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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第1讲 集合与常用逻辑用语（3）教学案
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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质（1）教学案
教学内容：函数的概念、图象与性质（1）
教学目标：
理解函数及其表示，掌握函数的图象；掌握函数的性质。
教学重点：
一是识图，二是用图，通过数形结合的思想解决问题。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．
教学过程：
一、知识点复习：
1．必记的概念与定理
(1)若函数在其定义 域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
(3)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．
(4)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．
2．记住几个常用的公式与结论
图象变换规则
(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．
(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．
(3)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(4)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
(5)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
(6)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．
(7)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．
(8)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；
(9)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．
3．需要关注的易错易混点
(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式 ；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集．
(2)从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．
(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号 “∪”联结，也不能用“或”联结．
(4)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
二、基础训练：
1．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.
解析：由已知得1＋b＋c＝0，9＋3b＋c＝0，得b＝－4，c＝3.
即f(x)＝x2－4x＋3.
所以f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.
2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是________．
解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x对应着惟一一个y，据此排除①④，③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意．
3．(;常州模拟)设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x>1，则f(f(3))＝________.
解析：f(3)＝23，f( f(3))＝232＋1＝139.
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[ a－1,2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，
∴a＝13.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝13.
三、例题教学：
例1 (;苏州调研)若函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝f2xln x的定义域 是________．
[解析] 由函数y＝f(x)的定义域是[0,8]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤8且x>0，x≠1，故x∈(0,1)∪(1,4]
[答案] (0,1)∪(1,4 [方法归纳] 求函数定义域的类型和相应方法
(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出([a，b]为g(x)的值域)．
(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．
变式训练：
若函数y＝f(2x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝fx2x的定义域是________．
解析：由函数y＝f(2x)的定义域是[0,8]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤16，所以g(x)＝fx2x的定义域是[0,16]．
答案：[0,16]
例2 (1)(;高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x＋12 .若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
(2) (;南昌模拟)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f( x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有________个．
[解析] (1)作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图象可得0<a<12.
(2)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：
可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；
1<x<10时，|lg x|10时|lg x|>1.结合图象知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．
[答案] (1)0，12 (2) 10
[方法归纳] 作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．
识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．
变式训练：
(1)若本例(2)中y＝f(x)变为f(x)＝|x|，其他条件不变，则交点个数为________．
(2)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f1fǡ的值等于________．
解析：(1)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：
由图象知共10个交点 (2)∵由图象知f(3)＝1，∴1fǡ＝1.
∴f1fǡ＝f(1)＝2.
答案：(1)10 (2)2
巩固练习：
1． 若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝________.
解析：由题意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1.①
将①中x换为－x，则有2f(－ x)－f(x)＝－3x＋1.②
①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，即f(x)＝x＋1.
答案：x＋1
2．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．
解析：∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，
∴f(0)＝0，T＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.
3．(;台州模拟)若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．
解析：画出图象易知y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]，依题意应有m≤0.
答案：(－∞，0]
4．(;南京调研)若f(x)＝ax＋1x＋2在 区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是____ ____．
解析：设x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝2ax1＋x2－2ax2－x1＝x1－x22a－1>0，则2a－1>0.得a>12.
答案：12，＋∞
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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质（2）教学案
教学内容：函数的概念、图象与性质（2）
教学目标：
理解函数及其表示，掌握函数的图象；掌握函数的性质。
教学重点：
一是识图，二是用图，通过数形结合的思想解决问题。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．
教学过程：
一、基础训练：
1．若函数y＝ax＋b－1 (a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有________．
答案 0< a<1且b<0
解析 (1)当0<a1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．
∵y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a<1.
(2)如图，这个图可理解为y＝ax (0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度．
∴b－11，解得b<0.
由(1)、(2)可知0<a<1且bb>c
解析 因为a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.
3．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝________.
解析 ∵0<a0，1－2log6x≥0.解得00的解集为________．
[解析] (1) 由f(x)>12，得－1<x0，
∴xf(x)>0.
∴x>0，fx>0或x<0，fx0，则x的取值范围是________．
(2) 设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，若n≥2且n∈N*，则f(－n)，f(1－n)，f(n－1)，f(n＋1)的大小关系为________．
解析：(1)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1 <x<3.
(2)∵f(x)为偶 函数，所以f(－n)＝f(n)，
f(1－n)＝f(n－1)．
又∵函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
且0<n－1<n<n＋1，
∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)．
∴f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)＝f(1－n)．
答案：(1)(－1,3)
(2)f(n＋1)<f(－ n )<f(n－1)＝f(1－n)
例2 (;石家庄模拟)已知f(x)的图象如图，则f(12)＋f(32)的值为________．
[解析] 由图象知每段为线段．
设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，1，32和1，32，(2,0)分别代入，
解得a1＝32，b1＝0，a2＝－32，b2＝3.
所以f(x)＝32x，0≤x≤1，3－32x，1<x≤2.
故f(12)＋f(32)＝32.
[答案] 32
[方法归纳] 求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变 量的取值范围．
变式训练：
(;高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x<0，x， 0≤x<1，则f32＝________.
解析：函数的周期是2，所以f32＝f32－2＝f－12，
根据题意f－12＝－4×－122＋2＝1.
巩固练习：
1．“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz成立”的________条件．
答案 充分不必要
解析 由lg x，lg y，lg z成等差数列，可以得出2lg y＝lg x＋lg z，根据对数函数的基本运算可得，y2＝xz，但反之，若y2＝xz，并不能保证x，y，z均为正数，所以不能得出lg x，lg y ，lg z成等差数列．
2．已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
解析 ∵f(x)＝lg x，∴f(a2)＋f(b2)＝2lg a＋2lg b＝2lg ab.
又f(ab)＝1，∴lg ab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.
3．已知0<a<1，则函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________．
解析 分别画出函数y＝ax(0<a<1)与y＝|logax|(0<a1.
首先作出函数y＝121－x，x≤112x－1，x>1的图象，如图所示．
由图象可知要使函数y＝121－x＋m，x≤112x－1＋m，x>1的图象与x轴有公共点，则m∈[－1,0)．
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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质（3）教学案
教学内容：函数的概念、图象与性质（3）
教学目标：
理解函数及其表示，掌握函数的图象；掌握函数的性质。
教学重点：
一是识图，二是用图，通过数形 结合的思想解决问题。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．
教学过程：
一、基础训练：
1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝13x＋2 013－a，则f(log312)＝________.
答案 12 015×2 014
解析 由题意，可知函数f(x)为奇函数， 所以f(0)＝130＋2 013－a＝0，
解得a＝12 014，所以当x≥0时，f(x)＝13x＋2 013－12 014.
所以f(log32)＝13log32＋2 013－12 014＝12 015－12 014＝－12 015×2 014.
从而f(log312)＝f(－log32)＝－f(log32)＝12 015×2 014.
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x) ＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝________.
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，
当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×2 .
而f(2 0 11)＋f(2 012)＋f(2 013)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝335＋2＝337.
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－2，2＋2]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]
解析 设x0.f(－x)＝(－x)2，又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－x2.
∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(2x)．
∴f(x＋t)≤2f(x)＝f(2x)⇔x＋t≤ 2x在[－2－2，2＋2]上恒成立，
∵x＋t≤2x&#)x≥t，
要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t
⇒t≤－2即可．
4．(;天津改编)已知函数f(x )是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
答案 12，2
解析 由题意知a>0，又log a＝log2a－1＝－log2a.
∵f(x)是R上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log a)，
∵f(log2a)＋f(log a)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．
又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈12，2.
二、例题教学：
例1 (;温州模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.
(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；
(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．
解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.
若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.
(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使 得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.
又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.
若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.
若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．
综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
变式训练：
若函数f(x)＝xax＋b(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有惟一解，求f(x)的解析式．
解：由f(2)＝1得22a＋b＝1， 即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x1ax＋b－1＝0，解此方程得x＝0或x＝1－ba，
又因方程有惟一解，故1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，
所以f(x)＝2xx＋2.
例2 (;福州模拟)已知函数f(x)＝a•2x＋b•3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若abf(x)时x的取值范围．
解：(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．∵2x10⇒a(2x1－2x2)<0，
3x10⇒b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
同理，当a<0，b<0时，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a•2x＋2b&#，当a0时，32x>－a2b，
则x>log1.5－a2b；同理，当a>0，b<0时，32x<－a2b，
则 x<log1.5－a2b.
变式训练：
(;苏北三校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的 周期函数；
(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(x＋1)＝f(1－x)，
即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f (0)＝0.
x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x，又f(0)＝0，
故x∈[－1,0]时， f(x)＝－－x.x∈[－5，－4]，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4 .
巩固练习：
1．函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1 对称，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.2•f(20.2)，b＝ln 2•f(ln 2)，c＝(log 14)•f(log 14)，则a，b，c的大小关系是________．
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)关于y轴对称．
所以函数y＝xf(x)为奇函数．因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，
所以当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，
函数y＝xf(x)单调递减，从而当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减．
因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log 14＝2，从而0<ln 2<20.2a>c.
2．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；
②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；
③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称．
则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是______________．
解析 由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x＝2对称的函数．
所以f(4.5)＝f(4＋12)＝f(12)，f(7)＝f(4＋3)＝f(3)，f(6.5)＝f(4＋52)＝f(52)．又f(x)在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．
3．已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log8(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为________．
解析 当x≥0时，有f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．
由函数f(x)在R上为偶函数，可得f(－2 013)＝f(2 013)，
故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)，f(2 014)＝f(4×503＋2)＝f(2)．
而f(1)＝log8(1＋1)＝log82＝13，f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝－log81＝0.
所以f(－2 013)＋f(2 014)＝13.
4．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a>b.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是____ ____．
解析 依题意，h(x)＝log2x，02.当02时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
区域：不限地区
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数应用（1）教学案
教学内容：基本初等函数、函数与方程及函数应用（1）
教学目标：
掌握基本初等函数的图象及性质。理解函数与方程的关系，掌握函数的应用。
教学重点：
二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．
教学过程：
一、知识点复习：
1．必记的概念与定理
指数函数、对数函数和幂函数的图象及性质
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
(2)幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，当α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)•f(b)0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
提醒：logaM－logaN≠loga(M－N)，logaM＋logaN≠loga(M＋N)．
(2)与二次函数有关的不等式恒成立问题
①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是a>0，b2－4ac<0.
②ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是a<0，b2－4ac0，
答案：(0，＋∞)
3．函数y＝|x|2－|x|－12两个零点的差的绝对值是________．
解析：令|x|2－|x|－12＝0，得(|x|－4)(|x|＋3)＝0，
即|x|＝4，
∴两个零点的差的绝对值是|4－(－ 4)|＝8.
4．(;湖南益阳模拟) 已知0<a<1，则a2、2a、log2a的大小关系是________．
解析：因为0<a<1，所以0<a2<1,1<2a<2，log2aa2>log2a.
答案：2a>a2>log2a
三、例题教学：
例1 (1)(;常州模拟)若函数f(x)＝log2x，x>0，log12－x，xf(－a)，则实数a的取值范围是________．
(2)(;连云港模拟)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(15)log30.3，则a、b、c大小关系为________．
[解析] (1)法一：由题意作出y＝f(x)的图象如图．
显然当a>1或－1<af(－a)．
法二：当a>0时，log2a>log12a，即log2a>0，∴a>1.
当alog2(－a)，即log2(－a)<0，
∴－1<a<0，故－1<a1.
(2)∵a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(15)log30.3＝5log3313，
根据指数函数y＝mx且m＝5，知y是增函数．
又∵log23.4>log<log43.6(15)log30.3>5log43.6，即a>c>b.
[答案] (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)a>c>b
[方法归纳] (1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．
(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．
变式训练：
(1)(;高考辽宁卷改编)已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为________．
(2)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
解析：(1) 因为0<a＝2－13<1，b＝log213log1212＝1，所以c>a>b.
(2)作出函数y＝log2(－x)及y＝x＋1的图象．其中y＝log2(－x)及y＝log2x的图象关于y轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x0，－xa>b (2)(－1,0)
例2 (1)(;盐城模拟)已知函数f(x)＝logax＋x－b (a>0，且a≠1)．当2<a<3<b02x＋1x≤0，的零点个数是________．
[解析] (1)∵2<a<3，∴f(x)＝logax＋x－b为 定义域上的单调函数．f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵lg 2<lg a<lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a3，∴－b<－3，∴2－b<－1，
∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.
∵1<lg 3lg a<lg 3lg 2，3<b<4，∴－1<3－b0，∴f(3)>0，即f(2)•f(3)0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln x和y＝x2－2x＝(x－1) 2－1(x>0)的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．
[答案] (1)2 (2)3
[方法归纳] (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
变式训练：
已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.
解析：f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，
故x0就是两函数交点的横坐标，
由2a＝3,3b＝2，得a>1,0<b<1.
当x＝－1时，y1＝1a＝log32<y2＝1＋b＝1＋log32，
∴－1<x002x，x≤0 ，则f(f(19))＝____________.
解析：f(19)＝log319＝log33－2＝－2，
f(f(19))＝f(－2)＝2－2＝14.
2． (;连云港模拟) 若函数y＝(log12a)x为减函数，则a的取值范围为________．
解析：0<log12a<1，∴a∈(12，1)．
答案：(12，1)
3. 已知函数f(x)＝ln1＋x1－x，若f(－a)＝－b，则f(a)＝________.
解析：函数的定义域为(－1,1)，又在定义域内由f(－x)＝ln1－x1＋x＝－ln1＋x1－x＝－f(x)，得函数为奇函数，所以f(a)＝－f(－a)＝b.
4．(;南京信息卷)在平 面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线 C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C.若四边形ABCD为矩形，则k的值 是__________.
解析： 设A(t,2log2t)(t＞1)，则B(t2，2log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2klog2t)，则有log2t＝2klog2t ，
由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12.
区域：不限地区
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数应用（2）教学案
教学内容：基本初等函数、函数与方程及函数应用（2）
掌握基本初等函数的图象及性质。理解函数与方程的关系，掌握函数的应用。
教学重点：
二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．
教学过程：
一、基础训练：
1．设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x>1，则满足f(x)≤ 2 的x的取值范围是________．
答案 [0，＋∞)
解析 当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；
当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥12，所以x>1.综上可知x≥0.
2．已知函数f(x)＝a－3x＋5，x≤1，2ax，x>1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．
答案 (0,2]
解析 由题意，得a－30，a－3＋5≥2a，解得0<a≤2.
3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，
f(x)＝gx＋x＋4，x<gx，gx－x，x≥gx， 则f(x)的值域是______________________．
答案 [－94，0]∪(2，＋∞)
解析 由x<g(x)得x<x 2－2，∴x2；
由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝x2＋x＋2，x2，x2－x－2，－1≤x≤2.
即f(x)＝x＋12&#，x2，x－12&#，－1≤x≤2.
当x2；当x>2时，f(x)>8.
∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．
当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0.
∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．
综上可知，f(x)的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．
4．已知f(x)＝－2x －1≤x≤0，x
0<x≤1， 则下列函数的图象错误的是________．
解析 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此①正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此②正确；y＝f (x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，③正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝x，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确．
二、例题教学：
例1 (;常州信息卷)某商场分别投入x万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润y1、y2万元，利润曲线分别为C1：y1＝max＋ b，C2：y2＝cx，其中m，a，b，c都为常数．如图所示：
(1)分别求函数y1、y2的解析式；
(2)若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．(可能要用的数ln 2≈0.7)
[解] (1)由函数y1＝m•ax＋b过点(0,0)，(2，516)，(4，2516)可得
m＋b＝0m•a2＋b＝516m•a4＋b＝2516，
可得a＝2b＝－548m＝548
∴y1＝548•2x－548.
由函数y2＝cx过点(3，74)可得c＝712，∴y2＝712x.
(2)设该商场经销甲商品投 入x万元，乙商品投入12－x万元，该商场所获利润为y万元，
则y＝y1＋y2 ＝548•2x－548＋712(12－x )
＝548•2x－712x＋33148，
y′＝548•2xln 2－712＝548&#x－712＝796•2x－712，
令y′＝0可得x＝3，y′在(0,3)单调 递增，
∴当x∈(0,3)，y′0，y在(3，＋∞)单调递增，
当x＝3时，利润y有最小值28748.
所以该商场所获利润的最小值为28748.
[方法归纳] 应用函数模型解决实际问题的一般程序是：
读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答
与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
例2 (;连云港高考最后一讲)经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)的关系近似地满足u＝100v＋23，0＜v≤50，v2500＋20，v＞50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．
(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；
(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果 的费用最少？解：(1)由题意，当0＜v≤50时，y＝7.5&#u＋300&#v＝30&#v＋23＋300&#v＝123 000v＋690，
当v＞50时，y＝7.5&#u＋300&#v＝30&#＋20＋300&#v＝3v250＋120 000v＋600，
所以y＝123 000v＋690，0＜v≤50，3v250＋120 000v＋600，v＞50.
(2)当0＜v≤50时，y＝123 000v＋690是单调减函数，
故v＝50时，y取得最小值ymin＝123 0＝3 150；
当v＞50时，y＝3v250＋120 000v＋600(v＞50)，
由y′＝3v25－120 000v2＝3B&#＝0，得v＝100.
当50＜v＜100时，y′＜0，函数y＝3v250＋120 000v＋600单调递减；
当v>100时，y′>0，函数y＝3v250＋120 000v＋600单调递增．
所以当v＝100时，y取得最小值ymin＝3×0 0＝2 400.
由于3 150＞2 400，所以当v＝100时， y取得最小值．
即当卡车以100 km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．
巩固练习：
1．设函数f(x)＝log x，x>0，log2－x，xf(－m)，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(0,1)
解析 若m>0，则－mf(－m)，得－log2m>log2m，即log2m<0,0<m<1；若m0，f(－m)＝log
(－m)＝－log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)>f(－m)得log2(－m)>－log2(－m)，解得m1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是____________________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，－34)
解析 f(x)＝x2－2，x2－2－x－x2≤1，x－x2，x2－2－x－x2>1，
即f(x)＝x2－2，－1≤x≤32，x－x2，x32，
f(x)的图象如图所示，由图象可知c的取值范围为
(－∞，－2]∪(－1，－34)．
7．已知函数f(x)＝log2x，x>0，fx＋2＋1，x≤0，则f(－3)的值为________．
解析 f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2.
8．已知函数f(x)＝x2＋2ax，x≥2，2x＋1，x3a2，则a的取值范围是________．
答案 －1<a3a2⇔6a＋9>3a2，解得－1<a<3.
区域：不限地区
苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数应用（3）教学案
教学内容：基本初等函数、函数与方程及函数应用（3）
教学目标：
掌握基本初等函数的图象及性质。理解函数与方程的关系，掌握函数的应用。
教学重点：
二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．
教学过程：
一、基础训 练：
1．设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)＝________.
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)，
当x＝1时，f(2＋1)＝(－2)•f(2－1)，∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8.
2．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．
解析 若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f(x)为奇函数，故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要不充分条件．
3．若f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为________．
解析 因为f(x)为奇函数，且f(－2)＝0，所以f(2)＝0作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：
当－2<x0，所以xf(x)<0；
当0<x<2时，f(x)<0，所以xf(x)<0.故不等式xf(x)－1且a≠0)的图象过定点A，且点A在函数g(x)＝log3(x＋a)的图象上．
(1)求a的值；
(2)若g(x－12)＋g(x－4)＝f(－2)，求x值的集合．
解： (1)∵f(x)＝(a＋1)x＋2＋1过定点(－2,2)，∴A(－2,2)，
∵A点在函数g(x)＝log3(x＋a)的图象上，∴2＝log3(－2＋a )，
∴a－2＝9，∴a＝11.
(2 )由(1)知f(－2)＝2，且g(x)＝ log3(x＋11)，∵g(x－12)＋g(x－4)＝f(－2)，
∴log3(x－1)＋log3(x＋7)＝2，∴(x－1)(x＋7)＝9，即x2＋6x－16＝0，
解得x＝2或x＝－8.经检验x＝2是原方程的根，x＝－8是增根，
故x的值的集合为{2}．
变式训练：
已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)<b•g(x)，求实数b的取值范围；
(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．
解：(1)∃x∈R，f(x)<bg(x)⇒∃x∈R，x2－bx＋b0⇒b4.
故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．
(2)F(x)＝x2－mx＋ 1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－255≤m≤255时，
则必需m2≤0，－255≤m≤255⇒－255≤m≤0.
②当Δ>0，即m255时，设方程F(x)＝0的根为x1， x2(x1<x2)．
若m2≥1，则x1≤0，即m2≥1，Fǡ＝1－m2≤0⇒m≥2；
若m2≤0，则x2≤0，即m2≤0，Fǡ＝1－m2≥0⇒－1≤m<－255.
综上所述，m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．
例2 (;南师附中模拟)将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．
(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？
(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨 树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树 苗实际用时23小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．
解：(1)设A组人数为x，且0<xF(20)．
所以当A、B两组人数分别为20,32时，使植树活动持续时间最短．
(2)A组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367(小时)，
B组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323(小时),
所以植树活动所持续的时间为367小时．
巩固练习：
5．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的定义域及值域均为[－a，a](常数a>0)，其图象如图所示，则方程f(g(x))＝0根的个数为________．
解析 由f(x)的图象可知方程f(x)＝0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x))＝0，所以g(x)＝x1，g(x)＝x2或g(x)＝x3，因为－a<x1<a，g(x)∈[－a，a]，所以由g(x)的图象可知y＝x1与y＝g(x)的图象有两个交点，即方程g(x)＝x1有两个根，同理g(x)＝x2，g(x)＝x3各有两个根，所以方程f(g(x))＝0有6个根 ．
6．如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(f(x))＝0，f(g(x))＝0的实根个数分别为m，n，则m＋n＝________.
解析 由图象可知偶函数f(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(－2，－1)与(1,2)中，值域是[－1,1]；奇函数g(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(－1,0)与(0,1)中，值域是[－2,2]．①只有当f(x)＝0时，f(f(x))＝0，故实根个数m＝3.②存在3个实数x，使g(x)＝0，f(g(x))＝0；存在3个实数x，使g(x)∈(－2，－1)，f(g(x))＝0；存在3个实数x，使g(x)∈(1,2)，f(g(x))＝0，故实根个数n＝9.从而m＋n＝12.
7．若对于定义在R上的函数f(x)，存在常数t(t∈R)，使得f(x＋t)＋tf(x)＝0对任意实数x均成立，则称f(x )是t阶回旋函数，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f(x)＝2x是－12阶回旋函数；②f(x)＝sin(πx)是1阶回旋函数；
③f(x)＝x2是1阶回旋函数；④f(x)＝logax是0阶回旋函数．
解析 对于函数f(x)＝sin πx，由诱导公式可知当t＝1时满足f(x＋1)＋f(x)＝sin π(x＋1)＋sin πx＝0，故f(x) ＝sin πx是1阶回旋函数，②正确．
8．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f (x)的判断：
①y＝f(x)是周期函数；②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③y ＝f(x)在[0,1]上是增函数；④f(12)＝0.其中正确判断的序号是________．
解析 由f(x＋1)＝－f(x)可得f(x＋2)＝f(x)，①正确；因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，可知y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；显然③错误；由f(－12＋1)＝－f(－12)＝－f(12)＝f(12)得f(12)＝0，④正确．
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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第4讲 不等式（1）教学案
教学内容：不等式（1）
教学目标：
掌握不等式解法；基本不等式；线性规划；不等式的实际应用。
教学重点：
一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题。
教学难点：
不等式成立问题．
教学过程：
一、知识点复习：
1．必记的概念与定理
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
2．记住几个常用的公式与结论
(1)几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．
ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．
(2)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(3)简单分式不等式的解法
①变形⇒fxgx)⇔f(x)g(x)>0(0(a≠0)恒成立的条件是a>0，Δ<0.
②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是a<0，Δ0⇒－1<x<0或0<x0，则不等式f(x)≥x2的解集是________．
解析：依题意得x≤0x＋2≥x2或x>0－x＋2≥x2⇒－1≤x≤0或0<x≤1⇒－1≤x≤1.
三、例题教学：
例1 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
[解析] 由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.
∴f(x)＝x＋a22.又∵f(x)<c.∴x＋a22<c，即－a2－c<xm(2a•b＋1)(其中m是满足mm(2x＋1)⇔x＋2x－mx>0，m<－2时，不等式的解集为：(m，－2)∪(0，＋∞)．
(2)∵2∉A，∴4－4a＋a2－1<0，即a2－4a＋3<0，解得1<a0，即x＝1010，y＝105时成立．
法二：令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，
得6x2－3tx＋t2－1＝0，由于x是实数，故Δ＝9t2－24(t2－ 1)≥0，解得t2≤85，
即－2105≤t≤2105，即t的
最大值也就是2x＋y的最大值，为2105.
[方法归纳] 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要 求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须 验证等号成立的条件．
变式训练：
(1)设△ABC的BC边上的高AD＝BC，a，b，c分别表示角A，B，C对应的三边，则bc＋cb的取值范围是________．
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
解析：(1)因为BC边上的高AD＝BC＝a，.所以S△ABC＝12a2＝12bc•sin A，所以sin A＝a2bc.又因为cos A＝b2＋c2－a22bc＝12(bc＋cb－a2bc)，所以bc＋cb＝2cos A＋sin A≤5，同时bc＋cb ≥2，所以bc＋cb∈[2，5]．
(2)∵x>0，y> 0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.
∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx
＝135＋15 3xy＋12yx≥135＋15×23xy•12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，
∴3x＋4y的最小值为5.
巩固练习：
1．若不等式(12)x2－2ax＜23x＋a2对任意实数x都成立，则a的取值范围是________.
解析：先把不等式两边化成同底数，得(12)x2－2ax＜(12)－3x－a2.由指数函数的单调性，得x2－2ax＞－3x－a2，
即x2－(2a－3)x＋a 2＞0.由题意，解集为R，∴Δ＝(2a－3)2－4a2＝－12a＋9＜0，即a＞34.
2．若不等 式x2－kx＋k－1>0对x∈(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：不等式x2－kx＋k－1>0对x∈(1,2)恒成立可化为(1－x)k>1－x2对x∈(1,2)恒成立，即k0，y>0且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
解析： 法一：由2x＋8y－xy＝0得y(x－8)＝2x，
因为x>0，y>0，所以x－8>0，
y＝2xx－8，所以x＋y＝x＋2xx－8＝x＋2x－8＋16x－8＝(x－8)＋16x－8＋10≥2x－8 •16x－8＋10＝18(当且仅当x＝12，y＝6时取得最小值18)，
所以x＋y的最小值为18.
法二：由已知得2y＋8x＝1，所以x＋y＝(x＋y)(2y＋8x)＝10＋2xy＋8yx≥10＋216xyxy＝18(当且仅当x＝12，y＝6时取得最小值18)，所以x＋y的最小值为18.
4．关于x的不等式x2－4ax＋4a2＋a＋1a－1≤0不成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意，不等式x2－4ax＋4a2＋a＋1a－1≤0的解集为∅，
则x2－4ax＋4a2＋a＋1a－1>0对x ∈R都成立，
∴Δ＝16a2－4(4a2＋a＋1a－1)0，
∴a2－a＋1a－1>0.又∵a2－a＋1＝(a－12)2＋34>0恒成立，∴a－1>0，即a>1.
区域：不限地区
赣榆智贤中学学年度第二学期教学案例
编写时间：
号：NO:011
主 备 人：
复备人：
教学内容：不等式（2）
教学目标：
掌握不等式解法；基本不等式；线性规划；不等式的实际应用。
教学重点：
一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题。
教学难点：
不等式成立问题．
教学过程：
一、基础训练：
1．若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝∅，则实数p的取值范围是________．
解析 当A＝∅时，Δ＝(p＋2)2－4<0，∴－4<p－4.
2．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为________．
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1，又∵f(0) ＝3，f(2)＝3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.
3．方程x2－32x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是________．
解析 m＝x2－32x＝x－342－916，x∈[－1,1]．
当x＝－1时，m取最大值为52，当x＝34时，m取最小值为－916，∴－916≤m≤52.
4．已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，x2－2x＋1，x>0，若关于x的方程f2(x)－af( x)＝0恰有5个不同的 实数解，则a的取值范围是________．
解析 设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，
即f(x)＝0或f(x)＝a.如图，作出函数f(x)的图象，
由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，
故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有 5个不同的解，
则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0<ay，得x>12.
在△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2－2AB•BCcos 60°，∴(y－1)2＝y2＋4x2－2xy .
则y ＝4x2－12x－1.由y ＞ 0，及x>12，得x ＞ 1.
即y关于x的函数解析式为y＝4x2－12x－1(x ＞ 1)．
(2)M＝3(2y－1)＋4x＝12x2－3x－1－3＋4x.
令x－1＝t，则M＝12t＋1&#t－3＋4(t＋1)＝16t＋9t＋25≥49，
在t＝34，即x＝74，y＝152时，总造价M最低．
所以x＝74时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低．
巩固练习：
1．(;重庆改编)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于下列哪个区间________．(填序号①(a，b)和(b，c)内②(－∞，a)和(a，b)内
③(b，c)和(c，＋∞)内④(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析 由于a<b0，f(b)＝(b－c)(b－a)0.因此有f(a)•f(b)<0，f(b)•f(c)<0，
又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，
因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1<x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af( x)＋b＝0的不同实根的个数为________．
解析 因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝ 3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根的个数就是方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和，再结合图象可看出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x1和直线y＝x2共有3个不同的交点，故所求方程有3个不同的实根 ．
3．若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________．
解析 因为不等式等价于( －a＋4)x2－4x＋10，且有4－a>0，故0<a<4，不等式的解集为12＋a<x<12－a，14<12＋a<12，则一定有{1,2,3}为所求的整数解集．所以3<12－a≤4，解得a的范围为259，4916.
4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围________．
解析 因为f(x)＝(x－a)2＋2－a2，所以此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1.
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.综上，实数a的取值范围为[－3,1]．
区域：不限地区
赣榆智贤中学学年度第二学期教学案例
编写时间：
号：NO:012. .
主 备 人：
教学内容：不等式（3）
教学目标：
掌握不等式解法；基本不等式；线性 规划；不等式的实际应用。
教学重点：
一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题。
教学难点：
不等式成立问题．
教学过程：
一、基础训练：
1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a，ab，v的大小关系为________．
解析 设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2saba＋bs＝2aba＋ba2－a2a＋b＝0，∴v>a
2．若函数f(x)＝x＋1x－2 (x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.
解析 ∵x>2，∴f(x)＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，
当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4
3．(;南通模拟)设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为________．
解析 因为3a•3b＝3，所以a＋b＝1.
1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba•ab＝4，当且仅当ba＝ab，
即a＝b＝12时等号成立．
4．已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝x－2(x≥12)，则m与n之间的大小关系为________．
解析 m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥4(a>2)，
当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥12得x2≥14，
∴n＝x－2＝1x2≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.
二、例题教学：
例1 已知x＞0，a为大于2x的常数，
(1)求函数y＝x(a－2x)的最大值；
(2)求y＝1a－2x－x的最小值．
解：(1)∵x＞0，a＞2x，
∴y＝x(a－2x)＝12×2x(a－2x)≤122x＋a－2x22＝a28，当且仅当x＝a4时取等号，故函数的最大值为a28.
(2)y＝1a－2x＋a－2x2－a2≥2 12－a2＝2－a2.
当且仅当x＝a－22时取等号．故y＝1a－2x－x的最小值为2－a2.
变式训练：
已知关于x的不等式x＋2x2－1＋ax＋a>0.
(1)当a＝2时，求此不等式的解集；
(2)当a>－2时，求此不等式的解集．
解：(1) 当a＝2时，不等式可化为x＋2x－1x－2>0，所以不等式的解集{x|－2<x2}．
(2) 当a> －2时，不等式可化为x＋2x－1x－a>0，
当 －2<a<1时，解集为{x|－2<x1}；
当a＝1时，解集为{x |x>－2且x≠1}；
当a>1时，解集为{x|－2<xa}．
例2 某工厂利用辐射对食 品进行灭菌消毒，现准备在该 厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建造宿舍的费用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝k3x＋5(0≤x≤8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米的成本为6万元．设f(x)为建造宿舍与修路费用之和．
(1)求f(x)的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．解：(1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k＝ 800，
故f(x)＝8003x＋5＋5＋6x,0≤x≤8.
(2)因为f(x)＝8003x＋5＋2(3x＋5)－5≥80－5＝75，
当且仅当8003x＋5＝2(3x＋5)即x＝5时f(x)min＝75.
所以宿舍应建在离厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元．
巩固练习 ：
1．已 知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥22xy(当且仅当x＝2y时取等号)．
又由x＋22xy≤λ(x＋y)可得λ≥x＋22xyx＋y，
而x＋22xyx＋y≤x＋x＋2yx＋y＝2，
∴当且仅当x＝2y时，x＋22xyx＋ymax＝2.∴λ的最小值为2.
2．已知a>0，b>0，若不等式m3a＋b－3a－1b≤0恒成立，则m的最大值为________．
解析 因为a>0，b>0，所以由m3a＋b－3a－1b≤0恒成立得m≤(3a＋1b)(3a＋b)＝10＋3ba＋3ab恒成立．因为3ba＋3ab≥2 3ba•3ab＝6，
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋3ba＋3ab≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16.
3．若正实数x， y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析 ∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，
∴22xy＋6≤xy，即xy－22xy－6≥0，解得xy≥18.
∴xy的最小值是18.
4．已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．
解析 根据函数f(x)是偶函数可得ab－ a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点 的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4ab，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.
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