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出门在外也不愁y=y（x）有二阶导数,试将微分方程d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0变换为y=y（x）满足的微分方程
记dy/dx=y ',d2y/dx2=y ''则dx/dy=1/y ',d2x/dy2= - y ''/(y ')^3把上面2式代入原微分方程整理即可.
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求微分方程(x-2)dy&#47;dx=y+2(x-3)^3的通解，在线等
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((x-2)dy-ydx)/(x-2)^2=2(x-3)^3dx/(x-2)^2)dx
==&∫d(y/(x-2))=∫(2x-10+6/y=x^3-12x^2+20x+2+6(x-2)ln│x-2│+C(x-2)
∴原方程的通解是y=x^3-12x^2+20x+2+6(x-2)ln│x-2│+C(x-2);(x-2)-2&#47：∵(x-2)dy/y/y=(x-2)(x^2-10x)+6(x-2)ln│x-2│+2+C(x-2)
==&d(y/(x-2)+C
(C是积分常数)
==&gt解;(x-2)dy-ydx=2(x-3)^3dx
==&(x-2))=(2x-10+6/(x-2)=x^2-10x+6ln│x-2│+2/(x-2)-2/(x-2)^2)dx
==&dx=y+2(x-3)^3
==&(x-2)^2
(等式两端同除(x-2)^2)
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出门在外也不愁现代宇宙学(之四)
4.广义相对论的时空观
爱因斯坦的狭义相对论虽然把相对性原理从力学领域推广到了电磁学领域,消除了力学与电磁学的不对称性,但是爱因斯坦并不为此感到满意,因为狭义相对论从根本上来讲并没有消除惯性系与非惯性系之间的不对称性.所以爱因斯坦就说:“从纯粹的运动学观点来看,无论如何都不会怀疑一切运动的相对性,但是从物理学的观点来说,惯性系似乎占有一种特选的地位,它使得一切依照别种方式运动的坐标系显得格外别扭.” 因此,为了消除惯性系与非惯性系之间的不对称,爱因斯坦进一步把相对性原理推广到了非惯性性,从而建立了广义相对论.在广义相对论那里,时空概念获得了更加长足的发展,使其变得更加深刻.其实,爱因斯坦在完成了狭义相对论的当儿,就狭义相对论来讲,它本身既无问题,与实验也无矛盾,爱因斯坦只所以还要创立广义相对论,除了他要解决以上的问题外,但还有一个理念那就是基于把相对性原理贯彻到一切参考系当中去,从而实现物理学的统一性的认识原则.在爱因斯坦的头脑中,始终悬浮着这样一个问题:如果有人凑巧在一个自由下落的升级机里,升级机的上升、停止与下降,那将会发生什么样的现象呢?爱因斯坦从马赫的《力学及其发展的批判历史概述》中关于惯性来源于宇宙遥远物质的影响这一概念得到了启示:在牛顿力学中为什么惯性系比其它的参考系都来得特殊呢?为什么速度是相对的而加速度却是绝对的呢?升降机里发生的现象给了爱因斯坦以突破口.因为升级机的上升加速与下降减速就是一个小范围内的典型非惯性系.在此非惯性系里的惯性力的表达方式应为F=-ma (负号表示惯性力与加速度方向相反),该惯性力正比于加速度,而方相反.当升级机启动上升时,加速度a向上,惯性力向下,此时人体所受到的净力等于人的“引力质量m’”也即重力(等于你的身体质量乘上重力加速度,它是由地球对人的万有引力导出的.)加上惯性力F即F=m’g+ma.当升级机下降时,电梯里的人所受到的力,等于人的引力减去惯性力F即F=m’g-ma.如果升级机的吊索突然断裂,升级机将自由下坠,升级机里的人将处于失重状态,这时的惯性力完全抵消了重力,引力质量等于零,这时的惯性质量等于引力质量m=m’.所以爱因斯坦就把两者的相等性作为了广义相对论的基本原理提了出来.并由此作为广义相对论的突破口.现在让我们返回头去,来看一看爱因斯坦关于这一创造性的思想过程.
在对引力问题的探索中,爱因斯坦从马赫的著作描述的力学进程中得到了很大的启发.马赫在该书中对牛顿的关于时间、空间和运动的观点进性了“概括性的批判”.尤其对牛顿精心设想的“水桶实验”的批判尤为精彩.马赫认为,一个必然的结果是:“惯性来源于物体的一种相互作用.”爱因斯坦对此评论到:“对于牛顿的水桶实验的那些看法,表明了马赫的思想同普遍意义的相对性(加速度的相对性)要求是多么的接近.”从这里可以看出,马赫已经清楚地看出了古典力学的软肋处在那里,而他的思想已经距离提出广义相对论相差不远了.马赫的思想是在离我们现在近半个世纪前就提出的,这种超时代的思想确实令人敬服.正是这样,马赫的关于惯性以及惯性力起源于宇宙间物质相互作用的观点才是他的精要所在.马赫的这一观点,在1918年被爱因斯坦命名为“马赫原理”,所以马赫被尊称为“相对论的先驱”.爱因斯坦接受了马赫的观点,但爱因斯坦却注意到:马赫在这里并没有充分意识到,一个物体的惯性质量同引力质量的相等,会要求回到更为广泛意义下的相对性假设.因为我们不能用实验来判断一个物体相对于一个坐标的降落,究竟应当归因于引力场的存在,还是应当归因于坐标系加速的状态.爱因斯坦就是从这一点出发,使他找到了新探索的突破口,紧紧抓住了一个古老而平凡的事实,那就是在同一引力场中,一切物体都具有同一的加速度,惯性质量与引力质量精确相等.而惯性质量m来源于牛顿的F = m a
,引力质量来源于万有引力定律F引=m’g(g=GMe/R2).为此,他就提出了惯性质量与引力质量相等性的等效原理.它的等效性是自伽利略以来,为物理学家所熟知而未被做进一步探索的问题.1907年,爱因斯坦在广义相对论方面迈出了重要一步,这由他的论文--《相对论原理和由此得出的结论》可以证明.到了1916年,爱因斯坦发表了论文《广义相对论的基础》.他把相对论思想推广到了所有坐标系,把所有代换都用了广义协变的习惯来平权,完整地建立了广义相对理论.
在狭义相对论中,时间和空间的相对性取决于不同惯性系的运动状态,但在同一个参考系中,它们是平权的.然而,在广义相对论中,即便是在同一个参考系中,时间和空间也是相对的,而它们的相对性取决于它们所在的位置.爱因斯坦用了一个理想的实验来说明等效原理同狭义相对论相结合所产生的时钟变慢和尺度缩短的效应.说:在一个静止的实验室中,称它为K参考系,实验室内按放一绕固定转轴高速旋转的圆盘,在这个转盘上取相对于这个圆盘为静止的参考系为K’系.由于K’系随圆盘转动而作圆周运动,它相对于K系就是一个非惯性系.这时,将两只结构和性能完全相同的钟表分别放在圆盘的中心和圆盘的边缘,两个钟表相对于圆盘都保持静止.那么对于惯性系K的观察者来说放在圆心的钟表没有运动,因而相对于K系来说它是静止的,而放在圆盘边缘上的钟表,由于圆盘作高速转动,所以它相对于K系是运动的.根据狭义相对论的时钟变慢效应,从惯性系K看来,圆盘边缘上的钟表比圆心上的钟表要走的慢些. K’系中的观察者也同样看到了这个效应.
相似的实验有:若有一个两维平面上的圆盘上存在着对称引力场,场中各点的引力场强度为-ω2r,其中r为场点到引力中心的矢径.设想在这个平面上圆盘上有一大圆盘绕着通过引力中心垂直于引力场平面的轴以角速度ω匀速转动,那么,这个大圆盘就是一个以惯性离心力抵消了引力场的惯性系.设想对于引力场静止的参考系为K’系,也就是平面圆盘的中心轴的区域,而与大圆盘固定的参考系为K系,K系与K’都有自己的观察者,并且备有静长相等的单位量尺.如果这时候由K系的观察者用尺去量原盘的直径和周长,由于K是惯性系,会得到通常的结果,他测出的直径为D,周长为C.且C/D=π.
K’系是非惯性系,K’系的观察者去测量大圆盘在K’系平面上的投影圆的直径和周长将是怎样的呢?在K’系的观察者来看,他认为大圆盘的周边同投影圆完全一致,在测量直径时同K时一样,即D=D’但在测量周长C’时,却要小于C,即C’&C,也就是C’/D’&π.由此,K’系的观察者得出结论:由于引力场的存在,自己所在的两维空间不再遵循欧几里几何的关系了,也就是说,这个两维平面空间实际上已不是平面,而是一个弯曲的表面了.这个实验说明了由直线尺度的缩短向曲线尺度的缩短的力证,因此这个实验可以说是由狭义相对论向广义相对论过渡的实验.在狭义相对论中,时钟变慢效应是以不同惯性系为条件的.而这个圆盘的实验却表明,当我们由惯性系转向非惯性系时,既使在不同的位置,时钟变慢和尺度缩短的数值也不一样.它的意义就在于,不仅对于惯性系的时空具有相对性,就是对于非惯性系,时空也有相对性.从而也说明了,时空的相对性除了受到参考系和运动状态影响外,同时还要受到引力场存在的制约.只要有引力场存在,它对同一个坐标系中不同的空间位置其作用也不尽相同.而引力场本身及其作用,则取决于物质的质量和分布,因此,时空的相对性就完全依赖于物质密度的分布了.
在狭义相对论之前,人们只知道空间是三维的,空间两点p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)间的距离为R的平方,即R2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2,而与坐标的选择无关.当p1和p2十分接近时,那么,坐标增量dx=x2-x1,
dz=z2-z1间距增量dR2=dx2+dy2+dz2就形成了三维坐标下的不变量.牛顿时代认为时间是绝对的,因为那时没有考虑时间t与空间坐标间的关系,这也反映了当时人们对时间和空间认识的一个发展阶段.但是狭义相对论却发现了这种观念的错误性.这是由洛仑兹变换下的dx2+dy2+dz2,,人们才认识到该式中的坐标增量并非是个不变量,因为在洛仑兹变换下必须将时间和空间放在一起来考察.所以在狭义相对论里,所揭示的是四维时空间隔ds2的不变性.这就说明了人们在认识时空性质方面进入了一个新的阶段.而四维时空间隔的不变性可由光信号收发的两个事件来加以说明:设事件p0是指在0时刻从原点发出的一个光讯号,事件p是指在t时刻在某地(x,y,z)接收到的这个光信号.在传播期间,信号以光速c按球面波的方式向四面八方进行传播.因此.在t时刻,光信号在S系里到达的球面波的波前方程简化为:x2+y2+z2=c2t2,由于(x0,y0,z0,t0)=(0,0,0,0),此时的时空间隔为:Δs2=x2+y2+z2-c2t2=0
.若从相对于S系作匀速运动的S’来考察同一个时间间隔,按目前的规定,光信号发出时,S系与S’系的原点是重合的,因此p0事件在S’系中的时空坐标也是(0,0,0,0).根据光速不变原理,光信号在S’系里也是以光速c按球面波的形式向四周传播.设事件p为S’里的时空坐标为(x’,y’,z’,t’),它也应当满足S’系中t’时刻光信号到达球面波的波前方程:x’2+y’2+z.2=c2t’2,所以在S’里,事件p0,p的时空间隔:Δs’=x’2+y’2+z’2-c2t’2=0,
由此可见,由光信号联系的两个事件之间的时空间隔,在惯性系之间的变换是相对论的不变量,这当然是光速不变原理的直接结果.在这时,我们必须在三维欧氏空间的基础之上再增加一个一维的时间,从而就拓宽为了一个四维的伪欧氏空间的坐标系,并且还要承认ds2是四维坐标转动(即洛仑兹变换)下的不变量.这里的四维空间转动是指转过一个固定的角度,也就是从S系过渡到S’,而不是一直在转动.值得注意的是,四维的伪欧氏空间虽然不是真正的欧氏空间,但它的空间性质是平直的,即空间、时间都是均匀的,且各向同性的,因此,可以使用欧氏几何的公理和定理来进行计算.
到了广义相对论,时空的性质再次发生了变化.从上面的转盘实验中知道,在非惯性系内,也就是在引力场的区域内,空间性质不再是平直的,欧氏几何的公理和定理已不再适用.在非惯性系里,不能再用任意处所放置的同步钟表,也不能再认为任意处所放置的尺度都一样长且与尺子的取向无关了.换言之,过去所熟悉的在大范围内放置一个平直的坐标架的方式已不再适用了.为此,必须考虑一般的时空坐标之间的非线性变换,因为时空的性质在非惯性系里已经变的弯曲了.所以在任何小的区域内,都可以用一个四维弧元为坐标的微分dxμ来表示的一个二次齐次的函数,也就是说,只有在很小范围内,时空的性质才可以看成是平直的.在式子
中,必须承认ds2是一般非线性变换下的不变量.并且在此还要引进了一般的度规张量gij,各个gij本身就是坐标xi函数,也就是说,在四维空间中各个度规张量一般是不同的.这种在非欧氏空间中,随位置而改变的度规在几何学中就是黎曼度规.从上式出发,才定义出来了黎曼几何学.该几何是德国数学家黎曼(G.F.B.Riemann)于1854年创立的.黎曼几何是非欧几里德几何的一种,是描述非线性空间性质的几何学.在狭义相对论中,自然规律只有把惯性系作为时空描述的基础时才能有效,惯性原理和光速不变原理,也只对于一个惯性系时才能实现.而自然界中根本就不存在严格的惯性系,这正象在经典力学中那样,在狭义相对论中,四维空间仍被看成是物质和场的载体.如果把物质和场除开,那么这个四维空间依然存在.因此,对于狭义相对论来说,描述物理实在所假设的空间是事先给定的,而且是独立存在的.所以说狭义相对论并没消除空虚的空间原来就已经给定的事实,这就不得不承认它仍然是个先验就存在的问题.看来狭义相对论还没有从根本解决空间与物质的内在联系.由于这个问题的困惑,促使爱因斯坦必须从物质与时空的本质联系中推出广义相对论.因为广义相对论里最重要的一个内容就是揭示了空间与物质的内在联系.它将空间中某一点的曲率变化都归结为该点的物质分布及电磁场的运动状态,表证着该点引力场的强度.这时若将引力场移开,剩下的绝对是一无所有.反过说,一无所有的空间,也就是说没有场的空间是根本就不存在的.所以呢,广义相对论认为,空间是不能单独存在的,它只能作为场的结构形式而存在,这恰恰正是物质的存在才能决定着空间的场型结构形式的理由.爱因斯坦在广义相对论中写道:“时间、空间未必能看作是可以脱离物质世界的真实客体而独立存在的东西.并不是物质存在于空间中,而是这些物质具有空间的广延性,这样看来,关于一无所有的空间的概念就失去了意义.”
从以上所考量的时间与空间概念的发展历程中,不难看出,在古代,当人们把地球看成是扁平的圆盘时,空间位置的上下、左右在地球上都具有绝对的意义,空间的概念在那里既不是各向同性的,也不是各向均匀的.在这样的空间里,没有任何相对的成分.是亚里士多德第一次把相对性引入到了空间,消除了空间方位的绝对性,然而在使空间成为了各向同性的同时,他却保留了空间位置的绝对性.牛顿为时空的概念引进了更多的相对性,牛顿力学体系的结果,不但消除了空间的绝对性,还使空间具有了各向同一性,并且又使得空间具有了各向均匀性.从而确定了相对性原理,使力学定律在伽利略变换下具有了相同的数学形式.然而牛顿却保留了时间间隔、长度以及同时性的绝对性.爱因斯坦的狭义相对论消除了时间间隔、长度和同时性的绝对性,同时他还把相对性原理从力学领域推广到了电磁学,这就使得相对性原理在所有惯性系中都得以成立,从而使物理定律在洛仑兹变换下也具有了相同的数学形式.使狭义相对论中的时空概念在不同的参考系里有不同的时间间隔和不同的空间距离,这就使得时间和空间的相对性是针对不同的参考系来说的.而广义相对论中的时空概念却又变成了在同一个参考系里时间和空间的相对性是随位置的不同而变化的,就象在转盘实验所描述的那样,同一参考系里量尺与转盘半径在平行时和垂直状态下所产生的效应都是不同的.从而,爱因斯坦把相对性原理推广到了非惯性系,使得物理定律在任意的参考系里都具有相同的数学形式.从以上的讨论中可以发现,时空观的每一次变革,都使的相对性得到了进一步的扩展,每次时空概念的变化,都使的一代代物理学家逐步摆脱人类关于时间和空间根本性质的误解,同时也逐步摆脱了种种似是而非的先验的绝对性,从而也扩大了时间和空间的相对性成分.正因如此,爱因斯坦才把自己创立的理论称为相对论.从时间和空间概念的变化中,不难看出,相对成分不断在排挤绝对的成分,使得相对成分不断增加,而绝对成分却不断减少,从绝对走向相对.在哲学里,真理有相对真理和绝对真理之分,相对真理包含了绝对真理的成分,无数相对真理的总和,就是绝对真理.真理的走向是从相对走向绝对,然而在物理科学里,从时空概念的演变历程中可以发现,它是从绝对不断走向相对的过程.
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