【考点】．【专题】计算题；简易方程．先把分数化成小，据等式性质在方程左右边先同时减22，再同时以0.得解．先根据乘法分配化简，再根据等式的性，在方左右两边时除以得解．【解答】解：//& （-）x=&空格//&/空& 220.5x=26.8&空/格//格//空/&空格&空格/&x+0.x=52&空格/&&空格/&空格//空格格//格//格//空/ 0.5=.8&空格空格//空格空格//空/空/&&/空格空格&空格&/格&&/空/& x=40&空空格/&&&空格&/格/ x=空/空/&&&/空格格/格/&/格&/格/&&&&/空/ 9.6x30%=52&/空/格&/空/&空格//格/&&空格/&空/ x=x-x=&&格&空格& 0.5÷0=4.8÷0.5/格/&&/格/&&/格/&空格/&格//空/&//&空格/ x=×/空/空//空/（1+0.3）x=52/空//&&&/格/&&/格/&&/格/&格&格/格/&=【点评】此题考查了根据式的性质解方程，等式的两边同加、、同一个数或除以同一个不为0的数，式仍成立；注意等号对齐．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：yan2336老师　难度：0.60真题：1组卷：0
解析质量好中差
&&&&，V2.26488（一）：细说贝叶斯滤波：Bayes filters-爱编程
（一）：细说贝叶斯滤波：Bayes filters
认知计算这门课，还要从贝叶斯滤波的基本思想讲起。这一部分，我们先回顾贝叶斯公式的数学基础，然后再来介绍贝叶斯滤波器。
(一). 概率基础回顾
我们先来回顾一下概率论里的基本知识：
1. \( X \):& 表示一个随机变量，如果它有有限个可能的取值\( \{x_1, x_2, \cdots, x_n \} \).
2. \( p(X=x_i) \):表示变量\( X \)的值为 \( x_i \)的概率。
3. \( p(\cdot) \):称为概率质量函数(probability mass function).
&&& 例如：一个家里有3个房间，机器人在各个房间的概率为 \( p(room)=\{0.1, 0.3, 0.6\} \).
4. 如果\( X \)在连续空间取值，\( p(x) \)称为概率密度函数(probability density function)，
$$p (x \in (a,b)) = \int\limits_a^b {p(x)dx} $$
图1. 概率密度函数曲线示例
5. 联合概率：$ p(X=x ~~\textrm{and} ~~Y=y) = p(x,y) $，称为联合概率密度分布。如果$X$和$Y$是相互独立的随机变量，$p(x,y)=p(x)p(y)$。
6. 条件概率：$ p(X=x|Y=y) $ 是在已知$Y=y$的条件下，计算$X=x$的概率。
$$ p(x|y)=p(x,y)/p(y)$$
$$ p(x,y)=p(x|y)p(y)=p(y|x)p(x)$$
&&& 如果$x$和$y$相互独立，则：
$$ p(x|y)=p(x)$$
7. 全概率公式：
& 离散情况下:
$$p(x) = \sum\limits_y {p(x,y)}=\sum\limits_y {p(x|y)p(y)} $$
& 连续情况下：
$$p(x) = \int {p(x,y)\;dy} = \int {p(x|y)p(y)\;dy} $$
(二). 贝叶斯公式
2.1 贝叶斯公式
基于条件概率公式和全概率公式，我们可以导出贝叶斯公式：
$$\begin{array}{c}P(x,y) = P(x|y)P(y) = P(y|x)P(x)\\\Rightarrow \\P(x\,\left| {\,y} \right.) = \frac{{P(y|x)\,\,P(x)}}{{P(y)}} = \frac{{{\textrm{causal knowledge}} \cdot {\textrm{prior knowledge}}}}{{{\textrm{prior knowledge}}}}\end{array}$$
这里面$x$一般是某种状态；$y$一般是代表某种观测。
我们称${P(y|x)}$为causal knowledge，意即由$x$的已知情况，就可以推算$y$发生的概率，例如在图2的例子中，已知如果门开着，则$z=0.5m$的概率为0.6；如果门关着，则$z=0.5m$的的概率为0.3。
我们称${P(x)}$为prior knowledge，是对$x$的概率的先验知识。例如在图2的例子中，可设门开或关的概率各占$50\%$.
${P(x|y)}$是基于观测对状态的诊断或推断。贝叶斯公式的本质就是利用causal knowledge和prior knowledge来进行状态推断或推理。
在图2所示的例子中，机器人根据观测的到门的距离，估算门开或关的概率，若测量到门的距离为$z=0.5m$，则可用条件概率描述门开着的概率：
&&&&& $$P(\textrm{open}|z=0.6) = ?$$
图 2.机器人根据观测计算门开或关的概率
$$\begin{array}{l}P(open|z=0.5) = {\textstyle{{P(z|open)P(open)} \over {P(z)}}}{~~~~\rm{&&&&& &--贝叶斯公式 }}\\= \frac{{P(z|open)P(open)}}{{P(z|open)p(open) + P(z|\neg open)p(\neg open)}}{~~~~\rm{&& &--全概率公式 }}\\= \frac{{0.6 \cdot 0.5}}{{0.6 \cdot 0.5 + 0.3 \cdot 0.5}} = 2/3\end{array}$$
2.2 贝叶斯公式的计算
可以看到贝叶斯公式的分母项${P(y)}$，同${P(x|y)}$无关，所以可以把它作为归一化系数看待：
$$\begin{array}{l}P(x\,\left| {\,y} \right.) = \frac{{P(y|x)\,\,P(x)}}{{P(y)}} = \eta \;P(y|x)\,P(x)\\\eta& = P{(y)^{ - 1}} = \frac{1}{{\sum\limits_x {P(y|x)} P(x)}}\end{array}$$
所以基于causal knowledge和prior knowledge进行条件概率计算的过程如下：
Algorithm:
$\begin{array}{l}\forall x:{\rm{au}}{{\rm{x}}_{x|y}} = P(y|x)\,\,P(x)\\\eta& = \frac{1}{{\sum\limits_x {{\rm{au}}{{\rm{x}}_{x|y}}} }}\\\forall x:P(x|y) = \eta \;{\rm{au}}{{\rm{x}}_{x|y}}\end{array}$
2.3 贝叶斯公式中融合多种观测
在很多应用问题中，我们会用多种观测信息对一个状态进行猜测和推理，贝叶斯公式中是如何融合多种观测的呢？
我们简单推导一下：
$$\begin{array}{l}P(x|y,z){\rm{ = }}\frac{{P(x,y,z)}}{{P(y,z)}}\\= \frac{{P(y|x,z)p(x,z)}}{{P(y,z)}}\\= \frac{{P(y|x,z)p(x|z)p(z)}}{{P(y|z)p(z)}}\\= \frac{{P(y|x,z)p(x|z)}}{{P(y|z)}}\end{array}$$
$$P(x|y,z) = \frac{{P(y|x,z)\,\,P(x|z)}}{{P(y|z)}}$$
2.4 贝叶斯递推公式
由此，我们来推导贝叶斯滤波的递推公式：
$P(x|z_1, \ldots ,z_n) =?$
我们把$z_n$看做$y$，把$z_1, \ldots, z_{n-1}$看做$z$，代入上面的公式：
$$P(x|z_1, \ldots ,z_n) = \frac{{P(z_n|x,z_1, \ldots ,z_{n – 1})\;P(x|z1, \ldots ,z_{n – 1})}}{{P(z_n|z_1, \ldots ,z_{n – 1})}}$$
再由Markov属性，在$x$已知的情况下，$z_n$同$\{z_1, \ldots ,z_{n – 1}\}$无关，所以：
$$\begin{array}{c}P(x|z_1, \ldots ,z_n) = \frac{{P(z_n|x,z_1, \ldots ,z_{n – 1})\;P(x|z1, \ldots ,z_{n – 1})}}{{P(z_n|z_1, \ldots ,z_{n – 1})}}\\=\frac{{P(z_n|x)\;P(x|z1, \ldots ,z_{n – 1})}}{{P(z_n|z_1, \ldots ,z_{n – 1})}}\end{array}$$
从而我们得到贝叶斯的递推公式：
$$\begin{array}{*{20}{l}}{P(x|{z_1}, \ldots ,{z_n})}&{ = \frac{{P({z_n}|x)\;P(x|{z_1}, \ldots ,{z_{n{\rm{ - }}1}})}}{{P({z_n}|{z_1}, \ldots ,{z_{n - 1}})}}}\\{}&{ = {\eta _n}\;P({z_n}|x)\;P(x|{z_1}, \ldots ,{z_{n - 1}})}\\{}&\begin{array}{l}= {\eta _n}\;P({z_n}|x)\;{\eta _{n - 1}}P({z_{n - 1}}|x)P(x|{z_1}, \ldots ,{z_{n - 2}})\\= {\eta _1} \cdots {\eta _n}\;\prod\limits_{i = 1...n} {P({z_i}|x)} \;P(x)\end{array}\end{array}$$
例2：在例1的基础上，如果机器人第二次测量到门的距离仍然为0.5米， 计算门开着的概率。
$\begin{array}{lllll}P(open|{z_2},{z_1}) && = \;\;\frac{{P({z_2}|open)\;P(open|{z_1})}}{{P({z_2}|open)\;P(open|{z_1}) + P({z_2}|\neg open)\;P(\neg open|{z_1})}}\\&& = \;\;\frac{{0.6 \cdot \frac{2}{3}}}{{0.6 \cdot \frac{2}{3} + 0.3 \cdot \frac{1}{3}}}\;\; = \;\;\frac{{0.4}}{{0.5}}\;\; = \;\;0.8\end{array}$
所以，第二次z=0.5m的观测增大了对门开着的概率的置信程度。
(三). 如何融入动作？
在实际问题中，对象总是处在一个动态变化的环境中，例如：
机器人自身的动作影响了环境状态
其它对象，比如人的动作影响了环境状态
或者就是简单的环境状态随着时间发生了变化。
如何在Bayes模型中来描述动作的影响呢?
首先，动作所带来的影响也总是具有不确定性的
其次，相比于观测，动作一般会使得对象的状态更为模糊（或更不确定）。
我们用$u$来描述动作，在$x'$状态下，执行了动作$u$之后，对象状态改变为$x$的概率表述为：
$$P(x|u,x’)$$
动作对状态的影响一般由状态转移模型来描述。如图3所示，表示了“关门”这个动作对状态影响的转移模型。这个状态转移模型表示：关门这个动作有0.1的失败概率，所以当门是open状态时，执行“关门”动作，门有0.9的概率转为closed状态，有0.1的概率保持在open状态。门是closed的状态下，执行“关门”动作，门仍然是关着的。
图3. “关门”动作的状态转移模型
执行某一动作后，计算动作后的状态概率，需要考虑动作之前的各种状态情况，把所有情况用全概率公式计算：
连续情况下：
$$P(x|u) = \int {P(x|u,x')P(x')dx'} $$
离散情况下：
$$P(x|u) = \sum {P(x|u,x')P(x')} $$
例3：在例2的基础上，如果按照图3所示的状态转移关系，机器人执行了一次关门动作， 计算动作后门开着的概率？
$$\begin{array}{lllll}P(open|u) && = \sum {P(open|u,x')P(x')} \\& \,\, = P(open|u,open)P(open)\\& \quad& + P(open|u,closed)P(closed)\\& {\kern 1pt} \; = \frac{1}{{10}} * 0.8 + \frac{0}{1} * 0.2 = 0.08\\\end{array}$$
$$\begin{array}{lllll}P(closed|u) && = \sum {P(closed|u,x')P(x')} \\& \,\, = P(closed|u,open)P(open)\\& \quad& + P(closed|u,closed)P(closed)\\& {\kern 1pt} \; = \frac{9}{{10}} * 0.8 + \frac{1}{1} * 0.2 = 0.92\end{array}$$
所以，执行一次关门动作后，门开着的概率变为了0.08.
(四). 贝叶斯滤波算法
4.1 算法设定
由上述推导和示例，我们可以给出贝叶斯滤波的算法，算法的输入输出设定如下。
1到$t$时刻的状态观测和动作：${d_t} = \{ {u_1},{z_1}\; \ldots ,{u_t},{z_t}\} $
观测模型：$P(z|x)$
动作的状态转移模型：$P(x|u,x’)$
系统状态的先验概率分布$P(x)$.
计算状态的后延概率，称为状态的置信概率：$Bel({x_t}) = P({x_t}|{u_1},{z_1}\; \ldots ,{u_t},{z_t})$
4.2 算法基本假设
贝叶斯滤波的基本假设：
&&&&&&& 1. Markov性假设: $t$时刻的状态由$t-1$时刻的状态和$t$时刻的动作决定。$t$时刻的观测仅同$t$时刻的状态相关，如图4所示：
图4. Markov模型
$p({z_t}|{x_{0:t}},{z_{1:t}},{u_{1:t}})\,\,\, = \,\,\,p({z_t}|{x_t})$$p({x_t}|{x_{1:t - 1}},{z_{1:t}},{u_{1:t}})\,\,\, = \,\,\,p({x_t}|{x_{t - 1}},{u_t})$
&&&&&& 2. 静态环境，即对象周边的环境假设是不变的
&&&&&& 3. 观测噪声、模型噪声等是相互独立的
4.3 Bayes滤波算法
基于上述设定和假设，我们给出贝叶斯滤波算法的推导过程：
$Bel({x_t}) = P({x_t}|{u_1},{z_1}\; \ldots ,{u_t},{z_t})$
$ = \eta \;{\kern 1pt} P({z_t}|{x_t},{u_1},{z_1}, \ldots ,{u_t})\;P({x_t}|{u_1},{z_1},\; \ldots ,{u_t})& ~~~~~~\rm{&—Bayes}$
$ = \eta \;{\kern 1pt} P({z_t}|{x_t})\;P({x_t}|{u_1},{z_1},\; \ldots ,{u_t})~~~~~~\rm{&—Markov}$
$ \!=\! \eta P({z_t}|{x_t})\int {P({x_t}|{u_1},{z_1},\! \ldots ,{u_t},{x_{t - 1}})} P({x_{t - 1}}|{u_1},{z_1}, \ldots ,{u_t})d{x_{t - 1}})~\rm{&—Total Prob}.$
$ = \eta P({z_t}|{x_t})\int {P({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}})} P({x_{t - 1}}|{u_1},{z_1}, \ldots ,{u_t})d{x_{t - 1}})\; \rm{&—Markov}$
$ = \eta P({z_t}|{x_t})\int {P({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}}){\mkern 1mu} } P({x_{t - 1}}|{u_1},{z_1}, \ldots ,{z_{t - 1}})d{x_{t - 1}})\; \rm{&—Markov}$
$ = \eta P({z_t}|{x_t})\int {P({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}})} Bel({x_{t - 1}})\;d{x_{t - 1}}$
其中第一步采用贝叶斯公式展开，第二步使用Markov性质($z_t$仅由$x_t$决定)；第三步使用全概率公式对$x_{t-1}$进行展开；第四步继续使用Markov性质($x_t$仅由$x_{t-1}$和$u_t$决定)；第五步继续使用Markov性质，因为$x_{t-1}$同$u_t$无关，最终得到$Bel(x_t)$的递推公式。
可见递推公式中分为两个步骤，$\int {P({x_t}|{u_t},{x_{t - 1}})} Bel({x_{t - 1}})\;d{x_{t - 1}}$部分是基于$x_{t-1}, u_t$预测$x_t$的状态；$\eta P({z_t}|{x_t})$部分是基于观测$z_t$更新状态$x_t$.
4.3 Bayes滤波算法流程
所以，Bayes滤波的算法流程图如图5所示。如果$d$是观测，则进行一次状态更新，如果$d$是动作，则进行一次状态预测。
图5. Bayes滤波的算法流程
我们看到，在进行状态预测时，需要对所有可能的$x’$状态进行遍历，使得基本的Bayes模型在计算上成本是较高的。
4.3 Bayes滤波算法的应用
Bayes滤波方法是很多实用算法的基础，例如：
Kalman滤波
扩展Kalman滤波
等，我们在下一节介绍Kalman滤波。
[1]. Sebastian Thrun, Wolfram Burgard, Dieter Fox, Probabilistic Robotics, 2002, The MIT Press.
[2]. 王永才，普适计算，Lecture notes.
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