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基于小波变换的图像数据压缩
来源： 联系QQ： 作者： 网学
发布时间： 09/06/28
基于小波变换的图像数据压缩
The research of Wavelet theories have been becoming a new direction of the applied mathematics in resent years, Being used as the mathematics tool, the wavelet has been quickly applied to analyze the image and speech, etc. From the angle of the engineering and experimentation in the MATLAB, the paper has discussed the application of image compression based on the wavelet transformation.&
& Keywords
&MATLAB ; image compression
近十几年来小波理论研究已成为应用数学的一个新方向。作为数学工具，小波被迅速应用到图像和语音分析等众多领域。本文试图基于MATLAB数学分析工具环境下从工程和实验角度出发，较为直观地探讨了小波变换在图像压缩中的应用。&
MATLAB;小波变换;重构;图像压缩 2 &
基于小波变换的图像数据压缩
随着现代信息社会对通信业务要求的不断增长,图像通信与通信网容量的矛盾日益突出。特别是具有庞大数据量的数字图像通信,更难以传输与存储,极大地制约了图像通信的发展,已成为图像通信发展中的“瓶颈”。图像压缩编码的目的就是要以尽量少的比特数表征图像,同时保持复原图像的质量,使它符合特定应用场合的要求。常用的压缩编码形式有:模型基(model - based) 图像编码、金字塔编码、子带编码、小波变换编码、矢量量化编码、人工神经网络编码、数学形态学编码、分形图像编码等等。
小波变换具有空间―频率局部性、方向性、多分辨率性和带宽在对数频率轴上等宽的优点,并与视觉特性接近,所以不仅可以利用统计特性,还可以利用视觉特性来提高编码效率,并且用QMF 和金字塔算法还可以实现图像的正交、无冗余分解。从这些优点看,小波变换是一种很好的图像的分解、表示方法,利用小波变换可以较好地实现图像的变换编码。
传统的变换方法如FFT、DCT等有很多局限性，它们只能提供整个信号全部时间或空间下的整体频域特性，而不能提供任何局部时间或空间段上的频率信息，而图像中的许多重要特征如边缘、纹理等，都是高度局部性的，因此它们在压缩含有这些瞬态和局部性信号分量的图像上性能不佳。此外在信号或图像分析中，有时需要将信号在时域和频域中的特性或图像在空域和频域的特性结合起来分析，例如：我们要了解图像的哪一部分含有较多的高频分量，或者信号某一段频率分布情况等，这都是传统变换方法所无法解决的，小波变换是傅立叶分析发展史上一个新的里程碑，具有时-频局部性，它在频率和位置上都是可变的，非常适合分析瞬态信号。当分析低频信号时，其时窗很大，而分析高频信号时，其时窗很小，这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号的持续时间长的自然规律。在图像编码上，小波变换与人类视觉系统HVS对图像信息的处理过程基本相符，合理的分配量化意味着，可在保持基本相同的图像质量下，得到更低的平均编码比特率。
第一章&&&& 图像压缩技术研究
未来的时代是信息时代，信息需要通过媒体来进行记录、传播和获取。最重要的信息媒体是文字、图像和声音。图像是十分直观和生动的，其内涵非常丰富。但是，由于音频、视频、动画的数据量非常巨大，因此音频数据和视频数据的压缩技术和解压缩技术成了多媒体技术中的关键技术之一。压缩与解压缩问题，尤其是图像压缩与解压缩问题不解决，则多媒体的市场化就得不到保证。
对于图像来说，如果要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩。在同等的通信容量下，如果图像数据压缩后再传输，就可以传输更多的图像信息，结果也就可以增加通信的能力。图像压缩研究就是寻找高压缩比的方法且压缩后的图像要有合适的信噪比，在压缩传输后还要恢复原信号，并且在压缩、传输、恢复的过程中，还要求图像的失真度小，便于图像的分类、识别等。
1.1 图像压缩技术历程
&&& 图像压缩编码技术可以追溯到１９４８年提出的电视信号数字化，到今天已经有５０年的历史了。五十年代和六十年代的图像压缩技术由于受到电路技术等的制约，仅仅停留在预测编码、亚采样以及内插复原等技术的研究，还很不成熟。１９６９年在美国召开的第一届″图像编码会议″标志着图像编码作为一门独立的学科诞生了。到了７０年代和８０年代，图像压缩技术的主要成果体现在变换编码技术上，矢量量化编码技术也有较大发展，有关于图像编码技术的科技成果和科技论文与日俱增，图像编码技术开始走向繁荣。自８０年代后期以后，由于小波变换理论，分形理论，人工神经网络理论，视觉仿真理论的建立，人们开始突破传统的信源编码理论，例如不再假设图像是平稳的随机场。图像压缩编码向着更高的压缩比和更好的压缩质量的道路前进，进入了一个崭新的、欣欣向荣的大发展时期。
1.2 目前常见的压缩方法简介
常用的图像的压缩方法有以下几种：
1、行程长度编码（RLE）
行程长度编码（run-length encoding）是压缩一个文件最简单的法之一。它的做法就是把一系列的重复值（例如图象像素的灰度值）用一个单独的值再加上一个计数值来取代。比如有这样一个字母序列aabbbccccccccdddddd它的行程长度编码就是2a3b8c6d。这种方法实现起来很容易，而且对于具有长重复值的串的压缩编码很有效。例如对于有大面积的连续阴影或者颜色相同的图象，使用这种方法压缩效果很好。很多位图文件格式都用行程长度编码，例如TIFF，PCX，GEM等。
2、LZW编码
　　& 这是三个发明人名字的缩写（Lempel，Ziv，Welch），其原理是将每一个字节的值都要与下一个字节的值配成一个字符对，并为每个字符对设定一个代码。当同样的一个字符对再度出现时，就用代号代替这一字符对，然后再以这个代号与下个字符配对。LZW编码原理的一个重要特征是，代码不仅仅能取代一串同值的数据，也能够代替一串不同值的数据。在图像数据中若有某些不同值的数据经常重复出现，也能找到一个代号来取代这些数据串。在此方面，LZW压缩原理是优于RLE的。
3、霍夫曼编码
　　霍夫曼编码（Huffman encoding）是通过用不固定长度的编码代替原始数据来实现的。霍夫曼编码最初是为了对文本文件进行压缩而建立的，迄今已经有很多变体。它的基本思路是出现频率越高的值，其对应的编码长度越短，反之出现频率越低的值，其对应的编码长度越长。
　　霍夫曼编码很少能达到8∶1的压缩比，此外它还有以下两个不足：①它必须精确地统计出原始文件中每个值的出现频率，如果没有这个精确统计，压缩的效果就会大打折扣，甚至根本达不到压缩的效果。霍夫曼编码通常要经过两遍操作，第一遍进行统计，第二遍产生编码，所以编码的过程是比较慢的。另外由于各种长度的编码的译码过程也是比较复杂的，因此解压缩的过程也比较慢。 ②它对于位的增删比较敏感。由于霍夫曼编码的所有位都是合在一起的而不考虑字节分位，因此增加一位或者减少一位都会使译码结果面目全非。
4、预测及内插编码
基于小波变换的图像数据压缩
一般在图象中局部区域的象素是高度相关的，因此可以用先前的象素的有关灰度知识来对当前象素的灰度进行预计，这就是预测。而所谓内插就是根据先前的和后来的象素的灰度知识来推断当前象素的灰度情况。如果预测和内插是正确的，则不必对每一个象素的灰度都进行压缩，而是把预测值与实际象素值之间的差值经过熵编码后发送到接收端。在接收端通过预测值加差值信号来重建原象素。
　　预测编码可以获得比较高的编码质量，并且实现起来比较简单，因而被广泛地应用于图象压缩编码系统。但是它的压缩比并不高，而且精确的预测有赖于图象特性的大量的先验知识，并且必须作大量的非线性运算，因此一般不单独使用，而是与其它方法结合起来使用。如在JPEG中，使用了预测编码技术对DCT直流系数进行编码，而对交流系数则使用量化＋游程编码＋霍夫曼编码。
5、矢量量化编码
　　矢量量化编码利用相邻图象数据间的高度相关性，将输入图象数据序列分组，每一组m个数据构成一个m维矢量，一起进行编码，即一次量化多个点。根据仙农率失真理论，对于无记忆信源，矢量量化编码总是优于标量量化编码。
　　编码前，先通过大量样本的训练或学习或自组织特征映射神经网络方法，得到一系列的标准图象模式，每一个图象模式就称为码字或码矢，这些码字或码矢合在一起称为码书，码书实际上就是数据库。输入图象块按照一定的方式形成一个输入矢量。编码时用这个输入矢量与码书中的所有码字计算距离，找到距离最近的码字，即找到最佳匹配图象块。输出其索引（地址）作为编码结果。解码过程与之相反，根据编码结果中的索引从码书中找到索引对应的码字（该码书必须与编码时使用的码书一致），构成解码结果。由此可知，矢量量化编码是有损编码。目前使用较多的矢量量化编码方案主要是随机型矢量量化，包括变换域矢量量化，有限状态矢量量化，地址矢量量化，波形增益矢量量化，分类矢量量化及预测矢量量化等。
6、变换编码
　　变换编码就是将图象光强矩阵（时域信号）变换到系数空间（频域信号）上进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是某些特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。由于正交变换的变换矩阵是可逆的且逆矩阵与转置矩阵相等，这就使解码运算是有解的且运算方便，因此运算矩阵总是选用正交变换来做。
　　常用的变换编码有K－L变换编码和DCT编码。K－L变换编码在压缩比上优于DCT编码，但其运算量大且没有快速算法，因此实际应用中广泛采用DCT编码。
7、模型法编码
　　预测编码、矢量量化编码以及变换编码都属于波形编码，其理论基础是信号理论和信息论；其出发点是将图象信号看作不规则的统计信号，从象素之间的相关性这一图象信号统计模型出发设计编码器。而模型编码则是利用计算机视觉和图形学的知识对图象信号的分析与合成。
　　模型编码将图象信号看作三维世界中的目标和景物投影到二维平面的产物，而对这一产物的评价是由人类视觉系统的特性决定的。模型编码的关键是对特定的图象建立模型，并根据这个模型确定图象中景物的特征参数，如运动参数、形状参数等。解码时则根据参数和已知模型用图象合成技术重建图象。由于编码的对象是特征参数，而不是原始图象，因此有可能实现比较大的压缩比。模型编码引入的误差主要是人眼视觉不太敏感的几何失真，因此重建图象非常自然和逼真。
1.3 图像压缩方法分类
从技术上看，图像压缩的途径有两种，一是通过减少图像中各象素相关产生的冗余来减少待传输或存储的数据总量，例如利用离散余弦变换(DCT)减少数据间的相关性，然后保留其中的主要分量，从而减少数据量。二是根据数据动态范围及其出现的频繁程度，确定适当的编码方案，通过适当安排不同数据所占编码比特数，来减少所需总比特数达到压缩的目的。
数据压缩技术有多种不同的分类方法。一种是按照压缩过程的可逆性进行分类，可分为熵压缩（Entropy Compression）和冗余度压缩（Redundancy Reduction）两种。熵压缩是所谓的不可逆压缩，即在压缩过程中，会失掉一部分信息，因此熵压缩又称为有损压缩，它是以丢掉部分信息为代价而获得相应的压缩效果的。当然，为确保还原后的数据能基本保持原数据的特征，这种丢弃部分信息造成的失真，应限制在某个规定的范围之内；从另一角度讲，这种把失真限制在某一允许限度内，可使图像编码达到更高压缩比的压缩编码，又称为率失真编码或限失真编码。熵压缩技术主要用于图像和语音数据压缩。冗余度压缩是可逆压缩，冗余度压缩的机理是完全或尽量除去原数据中冗余的部分，而保证不丢失其中的任何信息，从而被压缩了的数据还原后与压缩前的数据完全一致。因此，可逆压缩又称为无失真压缩，这种压缩编码方法主要用于文本、文件等不允许出现任何数据失真的场合。
常见的图像文件：
MPEG－运动图像压缩编码
MPEG(Moving Pictures Experts Group)标准分成两个阶段:第一个阶段(MPEG-I)是针对传输速率为 lMb/s到l.5Mb/s的普通电视质量的视频信号的压缩;第二个阶段(MPEG-2)目标则是对每秒30帧的720x572分辨率的视频信号进行压缩;在扩展模式下，MPEG-2可以对分辨率达高清晰度电视(HDTV)的信号进行压缩。但是MPEG压缩算法复杂、计算量大，其实现一般要专门的硬件支持。
MPEG视频压缩算法中包含两种基本技术:一种是基于l6x16子块的运动补偿技术，用来减少帧序列的时域冗余;另一种是基于DCT的压缩，用于减少帧序列的空域冗余，在帧内压缩及帧间预测中均使用了DCT变换。运动补偿算法是当前视频图像压缩技术中使用最普遍的方法之一。
PCX－是历史最悠久的图像文件格式。采用RLE（行程长度编码）压缩原理。
BMP－WINDOWS的基本图像文件格式。图像数据处理方式有压缩和不压缩两种，压缩方式采用的也是RLE压缩原理。
GIF－采用LZW压缩原理为基础压缩图像数据，能够有效的压缩文件容量。
TIFF－排版和图像扫描仪常用的图像文件格式。其文件内部运用指针功能，建立了一个开放式的架构，可以包含多种不同的识别信息和压缩方式。JPEG就是其中的一种。
ＪＰＥＧ算法：ＪＰＥＧ是Ｊｏｉｎｔ Ｐｉｃｔｕｒｅ ＥｘｐｅｒｔＧｒｏｕｐ的缩写，即联合图像专家组。ＪＰＥＧ算法中首先对图像进行分块处理，再对每一块进行二维离散余弦变换（ＤＣＴ），变换后的系数基本不相关，且系数矩阵的能量集中在低频区，通过保留低频部分系数，去掉高频部分系数，从而达到压缩目的。余弦变换是经典谱分析的工具，它考察的是整个时域过程的频域特征，或者整个频域过程的时域特征，该算法具有较强的块内去相关能力，适于较平坦块的压缩。它的缺点是没有利用图像中局域间的相关特性，在压缩倍数高时，恢复图像出现明显的方块效应。
& ＪＰＥＧ２０００：ＪＰＥＧ２０００是由ＩＳＯ／ＩＥＣ ＪＴＣ１ ＳＣ２９标准化小组负责制定的全新静止图像压缩标准。一个最大改进是它采用小波变换代替了余弦变换。小波变换是现代谱分析工具，它既能考察局部时域过程的频域特征，又能考察
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局部频域过程的时域特征，用ＪＰＥＧ２０００几何算法在高压缩比下跟传统的ＪＰＥＧ压缩方式相比，图像质量并没有明显降低。来自ＲＡＰＨＬＥＶＩＥＮ于２０００年三月所做的对比测试报告表明：在中度与低度的压缩比率下，传统的ＪＰＥＧ表现得非常出色。但是在较高的压缩比率之下，传统的ＪＰＥＧ压缩方式就不那么令人满意了。与传统ＪＰＥＧ压缩方式对比，在较高压缩比率下，ＪＰＥＧ２０００的表现更为优秀。
& 分形编码：分形（Ｆｒａｃｔａｌ）是Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在１９７７年提出的几何学新概念。Ｆｒａｃｔａｌ来自拉丁文Ｆｒａｃｔｕｓ意为″碎片″。分形压缩的基本原理是利用分形几何中的自相似性原理来进行图像压缩。所谓自相似性就是指无论几何尺度如何变化，景物的任何一小部分的形状都与较大部分的形状极其相似。与ＤＣＴ不同，分形编码利用的″自相似性″不是邻近样本的相关性，而是大范围的相似性，即图像块的相似性。对相似性的描述是通过仿射变换来确定的，而编码的对像就是仿射变换的系数。由于仿射变换的系数的数据量小于图像块的数据量，因此可以实现压缩的目的。分形压缩编码是不对称的，即它的编码时间比解码时间要长得多，主要是因为区块匹配耗时太长。
& 小波变换用于图像压缩：小波变换的理论是近年来蓬勃兴起的新的数学分支，它是继１８２２年法国人傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的发展，解决了很多傅立叶变换不能解决的问题。傅立叶变换虽然已经广泛地应用于信号处理领域，较好地描述了信号的频率特性，取得了很多重要的成果，但傅立叶变换却不能较好地解决突变信号与非平稳信号的问题。小波变换可以被看作是傅立叶变换的发展，即它是空间（时间）和频率的局部变换。与傅立叶变换一样，小波变换的基本思想是将信号展开成一族基函数之加权和，即用一族函数来表示或逼近信号或函数。这一族函数是通过基本函数的平移和伸缩构成的。小波变换用于图像编码的基本思想就是把图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图像，然后再对子图像进行系数编码。系数编码是小波变换用于压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。根据Ｓ．Ｍａｌｌａｔ的塔式分解算法，图像经过小波变换后被分割成四个频带：水平、垂直、对角线和低频，低频部分还可以继续分解。图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩，是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中于低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。低频部分可以称作亮度图像，水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。对所得的四个子图，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。人眼对亮度图像部分的信息特别敏感，对这一部分的压缩应尽可能减少失真或者无失真，例如采用无失真ＤＰＣＭ编码；对细节图像可以采用压缩比较高的编码方案，例如矢量量化编码，ＤＣＴ等。
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第二章 小波变换概论
2.1小波分析的发展史
自从1822 年傅里叶（Fourier）发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或分辨能力），也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。相反，当一个函数用δ 函数展开时，它在时间域的定位是完全准确的，而在频域却无任何定位性（或分辨能力），也即δ 函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。实际中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节；探地信号，在不同目标出现的位置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅里叶分析和δ 分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号，一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。
为了研究信号在局部时间范围的频率特征，1946 年Gabor 提出了著名的Gabor 变换，之后又进一步发展为短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，简记为STFT，又称为加窗傅里叶变换）。虽然STFT 已在许多领域获得了广泛的应用，但由于STFT 的本身特点决定了其窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因此，我们希望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号采用大时间窗进行分析，这种变时窗的要求同STFT 的固定时窗的特性是相矛盾的，这表明STFT 在处理这一类问题时已不在实用了。
小波分析（Wavelets Analysis）是近年迅速发展起来的新兴学科，具有深刻的理论意义和广泛的应用范围。小波分析是一种信号的时间――尺度（时间――频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬变反常信号并分析其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。由于小波具有多分辩分析的能力，可以对信号和图像在不同尺度上进行分解，在小波域进行去噪、压缩处理后，作反变换得到去噪和压缩后的信号和图像。小波分析用于非平稳信号和图像的处理优于传统的傅里叶变换已被许多应用领域的事实所证实。因此，自小波分析诞生到现在不过10 年的时间，就在诸如地球物理勘探、信号信息处理、图像处理、语音分割与合成、故障诊断、雷达信号分析等取得了很佳的应用效果。
小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，最早应属1910 年Haar提出的规范正交基，这是最早的小波基，但当时并没有出现“小波”这个词。1936 年Littlewood 和Paley 对傅里叶级数建立了二进制频率分量分组理论，对频率按二进制进行划分，其傅里叶变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。1946年Gabor 提出的加窗傅里叶变换（或称短时傅里叶变换）对弥补傅里叶变换的不足起到了一定的作用。后来，Calderon、Zygmund、Stern 等将L-P 理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论；1965 年Calderon 发现了再生核公式，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到一个正交系的结论。1981 年，Stormberg 对Haar 系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1982 年Battle 在构造量子场论中采用了Calderon 再生核公式的展开形式。
小波概念的真正出现应算于1984 年。法国地球物理学家J.Morlet 在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展开。随后，他与A.Grossman 共同研究，发展了连续小波变换的几何体系。1985 年，法国的大数学家Meyer 首先提出了光滑的小波正交基,对小波理论做出了贡献。1986 年，Meyer 及其学生Lemarie 提出了多尺度分析的思想。1987 年Mallat 将视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辩分析的概念，统一了在此之前的所有正交小波基的构造，并提出了相应的分解与重构快速算法。1988 年，年轻的女数学家Daubechies I.提出了具有紧支集的光滑正交小波基――Daubechies 基，为小波的应用研究增添了催化剂，同年， Daubechies I.在美国主办的小波专题讨论会上进行了十次演讲，引起了广大数学家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。
2.2 小波变换理论及其性质
函数f ( t) 的连续小波变换涉及到一个母小波ψ( x) ,母小波可以是任何满足下列特性的实的或者实复的连续函数。
(1)&&& 函数曲线下的总面积为零,即
若无法显示请联系QQ3710167&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2-1)
(2) 的总面积为有限值,即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&(2-2)
这个条件意味着小波平方的积分必须存在,也可以说小波必须平方可积, 或者说它属于平方可积函数集。一旦选定了小波ψ( t) ,则可以定义连续的小波变换为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2-3)
式中: a 为尺度(或伸缩) 参数; b为平移参数。a >1 为拉伸小波,而0 < a < 1 时为收缩小波。现实生活中所产生和分析的信息都是离散的,以数而不是以连续函数的形式出现,所以实际应用的都是离散小波变换而不是连续小波变换,f ( t) 的离散小波变换定义为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2-4)
式中:。离散小波变换的性能在很大程度上取决于尺度因子和时移的选择,以及小波的选择。小波要受测不准原理的支配。测不准原理的一个重要的结论是不可能同时在时间域和频率域都获得很好的局部化特征。对此,小波为我们提供了一个折衷方案或者是一个最优化的解,这是小波分析优于传统变换方法的一个特征。要构造一个小波函数ψ( x) , 首先应使它满足容许性条件
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2-5)
式中:ψ是ψ的傅里叶变换。容许性条件保证了连续小波逆变换的存在。对于小波函数ψ( x) 而言, 除了要满足容许条件以外,针对具体问题还有许多性能上的要求,
这也导致了小波具有以下的一些主要特征。
基于小波变换的图像数据压缩
(1)&&& 正交性。对于正交小波,它对应一正交镜像滤波器组,即低通滤波器h0 ( n) 和高通滤波器,g0 ( n) 满足 &,且 δ 。
正交性可以去除相关性,且保证精确的重建图像。
(2) 紧支集。如果尺度函数和小波是紧支撑的,则滤波器h0 ( n) 和g0 ( n) 是有限冲激响应滤波器,这也意味着其冲激响应h0 ( n) 和g0 ( n) 是有限长度的,快速运算中的运算是有限的。对于非紧支撑小波,则希望其快速衰减,使其滤波器能与FIR 有效近似。
(3) 光滑性。由于图像的大部分(除少数边缘外) 是光滑的,因而小波的光滑性对压缩应用很重要。压缩通常将小的系数舍去,即量化为零,若小波不太光滑,则误差比较明显。
(4) 对称性。若尺度函数与小波对称,其滤波器将具有线性相位,这样它在形成金字塔形数据结构时不需要相位补偿就能精确重建图像。遗憾的是,研究表明不存在具有完美重建质量的正交的有限脉冲响应线性滤波器。
(5) 双正交性。为解决正交性、对称性和紧支性的矛盾,Cohen 等人引入了双正交小波。相应的合成滤波器的低高通冲激响应为h1( n) 和g1( n) ,则双正交性表现为以下的等式。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& δ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2-6)
双正交小波降低了对正交性的要求,保留了正交小波的一部分正交性,使之可以达到线性相位和滤波器冲激响应较短的要求,易于提高运算速度。
(6) 消失矩。若小波函数ψ( x) 满足式
&& ,即ψ(ω) 在零点的0 阶至k - 1 阶导数为零,则称ψ( x) 的消失矩为k 。消失矩决定了逼近光滑函数的收敛速度,与小波的光滑性也有关。对于光滑的图像,消失矩越大会导致小波系数越小,压缩比就有可能提高;而对不光滑的图像,将会有更大的小波系数,不利于编码。
2.3图像的小波变换
图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等,即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩,是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性,表现在图像的能量主要集中于低频部分,而水平、垂直和对角线部分的能量则较少;水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息,具有明显的方向特性。低频部分可以称作亮度图像,水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。对变换后所获得的4 个子图,根据人的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。小波作为一个函数,它的平移伸缩系用于可测平方可积空间L2 ( R) 的展开,是由Grossman 和Morlet 首先引入的。小波变换的主要思想,是在不同的尺度上分析函数。我们用母小波构造不同尺度的小波,然后相对于被分析的函数进行平移。平移的结果决定于小波与被分析函数匹配的程度,不同尺度(或分辨率) 的小波得到不同的结果。由Stephane Mallat 和Yves Meyer 引出的多分辨分解的原理,是将所有给定尺度的小波变换系数放在一组,显示它们叠加的结果,并在所有的尺度上重复这一过程。Daubechies 基于离散滤波器迭代方法构造了紧支集规范正交小波基,将在那时之在像的小波分解与合成过程中,边界的处理也显得较突出。由于传统的小波变换是定义在
双边无界的区间上,而实际的信号或图像都是有界的,因此必然涉及到边界的延拓问题,不同的延拓方式会带来不同的结果。从理论上讲,最合理的延拓应该是将信号当作周期信号,即周期延拓。但周期延拓必然造成图像边界效应,反映在分解系数上为分解系数在边界处呈现假的突跳大系数,在后期的编码中对它分配过多的码字,降低了编码的效率。实验证明在进行卷积滤波之前先进行图像数据边界的对称延拓可减少边界失真。
基于小波变换的图像数据压缩
第三章 小波变换思想及其特点
3.1小波变换用于图像压缩的基本思想
小波变换用于图像压缩的基本思想是:把图像进行多分辨率分解,分解成不同空间、不同频率的子图像,然后再对子图像系数进行编码。系数编码是小波变换用于图像压缩的核心,压缩的实质是对系数的量化压缩。图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据总量相等,即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩,是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性,表现在图像的能量主要集中在低频部分,而水平、垂直和对角线部分的能量则较少;水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息,具有明显的方向特性。低频部分可以称为亮度图像,水平、垂直和对角线部分可以称为细节图像。对所得的4 个子图像,根据人类视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。人眼对亮度图像部分的信息特别敏感,对这一部分的压缩应尽可能减少失真或者无失真。
3.2 运用小波变换进行图像压缩的优点
(1) 小波变换是介于函数的时间域(或空间域) 表示和频率域表示之间的一种表示方法,小波函数在空间域和频率域均有良好的局部性,从而能在变换域反映出图像的局部细节,这是一般频率域表示法无法做到的。小波变换的这一特性和人的有限视觉特性很相似,这个特性和Gabor 变换也很相似,但小波变换在整体上性能更好。尽管小波变换的局部性没有Gabor 变换好,但它是由正交基构成的,分解和重构更方便一些。
(2) 离散小波变换可用金字塔算法逐层分解实现,其性能优于拉普拉斯金字塔编码和子带编码。
①小波分解是非冗余的,分解完成后的总数据量不会变大。从这点看,小波变换比拉普拉斯金字塔法更好。
②小波分解后各分量是相互正交的,而拉普拉斯金字塔分解是相关的,子带变换中各带尽管也正交,但性能不如小波好。小波变换的这两条优点有利于对图像数据的特性进行分析。因为分解是正交的,若分解后的不同分辨率下的分解系数有相似性,则原始数据必定含有内在的自相似性,从而可以利用这一特性,采用分形等方法对图像进行分析和处理。相反,如果采用拉普拉斯金字塔算法,由于分量间的相关性,即使发现各分量间有相似性,也不能判断出这种相似性是源于原始数据本身的自相似性,还是需去除的由于分解的冗余性而形成的相似性。
③小波变换具有方向性,这一点也比拉普拉斯金字塔方法更好。人眼对不同方向的高频分量具有不同的分辨率,若对分解出的不同方向的细节分量分别加以编码,就能充分利用这一视觉特性,编码效率更高。
④用2j 分辨率分解得到的各细节信号Dε2jf (ε = 1 ,2 ,3) 都是带通分量,通带在[2jπ,2j+1π] 及其负方向的镜像之间。随着j 从- 1 递减,各分辨率的细节信号的相对带宽在对数频率轴上相等。这一特性也和人的视觉特性接近。
(3) 小波分解可用QMF 来实现。这点和子带编码很相近,但小波变换在恢复时仍用H、G,且不同层不变,比较划一。子带变换则比较灵活,允许综合滤波器和分析滤波器不同,且不同层之间滤波器也可变换。
基于小波变换的图像数据压缩
第四章基于小波的图像压缩过程
利用小波变换对图像数据进行压缩的理论过程主要分为以下几两个步骤:
①利用二维离散小波变换对图像分解为低频分量即高频细节分量;
②对所得到的低频分量即高频细节分量,根据人类的视觉生理特性分别作不同策略的量化与编码处理。例如,对于低频分量采用快速余弦变换,熵编码方法进行压缩。对于高频细节分量可以采用量化,去掉人眼不敏感的高频成分并结合熵编码方法的压缩方法。然后可根据情况采用不同的小波函数,进行索引图像的分解压缩。
4.1 图像分解过程
对于一个图像的二维小波变换如图4.1 所示。二维多分变分解可分两部进行，先对x 方向分别用φ(x)和ψ(x)作分析，把f(x,y)分解成平滑逼近和细节这两部分，然后对这两部分再沿y 方向分别用φ(y)和ψ(y)作类试的分析。这样得到的四路输出中经φ(x)φ(y)处理所得的一路是f(x,y)的第一级平滑逼近 f(x,y)；其余三路输出 &(H)f(x,y)， &(V)f(x,y)， &(D)f(x,y)都是图像的细节部分。对 f(x,y)可进一步作同样的处理，得到图像的二级三级等分解结果。图4.2是三级二维小波变换的结果示意图。一幅图像经一级小波变换后形成四个子图像分别为：LL1、LH1、HL1、HH1，对其中的低频部分LL1 继续分解作二级小波变换，形成LL2、LH2、HL2、HH2 四个子图，而高频部分LH1、HL1、HH1 保持不变。对低频部分LL2 作三级小波变换形成LL3、LH3、HL3、HH3 四个子图等等。若无法显示请联系QQ3710167
图4－1 二维可分离小波图像分解
图4－2三级二维小波变换结果示意图
4.2压缩过程概述
一幅图像的变换编码压缩过程如图4.3所示。小波变换的目的是对图像作解相关处理，如果不考虑计算误差，该过程是无损的和可逆的；解相关后的图像在变换域形成一系列小波系数，经对其进行整数量化后编码形成码流下传。量化过程是有损和不可逆的，图像的失真主要是该过程产生的。图像的解码恢复过程是图4.3 的逆过程，如图4.4 所示。一幅图像经过图4.3 和图4.4 的处理过程后，得到的恢复图像是有一定压缩的有损图像。在整个处理过程中压缩是由量化过程和编码过程产生的，量化方法的选择和量化效果的好坏直接影响最终图像的压缩效果。较为常用的量化方法有标量量化、线性量化、矢量量化、低频子带和高频子带采用不同量化方法的混合量化编码方法。
若无法显示请联系QQ3710167
图4-4 小波变换逆过程
4.3小波变换和逆变换过程
图4.5 表示的是，一幅图像 经二维小波变换把尺度为j 的低频部分分解为尺度j+1 的低频部分和三个方向（水平、垂直、斜线）的高频部分。其中H0、H1 分别表示分解的低通和高通滤波器。如果对尺度j+1 的低频部分Aj+1 按照同样的方法处理，而保持三个方向的高频部分不变，则可得到图像的多尺度分解结果。图4.6 表示的是图4.5 的逆过程，其中G0 和G1 分别表示的是合成的低通和高通滤波器。
图4－5 二维小波变换过程
图4－6二维小波变换逆过程
基于小波变换的图像数据压缩
第五章 应用小波变换进行图像压缩的Matlab 实现
Matlab 小波分析工具箱集成了小波分析的许多研究成果,不仅提供了丰富的工具函数,还是一个很好的算法研究、工程设计与仿真应用平台.一般图像数据间存在着各种数据信息的冗余,而数据冗余不利于图像信息的网上实时快速传输和大量存储,图像压缩可解决这个问题. 小波变换用于图像压缩具有压缩比大、压缩速率快和压缩后保持图像特征基本不变等特点,因此小波变换被广泛用于图像压缩. 小波变换图像压缩方法有变换压缩与相邻像素去相关压缩之分.
5.1MATLAB简介
MATLAB 产品家族是美国 MathWorks公司开发的用于概念设计,算法开发,建模仿真,实时实现的理想的集成环境。由于其完整的专业体系和先进的设计开发思路，使得 MATLAB 在多种领域都有广阔的应用空间，特别是在 MATLAB 的主要应用方向 ― 科学计算、建模仿真以及信息工程系统的设计开发上已经成为行业内的首选设计工具，全球现有超过五十万的企业用户和上千万的个人用户，广泛的分布在航空航天，金融财务，机械化工，电信，教育等各个行业。 &&&&&&
& 在MATLAB产品家族中，MATLAB工具箱是整个体系的基座，它是一个语言编程型（M语言）开发平台，提供了体系中其他工具所需要的集成环境（比如M语言的解释器）。同时由于MATLAB对矩阵和线性代数的支持使得工具箱本身也具有强大的数学计算能力。 MATLAB产品体系的演化历程中最重要的一个体系变更是引入了Simulink，用来对动态系统建模仿真。其框图化的设计方式和良好的交互性，对工程人员本身操作与编程的熟练程度的要求降到了最低，工程人员可以把更多的精力放到理论和技术的创新上去。
针对控制逻辑的开发，协议栈的仿真等要求，MathWorks公司在Simulink平台上还提供了用于描述复杂事件驱动系统的逻辑行为的建模仿真工具― Stateflow，通过Stateflow，用户可以用图形化的方式描述事件驱动系统的逻辑行为，并无缝的结合到Simulink的动态系统仿真中。
在MATLAB/Simulink基本环境之上，MathWorks公司为用户提供了丰富的扩展资源，这就是大量的Toolbox和Blockset。从1985年推出第一个版本以后的近二十年发展过程中，MATLAB已经从单纯的Fortran数学函数库演变为多学科，多领域的函数包，模块库的提供者。用户在这样的平台上进行系统设计开发就相当于已经站在了巨人的肩膀上，众多行业中的专家、精英们的智慧结晶可以信手拈来。
5.2 MATLAB的主要特点
1& 语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。MATLAB程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用MATLAB进行科技开发是站在专家的肩膀上。
2& 运算符丰富。由于MATLAB是用C语言编写的，MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使变得极为简短。
3& MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
4& 程序限制不严格，设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。
5& 的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的和操作系统上运行。
6& MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据的可视化非常简单。MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。
7& MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，为解释执行，所以速度较慢。
8& 功能强大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLAB包含两个部分：核心部分和各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。
9& 源的开放性。开放性也许是MATLAB最受人们欢迎的特点。&
5.3 　MATLAB 与图像压缩
基于小波分析的图像压缩方法很多,包括低频信息保留压缩、小波包最佳基方法、小波域纹理模型方法、小波变换零树压缩、小波变换向量量化压缩等。
5.4 　低频信息保留压缩方法
一个图像在进行小波分解后,可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率即高频子图像上大部分点的数值都接近于0 ,越是高频这种现象越明显。对一个图像来说,表现一个图像最主要的部分是低频部分,所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解,去掉图像的高频部分而只保留低频部分,图像压缩可按如下进行处理。
%低频信息保留压缩方法
[ X , map] = imread (’d : \ a. bmp’,’bmp’) ;
subplot (221) ; image ( X) ; colormap( map) ;
title (’原始图像’) ; axis square
[ c , s ] = wavedec2( X ,2 ,’bior3. 7’) ;
ca1 = appcoef2( c , s ,’bior3. 7’,1) ;
ch1 = detcoef2 (’h’, c , s ,1) ;
cv1 = detcoef2(’v’, c , s ,1) ;
cd1 = detcoef2 (’d’, c , s ,1) ;
a1 = wrcoef2(’a’, c , s ,’bior3. 7’,1) ;
h1 = wrcoef2(’h’, c , s ,’bior3. 7’,1) ;
v1 = wrcoef2 (’v’, c , s ,’bior3. 7’,1) ;
d1 = wrcoef2(’d’, c , s ,’bior3. 7’,1) ;
c1 = [ a1 , h1 ; v1 , d1] ;
subplot (222) ; image ( cl) ; axis square
title (’分解后低频和高频信息’) ;
ca1 = appcoef2( c , s ,’bior3. 7’,1) ;
ca1 = wcodemat ( cal ,440 ,’mat’,0) ;
ca1 = 0. 5 3
subplot (223) ; image ( cal) ; colormap( map) ;
title (’第一次压缩图像’) ;
imwrite ( cal , map ,’d : \ b. bmp’,’bmp’) ;
基于小波变换的图像数据压缩
ca2 = appcoef2( c , s ,’bior3. 7’,2) ;
ca2 = wcodemat ( ca2 ,440 ,’mat’,0) ;
ca2 = 0. 25 3 ca2 ;
subplot (224) ; image ( ca2) ;
colormap( map) ;
title (’第二次压缩图像’) ;
imwrite ( ca1 , map ,’d : \ c. bmp’,’bmp’) ;
中使用的MATLAB 函数包括:
(1) wavedec2为多尺度二维小波分解即二维多分辨分析函数,完成对信号X 在尺度N 上的二维分解。
(2) appcoef2 :提取二维小波分解低频系数,该函数是一个二维小波分析函数,它主要用于从多尺度二维小波分解的分解结构中提取二维信号的低频系数,从某种意义上说,它常常和Wavedec2 函数配套使用。
(3) detcoef2 :提取二维小波分解高频系数,它与appcoef2 函数相对应,用来从分解结构中提取二维小波变换的高频系数, 它也是常常和Wavedec2 函数配套使用的。
(4) wrcoef2 :对二维小波系数进行单支重构。该函数是对二维信号的分解结构用指定的小波函数或重构滤器进行重构。
(5) wcodemat :对矩阵进行量化编码。当选中参数’mat’时,进行全局编码,全体矩阵元素依绝对值大小在整个矩阵中进行排列。经过量化编码后的图像比原来的图像在颜色对比上要变得柔和一些。原图像文件a. bmp 大小为65 KB ,第一次压缩后生成文件b. bmp ,大小为1819 KB ,压缩比为71 %;第二次压缩后生成文件c.bmp ,大小为616 KB ,压缩比为90 %。可以看出,第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频信息,此时压缩效果较好,压缩比较小,第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分,即小波分解第二层的低频部分,其压缩比较大,压缩效果在视觉上也基本上过得去。这种保留原始图像中低频信息的压缩方法是一种最简单的压缩方法,它不需经过其它处理即可获得较好的压缩效果。从理论上说,我们可以获得任意压缩比的压缩图像。若无法显示请联系QQ3710167
图5－1 小波变换Matlab运行窗口
图5－2 小波变换结果
小波变换为图像处理提供了强有力的工具。从现在的研究结果可看到, 该方法已获得了较好的效果, 具有十分诱人的应用前景。但小波变换理论较为年轻, 应用于图像处理中的许多工作还处于探索阶段。主要存在以下几点缺憾:
&(1) 小波理论尚不完善, 除一维小波理论比较成熟外, 高维小波、向量小波的理论还远非人们所期待的那样, 特别是研究各类小波, 如正交小波、双正交小波及向量小波、连续小波、二进小波、离散小波以及非交换域上正交小波的构造和基本性质;
(2) 最优小波基的选取方法研究。现在国内外已有一些好基选取方法, 但缺乏系统规范的最佳小波基的选取方法, 即针对不同的问题能最优地选择不同的小波基以实现最好的应用效果。但不存在一种小波基能适应所有的情况, 如果存在, 这种小波基也是没有什么作用的。因此, 小波基的优化选择始终是小波理论研究的重要内容, 在图像处理中, 小波基应具有的一些基本性质, 即要求小波有好的对称性、高的编码增益, 分解小波有较高的消失矩, 而合成小波有较高的正则性, 有较好的空间局部化特性, 以及尽量使图像有高的稀疏度等, 这些性质有助于对不同的问题而选取合适的小波基;
(3) 目前小波分析软件远不如有限差分方法( FCM) 、有限元方法( FEM) 、边界元方法(EEM) 等软件成熟和完善, 更无大型系统权威的小波分析软件, 作为商品的小波分析软件尚很不成熟;
(4) 小波分析在数据图像压缩方面虽已取得很好的成绩, 但人们期待用小波方向实现高压缩比、高重现度图像的压缩, 并探索在图像的边缘检测、分类与描述中的应用。
基于小波变换的图像数据压缩
[1] 　周建鹏， 杨义先. 图像压缩编码中的小波变换技术.电路与系统.-120
[2] 　陶德元, 何小海, 李舒平.小波变换及其在图像处理中的应用. 四川：四川大学 (自然科学版) , 1994 , 11:62-68
[3] 　秦前清，杨宗凯.实用小波分析. 西安：西安电子科技出版社,
[4] &&李建平. 小波分析与信号处理――理论、应用及软件实现. 重庆：重庆出版社,
[5] 　孟月萍 . 利用小波变换原理进行图像处理. 1997 , 2:98-110
[6] 　吴谨 . 小波变换在图像编码中的应用.武汉：武汉工业大学 -60
[7] &&吴成柯等. 图像通信. 西安:西安电子科技大学出版社,
[8] &&王汇源. 数字图像传输原理与技术. 北京:国防工业出版社,
[9] &飞思科技产品研发中心编著. MATLAB6.5 辅助小波分析与应用. 北京:电子工业出版社,
[10] &张兆礼等. 现代图像处理技术及MATLAB实现. 北京:人民邮电出版社,-58
[11] &胡昌华等. 基于MATLAB 6. X 的系统分析与设计―小波分析. 西安:西安电子科技大学出版社,
[12] S. Mallat. A theory for multiresolutions signal decompression: The wavelet representation , IEEE Trans. PAMI-11(7),－265
X=imread('lena.bmp');%调入图像
X=double(X)/255; %归一化处理
subplot(2,2,1),imshow(X);%显示图像
[C,S]=wavedec2(X,a,'bior3.7');%对图像用'bio3.7'小波进行2层小波分解
ca1=appcoef2(C,S,'bior3.7',1);%提取小波分解结构中第1层的低频系数和高频系数
ch1=detcoef2('h',C,S,1);
cv1=detcoef2('v',C,S,1);
cd1=detcoef2('d',C,S,1);
a1=wrcoef2('a',C,S,'bior3.7',1);%分别对各频率成分进行重构
h1=wrcoef2('h',C,S,'bior3.7',1);
v1=wrcoef2('v',C,S,'bior3.7',1);
d1=wrcoef2('d',C,S,'bior3.7',1);
c1=[a1,h1;v1,d1];
%进行图像压缩处理，保留小波分解第1层低频信息，进行图像压缩
%第1层的低频信息为ca1,显示第1层的低频信息
%首先对第1层信息进行量化编码
ca1=appcoef2(C,S,'bior3.7',1);
ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);
subplot(2,2,2),imagesc(ca1); % 显示第1次压缩图像
%保留小波分解第2层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大
%第2层的低频信息为ca2,显示第2层的低频信息
ca2=appcoef2(C,S,'bior3.7',2);
%首先对第2层信息进行量化编码
ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);
%显示第2次压缩图像
subplot(2,2,3),imagesc(ca2);
ca3=appcoef2(C,S,'bior3.7',3);
%首先对第2层信息进行量化编码
ca3=wcodemat(ca3,440,'mat',0);
%显示第2次压缩图像
subplot(2,2,4),imagesc(ca3)
作者在论文毕业设计期间自始至终都是在张老师全面、具体的指导下进行的。张老师渊博的学识、敏锐的思维和平易近人的态度使我受益非浅，耐心的辅导、严谨求实的作风使我终生难忘。在论文完成之际，向张忠老师表示衷心-最诚挚的感谢。
&&& 特别感谢老师在百忙之中，对本文的总体方案、关键问题进行审阅，在有关方面进行了耐心的指导，并提出了很多精辟的见解和看法，使我受到很大的启发。
& 最后，向所有在我论文工作期间给予我帮助的老师表示感谢!
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