带电粒子在复合磁场中做匀速圆周运动找圆心方法
带电粒子在复合磁场中做匀速圆周运动找圆心方法 5
知入射角度数求出射角度数。给点图形解释谢谢.
先找到入射点的切线和出射点的切线，在过两点作两切线的垂线，相交的点就是圆心，可以根据入射角的度数找到其他角的度数，即几何相关知识可以求解相关的问题。
带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动一直是高考的热点,并且很多时候都是作为压轴题出现的,同学们对待这种类型的试题常常感到束手无策,主要原因在于不能正确地画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹.而画不出运动轨迹,关键在于不能确定粒子做圆周运动的圆心,事实上,求解带电粒子在匀强磁场的匀速圆周运动的一般步骤可概括为“定圆心,画轨迹,根据几何知识求解”.怎样确定带电粒子在磁场中运动的圆心呢?这里谈一谈确定圆心的几种方法,希望能给同学们一点启迪. 　　 　　一、已知粒子在磁场中的一个点以及该点的速度方向,且半径R确定时,则圆心在洛仑兹力方向上且离该点的距离为R 　　例1. 如图1所示,在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角从原点射入磁场,则正、负电子在磁场中运动时间之比为() 　　A. 1∶2B. 2∶1C. 1∶D. 1∶1 　　解析:因正、负电子的质量、电量、速度和匀强磁场的磁感应强度均为一定值,故正、负电子做圆周运动的半径R=也为一定值,正、负电子所受洛仑兹力方向和速度垂直,在洛仑兹力所在方向上取圆心O1和O2,使得这两点到坐标原点的距离均为R,作出正、负电子的运动轨迹如图2所示,分别与y轴、x轴交于P、Q两点,根据几何知识可得∠OO1P=120°,∠OO2Q=60°,故正负电子在磁场中运动的时间之比为2∶1,B选项正确. 　　 　　二 、已知粒子经过磁场中某两点以及这两点的速度方向,圆心则在这两点的洛仑兹力方向的交点上 　　例2.(2007年宁夏)在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场,磁场的方向垂直于纸面,磁感应强度为B.一质量为m,带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点(AP=d)射入磁场(不计重力影响). 　　(1)如果粒子恰好从A点射出磁场,求入射粒子的速度. 　　(2)如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出,出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ,如图3所示,求入射粒子的速度. 　　解析:(1)由于粒子在P点垂直射入磁场,洛仑兹力沿PA方向,粒子又经过A点,故AP是直径.设入射粒子的速度为v1,由牛顿第二定律得: 　　qBv1=m 　　由上式解得v1=. 　　(2)粒子从P点垂直于AD射入磁场,又从Q点离开磁场,作出两点洛仑兹力的方向交于O′,则O′是粒子在磁场中做圆周运动的圆心,用圆规作出粒子的运动轨迹如图4所示,设QO′=R′. 　　由几何关系得:∠OQO′=φ 　　OO′=R′+R-d 　　由余弦定理得:(OO′)2=R2+R′2-2RR′cosφ. 　　解得R′=. 　　设入射粒子的速度为v,有qvB=m. 　　解出v=. 　　 　　三、已知粒子在磁场中的一个点以及该点速度方向,还有另一点(速度方向未知),圆心则在洛仑兹力方向与这两点连线中垂线的交点上 　　例3.(2001年江苏)如图5所示,在y&0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面并指向纸面外,磁感应强度为B,一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场,入射方向在xOy平面内,与x轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O点距离为L,求该粒子的电量和质量之比q/m. 　　解析:粒子从O点射入磁场,根据左手定则,可知粒子从x轴负方向的P点离开磁场,且OP之间的距离为L,作出OP的中垂线,另作出粒子在O点所受的洛仑兹力方向,洛仑兹力方向与中垂线交点即为粒子做圆周运动的圆心,用圆规作出粒子的运动轨迹如图6所示,由牛顿第二定律可得 　　qv0B=m解得R= 　　由几何关系可得=Rsinθ,联立解得=. 　　 　　四、已知粒子在磁场中的两个点,且半径已知时,则圆心在两点连线的中垂线上,且圆心到这两点的距离为半径 　　例4.(1999年全国)图7中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场,方向垂直纸面向外.O是MN上的一点,从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子,粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇,P到O的距离为L.不计重力及粒子间的相互作用. 　　 (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径; 　　(2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔. 　　解析:(1)设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R,由牛顿第二定律有 　　qvB=m得R=① 　　(2)粒子经过磁场中的OP两点,又半径R已知,则圆心一定在OP中垂线上,且圆心离OP两点的距离 　　均为R,中垂线上的圆心有两个,以O1、O2为圆心画两个半径均为R的圆,分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道,如图8所示.两圆的直径分别为OO1Q1和OO2Q2,在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向,用表示它们之间的夹角.由几何关系可知: 　　∠PO1Q1=∠PO2Q2=θ ② 　　从O点射入到相遇,粒子1的路程为半个圆周加弧长,=R2θ ③ 　　从O点射入到相遇,粒子2的路程为半个圆周减弧长,=R2θ④ 　　粒子1运动的时间t1=T+⑤ 　　其中T为圆周运动的周期.粒子2运动的时间为t2=T-⑥ 　　两粒子射入的时间间隔Δt=t1-t2=⑦ 　　由几何知识有Rcosθ=L得θ=acrcos⑧ 　　由①、⑦、⑧三式得Δt=acrcos. 　　五、已知粒子进入磁场和离开磁场时的速度方向(具体的位置未知),则圆心必在速度夹角的角平分线上 　　例5.(2004年青海、甘肃)一匀强磁场,磁场方向垂直于xy平面,在xy平面上,磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,由原点O开始运动,初速为v,方向沿x正方向.后来,粒子经过y轴上的P点,此时速度方向与y轴的夹角为30°,P到O的距离为L,如图9所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R 　　解析:由于粒子离开磁场的位置未知,但粒子进入磁场和离开磁场的速度方向已知,故可以把速度方向所在直线延长,两直线成一夹角,则粒子做圆周运动的圆心一定在这一夹角的角平分线上,故只要利用圆规作出速度夹角的角平分线,又粒子在磁场中的轨迹的圆心必在y轴上,故角平分线与y轴的交点C即圆心所在位置,以OC为半径作圆,与离开磁场时的速度相切于A点,以OA为半径作圆,即为圆形磁场所在位置,如图10所示. 　　粒子在磁场中受仑兹力作用,做匀速圆周运动,设其半径为r, 　　qvB=m 　　由图中几何关系得L=3r,联立解得B=m. 　　图中OA的长度即圆形磁场区的半径R,由图中几何关系可得R=L. 　　六、若为圆形区域磁场,且粒子沿半径方向射入磁场,则粒子离开磁场时速度的反向延长线必经过圆形磁场的圆心 　　例6.(2006年天津)在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图11所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界的交点C处沿+y方向飞出. 　　(1)判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷; 　　(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B′. 　　该粒子仍以A处相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角,求磁感应强度B′多大?此粒子在磁场中运动所用时间t是多少?
解析:(1)由粒子的飞行轨迹,利用左手定则可知,该粒子带负电荷.粒子由A点射入,由C点飞出,其速度方向改变了90°,则粒子轨迹半径R=r. 　　又qvB=m. 　　则粒子的比荷=. 　　(2)粒子沿半径方向射入磁场,设粒子从D点离开磁场,则粒子离开磁场时速度的反向延长线必过磁场的圆心O′,做出两洛仑兹力方向,其交点为,即为粒子做匀速圆周运动的圆心,如图12所示,粒子飞出磁场速度方向改变60°角,根据几何知识易知 AD弧所对应的圆心角为60°,粒子做圆周运动的半径R′=rcot30°=r. 　　又R′= 　　所以 B′= B 　　在磁场中飞行时间t=T=o=. 　　当然,确定粒子做圆周运动的圆心的方法有很多,但最常见的还是上述几种方法,求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动首先一定要根据题目的已知条件确定圆心,并用圆规画出带电粒子在磁场中的运动轨迹,然后连适当的辅助线,借助几何关系进行求解. 　　针对训练 　　请同学们根据上述确定圆心的方法求解以下各题: 　　1. 电视机的显像管中,电子(质量为m,带电量为e)束的偏转是用磁偏转技术实现的.电子束经过电压为U的加速电场后,进入一圆形匀强磁场区,如图13所示,磁场方向垂直于圆面,磁场区的中心为O,半径为r.当不加磁场时,电子束将通过O点打到屏幕的中心M点.为了让电子束射到屏幕边缘P,需要加磁场,使电子束偏转一已知角度,此时磁场的磁感强度B应为多少? 　　2. 如图14所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出,可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计. 　　3. 如图15所示,在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直档板,其上有一小孔P,现有一质量m=4×10-20kg,带电量q=+2×10-14C的粒子,从小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域.该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板,且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上,粒子重力不计.求: 　　(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径; 　　(2)粒子在磁场中运动的时间; 　　(3)正三角形磁场区域的最小边长. 　　 　　参考答案 　　1. 解析:如图16所示,电子在匀强磁场中做圆周运动,离开磁场时,速度的反向延长线一定通过圆形磁场的圆心,圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点.做a、b点速度的垂线,交点O1即为轨迹圆的圆心. 　　设电子进入磁场时的速度为v,对电子在电场中的运动过程有eU=mv2/2 　　对电子在磁场中的运动(设轨道半径为R)有evB=mv2/R; 　　由图可知,偏转角θ与r、R的关系为tan(θ/2)=r/R; 　　联立以上三式解得B=(1/r)tan(θ/2). 　　2. 解析:粒子进入磁场和离开磁场的速度方向已知(具体位置未知),首先把速度方向所在直线延长,有一交点P,则圆心一定在速度夹角的角平分线上,用圆规做出∠aPb的角平分线,在角平分线上取一点O,以O点为圆心画一个圆,且与速度所在方向相切于M、N点,如图17所示,要求圆形磁场区域的面积最小,很明显,以MN为直径时,磁场圆的面积最小. 　　质点在磁场中作半径为R的圆周运动,有 　　qvB=m得R= 　　在通过M、N两点的不同的圆周中,最小的一个是以MN连线为直径的圆周.所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为: 　　r=MN==R=. 　　3. 解析:此题关键在于把粒子在磁场中的运动轨迹画出来,由于粒子离开磁场后垂直的打在OA面上,故可作出一速度和OA垂直,两速度所在直线成一夹角,则圆心一定在速度夹角的角平分线上,用圆规做出速度夹角的角平分线MN,在角平分线取一点O1做一个圆,且圆与两速度相切于e、f两点,轨迹如图18所示,要求磁场区域面积最小,则磁场边界应与粒子的圆轨道相切,如图三角形abc区域. 　　(1)由qvB=m,T=得: 　　r==0.3m. 　　T==2π×10-5s=6.28×10-5s. 　　(2)由图可知t=T,得 　　t==×10-5s=5.23×10-5s. 　　(3)由几何知识可得:L= 　　L=(+1)==0.99m.
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