads，过?c?40rads的点斜率为?20dBdec的直线，交?2?10rads和?3?70rads的垂线与C和D点，CD段即为期望特性的中频段。3低频段与中频段的连接：因为低频段与中频段的斜率均为?20dBdec，其连接特性的斜率为?40dBdec。过C点作斜率为?40dBdec的直线，交20lgG(j?)特性的低频段于B，B点对应的频率?1?0.39rads。中频段与高频段的连接：过D点作斜率为?40dBdec的直线交??333rads的垂线于E。5高频段：??333rads的频段内，使20lgG??(j?)与20lgG(j?)特性相一致，即过E点作斜率为?60dBdec的直线。整个期望特性如图6-9种ABCDEF所示。期望特性的转折频率为?1?0.39rads，?2?10rads，?3?70rads，?4?333rads，其剪切频率为?c?40rads，中频段的宽度为h?7。（3）由20lgG??(j?)?20lgG(j?)得串联校正网络的对数幅频特性20lgGc(j?)。68校正网络的对数幅频特性如图6-9所示。其传递函数为Gc(s)?(s?1)(0.1s?1)(2.56s?1)(0.014s?1)（4）验算已校正系统的性能指标。校正后系统的开环传递函数为G??(s)?1000(s?1)(0.1s?1)?s(s?1)(0.003s?1)(2.56s?1)(0.014s?1)s?1)s(2.56s?1)(0.014s?1)(0.003s?1)?显然求得????c?40rads，h?7Kv?1000s?1，?cMr?h?18??1.33H?16?%?0.16?0.4(Mr?1)?29%ts??[2?1.5(Mr?1)?2.5(Mr?1)2]?0.22s???c均满足性能指标。当用期望特性法确定串联校正网络时，有时事先并不知道校正网络的基本形式，只有校正网络的特性画出后，才能看出它是超前、滞后或滞后-超前校正网络。当然，一旦熟悉了这种方法后，又经验的设计者一般都能预先估计出校正网络的形式，有时也能根据原系统的特性，有目的地选择校正网络的形式。6-10.解：本题主要是学习反馈校正方法，理解反馈校正的近似条件及其应用。（1）绘制满足误差系统要求的未校正系统的凯欢对数幅频特性20lgGc(j?)。由结构图6-13可知，G(s)?G1(s)G2(s)?20Ks(1?0.05s)(1?0.005s)69有K?10。画出K?10时未校正系统的对数幅频特性，如图6-10所
20K?Kv?200s?1，示。图6-10（2）根据性能指标要求，绘制期望对数幅频特性20lgG??(j?)。1低频段：20lgG??(j?)的低频段与20lgG(j?)的低频段相重合。○2中频段：要求?○?50?，则Mr?11??1.3sin?sin50?Mr?1?7MrMr?1?53Mr?2??c?3??c70h?Mr?1?7.57Mr?1为使校正网络简单，根据上述关系式及未校正系统特性的形式，选取?2?7rads过?c?30rads点斜率为?20dBdec的直线，低频段交??7rads的垂线于C，高频段交20lgG(j?)特性于D，D点对应的频率为?3?133rads。CD即为期望特性的中频段。3中、低频段的连接：过C点作斜率为?40dB○于B，B点对应的频率为?1?1rads。4高频段：在??133rad○dec的交线，交20lgG(j?)的低频段s的频段内，使20lgG??(j?)与20lgG(j?)重合，中频段与高频段由CD直接连接。作出的期望特性为图6-10中的ABCDE所示，对应的转折频率为?1?1rads，?2?7rads，?3?133rads?4?200rads，?c?30rads，h?19期望特性对应的开环传递函数为G??(s)?200(0.143s?1)s(s?1)(0..005s?1)（3）在图6-10中求出20lgG(j?)?20lgG??(j?)的特性曲线，取其中大于零分贝的那段幅频特性作为20lgG2(j?)Gc(j?)，得到[G2(s)Gc(s)]。求得的20lgG2(j?)Gc(j?)如图6-10所示。为使G2(s)Gc(s)较简单，在图6-10中作出20lgG2(j?)Gc(j?)?0部分在高频段和低频段的延长线（如图中虚线所示），得到G2(s)Gc(s)?s(0.143s?1)(0.05s?1)????c附近20lgG2(j?)Gc(j?)?0的程度。（4）检验局部反馈回路的稳定性?c71计算???3?133rads时，G2(s)Gc(s)所对应的相角裕度：?(?3)?180??90??arctan(0.143?3)?arctan(0.05?3)?101.5?局部反馈回路是稳定的。20lgG2(j?c)Gc(j?c)?20lg基本满足G2(j?)Gc(j?)??1的要求。?c0.143?c?0.05?c?13.4dB（5）根据[G2(s)Gc(s)]确定校正网络Gc(s)。Gc(s)?G2(s)Gc(s)s0.05s?10.05s???G2(s)(0.143s?1)(0.05s?1)20(0.143s?1)应该注意的是，根据反馈校正的近似条件，在20lgG2(j?)Gc(j?)?0的频段内，G2(s)?20(0.05s?1)它的另一个环节1的对数幅值对上述频率范围内20lgG2(j?)Gc(j?)的对数幅(0.005s?1)值没有影响，故可以不予考虑。（6）验算校正后系统的各项性能指标。由于近似条件基本满足，可直接用期望特性来验算。????c?30radsKv?200s?1，?c??180??90??arctan(0.143?c)?arctan?c?arctan(0.0075?c)?arctan(0.005?c)?57.7?满足性能指标要求。从本题的解题过程可见，20lgG2(j?)Gc(j?)?20lgG(j?)?20lgG??(j?)一定是在20lgG(j?)?20lgG??(j?)时才用意义。也就是说，在确定反馈校正网络时，考72虑的频率范围是限定在20lgG2(j?)Gc(j?)?0dB的范围之内，与这个频率范围内的特性无关的环节在设计中可以不予考虑。第5章习题5-yy1.解：知识点窍逻辑推理裕度?。解题过程典型二阶系统频率指标的计算。根据典型二阶系统频率指标的计算的公式来确定所求的截止频率?c和相角由典型二阶系统频率指标的计算的公式可得?c??n?4?4?2?2?3??4?0.74?2?0.72?1.944??arctan2??4?4?2?2?arctan2??n?c?arctan2?0.7?3?65.16?1.9445-yy.解：系统的开环传递函数为G(s)?G1(s)G2(s)?48(s?1)s(8s?1)(s/20?1)G(s)?48(j??1)j?(8j??1)(j?/20?1)截止频率?c??5.8rads，相角裕度??65.23?，则?%??0.16?0.4?????1???1???100%?20%??sin???732??1??1???ts??1??2.5??1?]??1.17s?[2?1.5??????c??sin???sin?????习题7-1根据定义E(s)??e(nT)e?nTs*n?0?试求下列函数的E*(s)和闭合形式的E(z)。(1)e(t)=t；(2)E(s)?1(s?a)2解(1)e(t)=t求解过程可分为以下三个步骤进行：①求e(t)的采样函数e(t)：由e(nT)?e(t)|t?nT?nT,n?0,1,2,?，得斜坡函数e(t)在各采样时刻的值e(nT)。故采样函数为*e*(t)?e(0)?(t)?e(T)?(t?T)???e(nT)?(t?nT)????e(nT)?(t?nT)n?0????nT?(t?nT)n?0②求e(t)的拉氏变换式E(s)：e(t)的拉氏变换式为E(s)****E(s)??e(nT)e*n?0??nTs??nTe?nTsn?0??0?Te?Ts?2Te?2Ts???nTe?nTs????[e?Ts?e?2Ts?e?3Ts???e?nTs??]'??[e?Ts(1?e?Ts)?e?2Ts???e?nTs??]'1?TeTs??Ts?1????e????Ts??Ts?Ts?21?e???e?1?(e?1)③求E(z)：由E(z)?E(s)|*1s?lnzn''，得E(z)?Tz(z?1)2741(s?a)2?at①求e(t)：e(t)?te(2)E(s)?②求e(t)*e(t)??e(nT)?(t?nT),e(nT)?e(t)|t?nT?nTe?anT*n?0??所以e(t)??nTe?anT?(t?nT)*③求E(s)n?0*E(s)??e(nT)e*n?0??nTs??nTe?anT?e?nTsn?0??④求E(s)E(s)?E(s)|*1s?lnzT??nTe?anT?z?nn?0?[(eatz)?1?2(eatz)?2???n(eatz)?n??]Tat?1令(ez)?y，则E(y)?(1?2y?3y2???nyn?1??)yT?(y?y2?y3???yn??)'yT?y?Ty??yT??1?y(1?y)2??at?1将y?(ez)代入上式，可得E(z)为T(eatz)?1Tze?aTE(z)??at?12[1?(ez)](z?e?aT)27-2求下列函数的Z变换X(z)。(1)x(t)?t；(4)x(t)?1?e解(1)X(z)??at'(2)x(t)?cos?t；；(5)x(t)?t?e?at(3)x(t)?t(6)2；x(t)?e?at?sin?tTz(z?1)22(2)X(z)?z(z?cos?T)z2?2zcos?T?1z(z?1)(3)X(z)?T(z?1)3Tze?aT(5)X(z)?(z?e?aT)2(1?e?aT)z(4)X(z)?(z?1)(z?e?aT)eaTzsin?T(6)X(z)?2aT2ez?2zeaTcos?T?17-3求下列拉普拉斯变换的Z变换X(z)。75s?31(1)X(s)?；(2)X(s)?；2(s?1)(s?2)(s?a)解(1)(2)略。(1)X(z)?2zz?z?e?Tz?e?2T1?e?Ts(3)X(s)?2s(s?1)Tze?aT(2)X(z)?(z?e?aT)2(3)①将E(s)展成部分分式，则有1?e?Ts1??111??111??Ts?11E(s)?2?(1?e?Ts)?2??????????2??2?es(s?1)ss1?sss1?sss1?s??????②求每一个部分分式项的Z变换：?Tzzz?E(z)?(1?z?1)????2(z?1)z?1z???Tz?11?(T?1)e?T?(T?1?e?T)z??1???Tz?1z?e(z?1)(z?e?T)1?(T?1)e?T?(T?1?e?T)z?z2?(1?e?T)z?e?T7-4试求下列函数的Z反变换。z；z?0.5z(3)X(z)?；(z?1)(z?2)(1)X(z)?10z(z?1)(z?2)z(4)X(z)?(z?e?aT)(z?e?bT)(2)X(z)?z(5)X(z)?；2(z?1)(z?2)解(1)x(t)??0.5?(t?kT)*kk?0?z2(6)X(z)?(z?0.8)(z?0.1)(2)x(t)?10?(2k?1)?(t?kT)*k?0?(3)x(t)??(?1)(1?2)?(t?kT)*kkk?0??(4)x(t)?*e?aT1?e?bT?(ek?0??akT?e?bkT)?(t?kT)(5)x(t)??(2k?1?k)?(t?kT)*k?0(6)用长除法将E(z)展为761?0.9z?1?0.73z?2?0.585z?3z2?0.9z?0.08)z2?)z2?0.9z?0.080.9z?0.08?)0.9z?0.81?0.072z?10.73?0.072z?1?)0.73?0.657z?1?0.0584z?20.585z?1?0.0584z?2??0.73z?2?0.585z?3??，相应的脉冲序列为e*(t)??(t)?0.9?(t?T)?0.73?(t?2T)?0.585?(t?3T)??相应采样时刻的e(t)值为e(0)?1,e(T)?0.9,e(2T)?0.73,e(3T)?0.585,?所以E(z)?1?0.9z1?8?x(t)???(0.8)n?(0.1)n??(t?nT)??(t)?0.9?(t?T)?0.73?(t?2T)?0.585?(t?3T)??7?n?0?7*??17-5试确定下列函数初值和终值。z2(1)X(z)?(z?0.5)(z?1)z2(z2?z?1)(3)X(z)?2(z?0.8z?1)(z2?z?0.8)解(1)x(0)?1；x(?)?2(2)x(0)?1；x(?)?5(3)由初值定理得z2(2)X(z)?(z?0.8)(z?1)z4?z3?z2x(0)?limx(t)?limX(z)?lim4?1t?0z??z??z?0.2z3?z2?0.36z?0.8*由于X(z)有四个极点，且都位于单位圆内，故由终值定理得z?1z?1z4?z3?z2x(?)?limx(t)?limX(z)?lim4?032t??z?1zzz?0.2z?z?0.36z?0.8*z?17-6求解下列差分方程。(1)c(k?2)?3c(k?1)?2c(k)?r(k)77已知r(t)??(t)，起始条件c(0)?0，c(1)?0。(2)c(k?2)?6c(k?1)?8c(k)?r(k)已知r(t)?1(t)，起始条件c(0)?0，c(1)?0。解(1)因r(t)??(t)，于是有?1,
k?0r(k)???0,
k?0令Z[c(k)]?C(z)，且Z[r(k)]?1，由z变换的实位移定理得Z[c(k?2)]?z2C(z)?z2c(0)?zc(1)Z[c(k?1)]?zC(z)?zc(0)对差分方程两边取Z变换，经整理后有(z2?3z?2)C(z)?1?(z2?3z)c(0)?zc(1)根据初值条件c(0)?c(1)?0代入z变换方程中，得(z2?3z?2)C(z)?1所以C(z)?11?z2?3z?2(z?1)(z?2)求C(z)的Z反变换方法有多种，下面仅用部分分式法求解：因所以C(z)?111z???z2?3z?2(z?1)(z?2)z(z?1)(z?2)c3c1c2C(z)1????zz(z2?3z?2)zz?1z?2求得c1?1/2,c2??1,c3?1/2，故1zz1z1z1zC(z)???????2zz?12z?22z?12z?2得C(z)的反变换为11c(k)??(k)?(1)k?(2)k,k?0,1,2,?2214k(2)c(kT)???2k?1,
k?0,1,2?367-7已知X(z)=Z[x(t)]，试证明下列关系式成立。(1)?z?t?Z?ax(t)?X??；???a?(2)Z?tx(t)???TzdX(z)，式中T为采样周期。dz解(略)。787-8已知系统结构如图7.33所示。T为采样周期，试求系统的输出Z变换C(z)
。(a)图7.33习题7-8图(b)解10(1?e?10T)
z(1)G(z)?G1?G2(z)
?Z[G1(z)?G2(z)]?Z[]?s(s?10)(z?1)(z?e?10T)C(z)?G(z)R(z)11010z2(2)G(z)?G1(z)?G2(z)?Z[G1(s)]?Z[G1(s)]?Z[]?Z[]?ss?10(z?1)(z?e?10T)C(z)?G(z)R(z)7-9试求下列离散系统的输出C(z)表达式。(a)(b)(c)图7.34习题7-9图解(1)由图可求得内回路的闭环脉冲传递函数为?1(z)?由C(z)的计算公式有G1(z)1?G1G2(z)Gf(z)1?G0(z)79C(z)?其中G0(z)??1(z)G3(z)?Gf(z)??1(z)R(z)?故所求系统输出C(z)的表示式为G1(z)?G3(z)1?G1G2(z)G1(z)?R(z)1?G1G2(z)C(z)?Gf(z)1?G0(z)?G1(z)R(z)1?G1G2(z)?G1(z)G3(z)(2)由于所示闭环采样系统中有两条前向通路，因此在求Gf(z)时需将这两条通路都考虑进去。由图求得G0(z)和Gf(z)分别为G0(z)?GhG3G4(z)?G1(z)?G3(z)1?G1G2(z)Gf(z)?R(z)G2G4(z)?RG1(z)?GhG3G4(z)故所求系统输出C(z)的表示式为C(z)?(3)C(z)?RG2G4(z)?RG1(z)GhG3G4(z)1?GhG3G4(z)?D1(z)?D2(z)?GhG1G2(z)R(z)1?D1(z)GkG1G2(z)7-10已知RC电路如图7.35所示，其中r(t)=100eCt，试求其输出c(kT)。解过程略c(kT)?100(1?k)e?kT,
k?0,1,2?7-11已知闭环系统的特征方程为(1)D(z)?(z?1)(z?0.5)(z?2)?0(2)D(z)?z?1.368z?0.4z?0.08z?0.002?0(采用劳斯-赫尔维茨判据)试判断离散系统的稳定性。解(1)系统不稳定；(2)因n=4，有2n-3=5可得朱利阵列的总行数为5行。由D(z)可知a0=0.002,a1=0.08,a2=0.4,a3=C1.368,a4=1。计算朱利阵列中的元素bk和ck如下：432bk?a0anan?kbbn?1?k,k?0,1,2,?,n?1，ck?0,k?0,1,2,?,n?2akbn?1bk80所以a0b0?a4b2?c0?a0a4b0b3a40.0021???
0.999a010.002a20.0020.4???0.399a210.4b3?0.999?0.083??0.991b0?0.083?0.999b1?0..512b1?0.083?0.399b1?b3?c1?a0a4a0a4b0b3a30.002?1.368??1.368a110.08a10.0020.08???0.083a31?1.368b2?0.999?0.399???1.40b1?0.c2?b3根据计算结果可做出如下朱利阵列：行数z0z1z2z3z410.?1.368121?1..0023?0..399?0.0834?0.083?0..99950.991?1.400.512由上述阵列得出三个约束条件为因|a0|?0.002,a4?1，满足|a0|?an?a4；因|b0|?0.999,|b3|?0.083，满足|b0|?bn?1?|b3|；因|c0|?0.991,|c2|?0.512，满足|c0|?cn?2?|c2|。又因为D(1)?1?1.368?0.4?0.08?0.002?0.114?0D(?1)?1?1.368(?1)3?0.4(?1)2?0.08(?1)?0.002?2.69?0因此，朱利判据的稳定条件都得到满足，故该系统是稳定的。即该系统特征方程式没有位于z平面上单位圆上和单位圆外的根。7-12设有零阶保持器的离散时间系统如图7.36所示。试求：(1)K=1，T=1s时，试判断闭环系统的稳定性；(2)当采样周期分别为T=1s及T=0.5s时系统临界稳定的K值，并讨论采样周期T对稳定性的影响；(3)当r(t)=1(t),K=1,T分别为0.1s、1s、2s、4s时，系统的输出响应c(kT)。图7.36习题7-12图解不难求出，系统的开环脉冲传递函数为81?K?(e?T?T?1)z?(1?e?T?Te?T)
G(z)?(1?z)Z?2?K?(z?1)(z?e?T)?s(s?1)??1相应的闭环特征方程为D(z)?1?G(z)?0当T?1s时，有D(z)?z2?(0.368K?1.368)z?(0.264K?0.368)?0令z?(w?1)/(w?1)，得w与特征方程D(w)?0.632Kw2?(1.264?0.528K)w?(2.732?0.104K)?0根据劳思判据易得K?2.4。当T?0.5s时，w域特征方程为D(w)?0.197Kw2?(0.786?0.18K)w?(3.214?0.017K)?0根据劳思判据得K?4.37由于闭环系统脉冲传递函数GB(z)??C(z)G(z)?R(z)1?G(z)K[(e?T?T?1)z?(1?e?T?Te?T)]?T?1)?(1?e?T)]z?[K(1?e?T?Te?T)?e?T]z2?[K(e?T且有R(z)?z/(z?1)，因此不难求出C(z)的表达式。令K?1,T分别为0.1s，1s，2s，4s，可由C(z)的反变换求出C(kT)。由例可见，K与T对离散系统稳定性有如下影响：7-13已知系统结构如图7.37所示，其中K=10，T=0.2s，输入r(t)=1(t)+t+t2/2，试用静态误差系数法求稳态误差。图7.37习题7-13图解静态误差系数法可以看出开环系统为Ⅱ型。因此位置误差系数?1.2z?0.8?Kp?lim[1?G(z)]?lim?1???2?z?1z?1(z?1)??速度误差系数82Kv?lim(
z?1)G(z)?lim(z?1)z?1z?11.2z?0.8??(z?1)21.2z?0.8?0.42(z?1)加速度误差系数Ka?lim(z?1)2G(z)?lim(z?1)2z?1z?1故系统的稳态误差为1TT2e(?)?ess????0.1KpKvKa1，采样周期T=1s，试求r(t)=1(t)s(s+1)时，系统无稳态误差，过渡过程在最少拍内结束的D(z)。7-14已知系统结构如图7.38所示，其中G0(s)=图7.38习题7-14图解由图可知G(s)?G0(s)?111，故??s(s?1)ss?1zz0.632zG(z)???z?1z?e?1(z?1)(z?0.368)1?lim[1??(z)]?0z?11?G(z)D(z)z?1?P(z)?e(?)?lim?1?r??0z?1z??为使在单位阶跃输入下无稳态误差，并能在有限拍内结束过渡过程，有e(?)?lim或所以P(z)?1。从D(z)能实现来看，可得出r的最小数应为1。因为最少拍是指在阶跃信号作用下无稳态误差，因此其闭环传递函数应为?(z)?P(z)1??z?1rzz故，其瞬态过程只要一拍就可以结束。数字控制器D(z)的脉冲传递函数可求得为D(z)?1P(z)11r??G(z)z?P(z)G(z)z?111z?0.368???1.58?0.58z?1z?10.632z(z?1)(z?0.368)83第八章非线性控制系统习题答案8-1解:??f(x,x?)??(3x??0.5)x??x?x2??3x?2?0.5x??x?x2，令由原方程得：?x???x??0，得：x?x2?x(x?1)?0，解出奇点为：x?0,?1。x在x?0处，特征根为：s1,2?0.25?j0.984，显然为不稳定的焦点。在x??1处，特征根为：s1,2?0.5?4.25，显然为鞍点。2
概略画出奇点附近的相轨迹如下：习题8-1相轨迹图8-2解:??x??x?0,x?0x?I：?原方程可改写为：???x??x?0,x?0x?II：??132(稳定焦点)?I：s?s?1?0,s1,2???j系统的特征方程及特征根为：?22?II：s2?s－1?0,s??1.618,?0.618(鞍点)1,2?推导等倾线方程：??x?dx?1????1?，则有：xx??x，即：?dxx1??1?I：???1?,x?0???，画出系统相平面如下：??II：??1?1,x?0???84
习题8-2相平面图8-3由（1）解：相平面上任一点的相轨迹斜率为：???sinxdxx
，???dxx?0dx?，得：x?k?(k?0,?1,?2,?)，dx0因此在相平面的x轴上，x?k?(k?0,?1,?2,?)的点均为奇点。在x轴上满足x?2k?(k?0,?1,?2,?)的所有奇点附近，由泰勒级数展开来验证这类奇点为稳定焦点。在x轴上满足x?(2k?1)?(k?0,?1,?2,?)的所有奇点附近，由泰勒级数展开来验证这类奇点为鞍点。绘制相轨迹如下图所示：习题8-3（1）相轨迹图（2）解：原方程可改写为：???x?0,x?0x?I：???x?0,x?0x?II：?系统的特征方程及特征根为：852??I：s?1?0,s1,2??j(中心点)?2??II：s－1?0,s1,2??1(鞍点)?－1?＝xx,x?0???推导等倾线方程：?，画出系统相平面如下：1?x?＝x,x?0
???习题8-3（2）相轨迹图??x??0，得sinx?0，得出系统的奇点：x?0,??,?2?,?（3）解：令?x当x?2??，k?0,?1,?2,?时，令x?2???x0，可以验证奇点x?2??，k?0,?1,?2,?为中心点。当x?(2??1)?，k?0,?1,?2,?时，令x?(2??1)??x0，可以验证奇点x?(2??1)?，k?0,?1,?2,?为鞍点。1???sinx，相轨迹如下图：相轨迹为：x?习题8-3（3）相轨迹图??f(x,x?)??x??x，令???x??0，得奇点x?0，在奇点处线（4）解：由原方程得：?xx性化，可知该奇点为中心点，概略绘制奇点附近的相轨迹如下图所示。286
习题8-3（4）相轨迹图8-4（1）解，可按教材进行分析，相轨迹图如下所示（图中c??de）：de习题8-4（1）相轨迹图（2）解，可按教材进行分析，相轨迹图如下所示（图中c??de）：de87
习题8-4（2）相轨迹图8-5（1）解：?M,
10e?1?由结构图可得u??0,
?1?10e?1??M,
10e??1????c?,e?r?c?1?c,e???c?,e????c??且有：u?Tc??M,
(1)????e???0,
?0.1?e?0.1
(2)所以：Te?M,
(3)??(0)?0开关线e??0.1，初始状态为：e(0)?1?c(0)?1,e??deM?e???e???M,??在区域①：Te?deTe?de1??e??0,??在区域②：T?edeT??de?M?e???e??M,??在区域③：Te?deTe相轨迹如下图所示：88
习题8-5（1）相轨迹图???e??0知，（2）由图可知，系统稳定，相轨迹与e轴相交于??0.1,0.1?区间的某点，由Te??0,e???0，系统将停止运动，且交点不会落在其它区域，故最大稳态误差：emax?0.1。e1?)8-6解：由图可得出：e?r?(c?c61??)?1
r?(c?c?6?1?????0,
-1?r?(c?c?)?1
(2)由继电器非线性特性，有：c6?1??)??1
r?(c?c?6???18
(4)?6c?c相平面上的开关线方程：???30
(5)?6c?c下面用解析法绘制系统的相轨迹。??9t?c1,c????9，积分有：c在区域①，系统的方程为c?(0)?0，可求得：c1?0,c2?3。由初始条件c(0)??3,c92t?c1t?c2，2??9t,c?区域①的参数方程为：c消去参变量t得：c?92t?3，212??3
(6)c18可知，在区域①内的相轨迹为顶点（－3，0），开口向右的抛物线（见下图），系统相轨迹从A点出发到达B点，进入区域②，B点满足方程(4)和(6)，可解出B点的坐标为（1.5,9）。??c3,c?c3t?c4，据B点的坐标（1.5,9）求???0，积分有：c在区域②，系统的方程为c??9,c?9t?1.5出区域②的参数方程为：c显然区域②的相轨迹是平行于c轴的直线（见下图），系统的相轨迹从B点到达C点，进入区域③，C点的坐标为（3.5,9）。????9,c???9t?9,c??在区域③，系统的方程为c92t?c5t?c6，由C点的坐标（3.5,9）289求出c5?9,c6?3.5，同上得出参数方程，消去参变量t，有：c??12
(7)c18可知，区域③的相轨迹为顶点在（8，0），开口向左的抛物线（见下图），系统相轨迹从C点经D点到达E进入区域②。按此继续下去，绘制相轨迹如下图所示。习题8-6相轨迹图由图知，系统到D点到达峰值，从A点运动D点所需的时间tAD即为峰值时间，220?1)s?s99?(0)??2e；??2时,8.7解:各开关线方程:??0时,e?0；??0.5时,e?(0)??0.5e。etAD?tAB?tBC?tCD?(1?习题8-7相轨迹图由相轨迹可以看出，加入比例微分控制可以改善系统的稳定性，当微分作用增强时，系统振荡减小，响应加快。908.8解(a)N(X)?32X44B(b)N(X)?K??X2(k1?k2)?b?arcsin?(c)N(X)?k2??X??24M?a?b????????(d)N(X)???X??X??X?2b?b?????(X&&b)X?X???2????(X&&b)?????8.9解:(a)2K?b???b?b)2????)2?,X?b??XXXXXX?(b)K?C?KbC?KbC?KbC?Kb2C?KbC?Kb2arcsin?arcsin??()?1?(???KXKXKXKXKXKX,4bCC?Kb?j,X?KX?X28-10解:N(x)?4Mh4MhM?()2?j?N0(X),其中?XXh?X24hh4h?1?X2N0(X)??(2?j(2，则??(?1?j，?XX?XN0(X)4h??1??有：Im?，???N(X)4?0?10(s?1)(Ts?1)3??由图知：G(s)?，令，可得：，ImG(j?)?0??Ts3??1?建立方程：Im?4G(j?)??Im??，可得：T?0.1375N(X)?0?当T&0.1375时,4G(jω)和?4G(jω)和?1无交点,系统不产生自振,但系统不稳定。当T&0.1375时,N(x)1有两个交点A和B,如图所示。系统在B点时自振,在A点时发散，T越大，N(x)自振频率越高，振幅越小。当T=0.24时，系统有稳定的自振。可求得输出振幅：Cx?0.33,??11.9。91
习题8-10相轨迹图习题8-12相轨迹图?18b曲线，无自振就是两曲线五交点，从而求出：a?。N(x)3?2K08.12(1)解：设系统处于稳定自振状态时，线性环节G(s)?的相角迟后135，求s(s?1)8.11解:绘制G(j?)和此时的K，并确定输出端的自振频率与幅值。（2）定性分析当K值增加时，系统输出端自振频率与幅值的变化趋势。88?1??22X?1?j??X?1?j，有：，22N(x)88?X?X2K0线性环节G(s)?，系统在Q点产生自振，此时?G(j?)??135，如下图所示。s(s?1)?2K?Im?G(j?)????8?(1??2)?则有：，由此可得：??1,K?，从而求得：X?2?2K??8Re?G(j?)????8?(1??2)解：（1）由N(x)?2?3.6，自振频率不变为：??1。K（2）当K增大时，由于G(j?)增大，系统自振点Q向后移至Q?，所以系统输出端的自振则输出端的幅值：c?频率与幅值将随之增大。92
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