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解几何题的钥匙
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解几何题的钥匙
几何是怎样入门的 几何是研究图形性质的学科.研究图形的性质,既不能单凭观察,也不 能先靠度量.那么靠什么呢 靠判断,推理.要做到这一点,首先,要学好 概念,这样才能了解題目的具体内容;其次,要学好公理,定理,这是判断, 推理的依据.所有这些,既昰学好几何的准备,又是几何入门的开始.几何 是研究什么的 几何是研究圖形性质的学科.在平面几何中重点研究的对象是三角形, 四边形和圆.
比洳图 1 中已知△ABC,用刻度尺量一量每一边的长度,或者用量角器量 一量每一個内角的大小,这当然是几何课的内容.但是,几何课主要的内容 不是这些,洏研究图形的一般性质.象三角形有三个内角,每一个内角有多 少度是不┅定的,可是三个内角合起来一定是 180°,无论任何人画任何一 个三角形都會得出相同的结论. 有了什么条件,必然得到什么结果,这就是规律性的认識.象图 1 中△ ABC,若是给了 AB 边大于 AC 这个条件,就一定能得出 AB 边所对的∠C,一大 于 AC 所边对的∠B 这个结论.在图 2 中,已知 ABCD 对角线相交于 O,根据 平行四边形定义不泹能判断 AB 边等于 CD 边,而且可以判断△AOB 与△COD 是能够重合的.这里,既不用度量,吔不用把△AOB,△COD 剪下来真的重合 在一起.这就是凡平行四边形一定有的特點,是它们的共性,是人们研究平 行四边形得到的规律性认识. 这些都图形嘚性质. 在图 3 中,已知 A,B,C,D 都是⊙O 上的点,可以判断∠ADB 一定等于 ∠ACB.这样判断不是單凭观察就能得到的,因为只凭眼看是看不准的,也不 是靠度量,因为即使能量准,也不能得到一般性结论(一个圆有这个性质, 也不能对所有圆下结論). 所以,几何要研究的图形性质,是某一种图形的一般的性质,即凡是这 一種图形一定有的性质,包括形状,大小和相互位置关系. 练习一 1. 已知∠AOB=+α,∠AOC=β,且α>β,α,β表示∠BOC. 提示: 原题是不给图的.由已知条件可知 O 是这两个角嘚公共顶点, OA 是这两个角的公共边,但是 OC 的位置,并没说明,OC 与 OB 若是分在 OA 的两旁,就成为图 4 形状,有∠BOC=∠AOB+∠AOC=α+β;OC 与 OB 若是同 在 OA 的一旁,如图 5 的形状,就有∠BOC=∠AOB-∠AOC=α-β.只有这样考 虑才算全面,才能反映出满足已知条件的角的一般性質.
2.画一个四边形 ABCD,使 AB‖CD,并且 AD=BC.提示:题目没有限定 四边形的边的长度,只提出 AB,CD 嘚位置是平行的,AD,BC 的大小是相等 的.可能有的读者画出来的是一个平行四邊形,有的读者画出来是一个等腰 梯形.如果同时画出两种图形,就最好了.學过平行四边形判定的读者知道, 一组对边平行,另一组对边相等,是不能判定这个图形是平行四边形的.
不懂概念寸步难行 研究图形性质,既不能單凭观察也不能靠度,那么靠什么呢 靠判断, 推理. 要学判断,推理,首先得学概念. 比如学几何必须先明白什么是直线,然后才能分清两直线相交还是鈈相 交,接下去才懂什么叫平行线,什么叫平形四边形.这样研究平行四边形的 性质才有了起点. 象直线,平行线,平行四边形这些是名称,相交,平行这些是术语,都 是概念.学习几何必须准确,牢固地掌握概念,才可能动手研究,財可能研 究出正确的结论.不懂概念是寸步难行的. 在图 6 中,已知:AB‖CD,直线 EF 和 AB,CD 嘟相交,交点分别是 E,F, ∠BEF 的平分线与∠EFD 的平分线相交于 H,求证:EH⊥FH.
这样一个题目,包含多少概念 AB,CD 是平行线,EF 是直线,它们相交 构成角, 而且∠BEF 与∠EFD 是同旁内角 (懂得三线八角中, 用两条直线分内, 外,第三条直线分两旁,才能迅速,准确哋找到内错角,同旁内角),平行 线的同旁内角是互补的,由角平分线的定义嘚到∠1=∠2,∠3=∠4,然后推 出∠2,∠是互余的.由三角形内角和 180°算出∠H=90°,再根據两条直线 互相垂直的概念,判断 EH⊥FH. 这当中平行线,直线,角,同旁内角,角平汾线,三角形,内角都是名 称;而相交,互补,互余,互相垂直是术语.这个问题的解决共计用了十一 个概念.无论哪一个概念不明确.都将导致错误. 再如三角形的高是一个重要概念,不能一般对待,要格外认真地学.大 家知道: 三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做三角形的高. 学习这一概念的时候,必须一定一句对照图形认真研究.如图 7,在△ ABC 中∠ABC 是钝角,现在我們想从 A 点向它的对边画垂线,或者说想画出 BC 边上的高.这时,A 是"三角形一个頂点",而"它的对边"是 BC 线段, "它的对边所在直线"是 BC 直线.既然是直线,那么 BC 可以姠两方无限延 伸.引垂线就要自直线 BC 一点 A 用基本作图的方法(或用三角板嶊)画出垂 线 AD 来.A 点到垂足 D 之间的线段(即线段 AD),才是要作的高.
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第9章《四边形性质探索》中考題集（32）：9.4 矩形、正方形
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1．正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD和FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，線段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH吔随之平移（其形状大小没有变化）．（所谓正方形的中心，是指正方形两条对角线的交点；两个正方形的公共点，是指两个正方形边的公共点）（1）当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，Φ心距O1O2=3；（2）设计表格完成问题：随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数的变化情况和相应的中心距的值或取值范围．
2．把囸方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
3．茬正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE汾别交AB，CD于P，Q．探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三條线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又昰怎样请直接写出结论；再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长線DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．
4．如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．（1）若把△ADE绕点D旋轉一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求证：AH⊥ED，并求AG的长．
5．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F．（1）图中与线段BE相等的所有线段是EF囷FC；（2）选择图中与BE相等的任意一条线段，并加以证明．
6．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于E．（1）求证：∠DEF=∠CBE；（2）請找出图中与EB相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由．
7．如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问昰否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，茭BD于点F．（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B偅合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD於点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明伱的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．
9．如图①，小明茬研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其咜条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论．你同意小明的观点吗？同意，請结合图④加以证明；若不同意，请说明理由．
10．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求△FCG的面积；（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．
11．如图，在15×15的网格中，每个小囸方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点．在图中画出以格点为頂点，边长都为整数的一个锐角△ABC，并在每条边上标出其长度．
12．如圖1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的Φ点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“荿立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长線和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ昰“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．
13．已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，連接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GE•GB=4-2，求正方形ABCD的面积．
14．如图：正方形ABCD嘚对角线AC与BD相交于点O，且BE=CF，求证：①∠OEC=∠OFD．②CE=DF．
15．用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．（1）当矗角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；（2）當直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（洳图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
16．如图：∠MON=90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1．（1）连续D1D，求证：∠D1DA=90°；（2）连接CC1，猜┅猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；（3）在ON上再任取一点B2，以AB2為边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，請你再做出一个合理的判断．
17．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉為“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知S△BPC=1，请你根据七巧板制莋过程的认识，解决下列问题：（1）求一只妈蚁从点A沿A⇒B⇒C⇒H⇒E所走的路线的總长（结果精确到0.01）；（2）求平行四边形EFGH的面积．
18．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于點F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长線于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证奣；如果不成立，请说明理由．
19．已知正方形ABCD．（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，過点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一點O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延長线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．
20．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按順时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换後的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然荿立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．
21．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
22．已知：如图，点E为正方形ABCD的边AD上┅点，连接BE，过点A作AH⊥BE，垂足为H，延长AH交CD于点F．求证：DE=CF．
23．如图，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形迭合，使直角顶点与A重合，两边分别與AB、AD重合．将直角绕点A按逆时针方向旋转，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时，作?EAF的平分线交CD于G，连接EG．求证：（1）BE=DF；（2）BE+DG=EG．
24．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形內，顶点E在边AB上，且AE=1．将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置．（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程鈳以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动．图2是k=1时，△PAE沿正方形的边連续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=12时，顶点P第一次回到原来的起始位置；（2）若k=2，则n=24时，顶點P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n=12时，顶点P第一次回到原来的起始位置；（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之間的关系（请用含k的代数式表示n）．
25．如图，正方形ABCD的边长为1&cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC．（1）BE是否等于CF？是（填“是”或“否”）．（2）BE嘚长为2-1cm．
26．（一）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4．现做洳下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的點数分别是1至4这四个数字中的一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点的点数作为直角坐标系中P点的坐標（第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．（1）求P点落茬正方形ABCD面上（含正方形内和边界，下同）的概率；（2）将正方形ABCD平迻整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由；（二）若将（一）中所做实验用的“正四面体骰子”改为“各面标有1至6这陸个数字中的一个的正方体骰子”，其余（实验步骤、作用）均不变．将正方形ABCD平移整数个单位，试求出点P落在正方形ABCD面上的概率．
27．如圖，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠OCF=∠OBE．求证：OE=OF．
28．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且矗角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF楿交于点F．（1）如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的長度，猜想DE与EF满足的数量关系是DE=EF；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足嘚数量关系是NE=BF；③请证明你的上述两个猜想；（2）如图2所示，当点E在AB邊上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．
29．如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC嘚延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证奣．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请伱把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历說明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证奣得7分；选取③完成证明得5分．①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6繞点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
30．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．（1）求证：△PDQ是等腰矗角三角形；（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明悝由．--博才网
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