求线性代数第五版详解陈维新习题4.6第五题详解

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发表于 14-5-14 17:37:30
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发表于 14-5-15 21:39:36
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发表于 14-5-16 10:16:01
发表于 14-5-16 10:30:07
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发表于 14-5-16 17:06:04
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发表于 14-5-16 19:26:27
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《线性代数》课后习题答案(陈维新)
第一章 行列式
1. 证明：（1）首先证明Q(3)是数域。
因为Q?Q(3)，所以Q(3)中至少含有两个复数。 任给两个复数a1?b13,a2?b23?Q(3)，我们有
(a1?b13)?(a2?b2(a1?b13)?(a2?b2(a1?b13)(a2?b2
3)?(a1?a2)?(b1?b2)33)?(a1?a2)?(b1?b2)3
3)?(a1a2?3b1b2)?(b1a2?a1b2)3
因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
(a1?b13)?(a2?b2(a1?b13)?(a2?b2(a1?b13)(a2?b2
3)?(a1?a2)?(b1?b2)3?Q(3)3)?(a1?a2)?(b1?b2)3?Q(3)
3)?(a1a2?3b1b2)?(b1a2?a1b2)3?Q(3)
如果a2?b23?0，则必有a2,b2不同时为零，从而a2?b23?0。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 a1?b13a2?b23
(a1?b13)(a2?b23)(a2?b23)(a2?b23)
(a1a2?3b1b2)a?3b
(b1a2?a1b2)a?3b
综上所述，我们有Q(3)是数域。 （2）类似可证明Q(
p)是数域，这儿p是一个素数。
（3）下面证明：若p,q为互异素数，则Q(p)?Q(q)。 （反证法）如果Q(p)?Q(q)，则?a,b?Q?p?(
p)?(a?qb)?2abq。
p?a?bq，从而有
由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有2abq?0。 所以有a?0或b?0。
如果a?0，则p?qb，这与p,q是互异素数矛盾。
如果b?0，则有p?a，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。
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贡献者：zbw1991124
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《线性代数》陈维新 浙江大学 课后答案
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