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－苏格拉底
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孪生素数猜想
- 卢昌海 -
本文撰写于 2003 年 4 月， 是本站的第一篇数学科普， 填补了作为本人兴趣主要组成部分之一的数学在本站的空白。
自那以后， 本文以 “补注” 形式对若干后续进展作了简单提及， 并于 2014 年 9 月进行了不改变基本结构的轻微修订。
2003 年 3 月 28 日， 在美国数学研究所 (American Institute of Mathematics) 位于加州帕洛阿尔托 (Palo Alto) 的总部，
一群来自世界各地的数学家怀着极大的兴趣聆听了圣荷西州立大学 (San José State University) 数学教授戈德斯通 (Daniel Goldston)
所做的一个学术报告。 在这个报告中， 戈德斯通介绍了他和土耳其海峡大学 (Bo?azi?i University) 的数学家伊尔迪里姆
(Cem Y?ld?r?m) 在证明孪生素数猜想 (twin prime conjecture) 方面所取得的一个进展。
这一进展——如果得到确认的话——将把人们在这一领域中的研究大大推进一步。
那么， 什么是孪生素数 (twin prime)？ 什么是孪生素数猜想？ 戈德斯通和伊尔迪里姆所取得的进展又是什么呢？
本文将对这些问题做一个简单介绍。
要介绍孪生素数， 首先当然要说一说素数 (prime number) 这一概念。 素数是除了 1 和自身以外没有其它因子的自然数。
在数论中， 素数可以说是最纯粹、 也最令人着迷的概念。 关于素数， 一个最简单的事实就是：
除了 2 以外， 所有素数都是奇数 (因为否则的话， 除了 1 和自身以外还会有一个因子 2， 从而不满足定义)。
由这一简单事实可以得到一个简单推论， 那就是： 大于 2 的两个相邻素数之间的最小可能的间隔是 2。
所谓孪生素数指的就是这种间隔为 2 的相邻素数， 它们之间的距离已经近得不能再近了，
就象孪生兄弟一样。 不难验证， 在孪生素数中， 最小的一对是 (3, 5)， 在 100 以内则还有
(5, 7)、 (11, 13)、 (17, 19)、 (29, 31)、 (41, 43)、 (59, 61) 和 (71, 73) 等另外 7 对， 总计为 8 对。
进一步的验证还表明， 随着数字的增大， 孪生素数的分布大体上会变得越来越稀疏，
寻找孪生素数也会变得越来越困难。
那么， 会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？
这个问题让我们联想到素数本身的分布。 我们知道， 素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏的，
因此也有一个会不会在超过某个界限之后就再也不存在的问题。 不过幸运的是， 早在古希腊时代， 著名数学家欧几里德 (Euclid)
就证明了素数有无穷多个 (否则的话——即假如素数没有无穷多个的话——今天的许多数论学家恐怕就得另谋生路了)。
长期以来数学家们普遍猜测， 孪生素数的情形与素数类似， 虽然其分布随着数字的增大而越来越稀疏， 总数却是无穷的。
这就是与哥德巴赫猜想 (Goldbach conjecture) 齐名、
集令人惊异的表述简单性与令人惊异的证明复杂性于一身的著名猜想——孪生素数猜想。
孪生素数猜想： 存在无穷多个素数 p,
使得 p+2 也是素数。
究竟是谁最早明确地提出这一猜想我没有考证过， 但 1849 年法国数学波利尼亚克 (Alphonse de Polignac)
曾提出过一个猜想： 对于任意偶数 2k,
存在无穷多组以 2k 为间隔的素数。
这一猜想被称为波利尼亚克猜想 (Polignac's conjecture)。
对于 k=1， 它就是孪生素数猜想。 因此人们有时把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。
值得一提的是， 人们不同的 k 所对应的素数对的命名是很有趣的： k=1 (即间隔为 2) 的素数对我们已经知道叫做孪生素数；
k=2 (即间隔为 4) 的素数对被称为 cousin prime (表兄弟素数)， 比 “孪生” 稍远；
而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟被称为 sexy prime！ 这回该相信 “书中自有颜如玉” 了吧？
不过别想歪了， 之所以称为 sexy prime， 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 “6”
(因此 sexy prime 的中文译名乃是毫无联想余地的 “六素数”)。
孪生素数猜想还有一个更强的形式， 是英国数学家哈代 (Godfrey Hardy) 和李特伍德 (John Littlewood) 于 1923 年提出的，
有时被称为哈代-李特伍德猜想 (Hardy–Littlewood conjecture)， 或强孪生素数猜想 (strong twin prime
conjecture)。
这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多组， 而且还给出其渐近分布为：
其中 &2(x) 表示小于 x 的孪生素数的数目，
C2 被称为孪生素数常数 (twin prime constant)， 其数值为：
强孪生素数猜想对孪生素数分布的拟合程度可以由下表看出：
很明显， 拟合程度是相当漂亮的。 假如可以拿观测科学的例子来作比拟的话，
如此漂亮的拟合几乎能跟英国天文学家亚当斯 (John Couch Adams) 和法国天文学家勒维耶 (Urbain Le Verrier)
运用天体摄动规律对海王星位置的预言， 以及爱因斯坦 (Albert Einstein) 的广义相对论对光线引力偏转的预言等最精彩的观测科学成就相媲美，
可以算同为理性思维的动人篇章。 这种拟合对于纯数学的证明来说虽起不到实质帮助， 却大大增强了人们对孪生素数猜想的信心。
在这里还可以顺便提一下， 强孪生素数猜想所给出的孪生素数分布规律可以通过一个简单的定性分析来
“得到”： 我们知道， 素数定理
(prime number theorem) 表明对于足够大的 x,
在 x 附近素数的分布密度大约为 1/ln(x)， 因此两个素数位于宽度为
2 的区间之内 (即构成孪生素数) 的概率大约为 2/ln2(x)。 这几乎正好就是强孪生素数猜想中的被积函数——当然，
两者之间还差了一个孪生素数常数 C2，
而这个常数显然正是哈代和李特伍德的功力深厚之处。
除了强孪生素数猜想与孪生素数实际分布之间的漂亮拟合外，
对孪生素数猜想的另一类 “实验” 支持来自于对越来越大的孪生素数的直接寻找。
就象对大素数的寻找一样， 这种寻找在很大程度上成为了对计算机运算能力的一种检验。
1994 年 10 月 30 日， 这种寻找竟然使人们发现了英特尔 (Intel) 奔腾 (Pentium) 处理器浮点除法运算的一个瑕疵 (bug)，
在工程界引起了不小的震动。 截至 2002 年底， 人们发现的最大的孪生素数是：
( & 2169690 — 1,
& 2169690 + 1)
这对素数中的每一个都长达 51090 位。 许多年来这种纪录一直被持续而成功地刷新着，
它们对于纯数学的证明来说虽也起不到实质帮助，
却同样有助于增强人们对孪生素数猜想的信心。
好了， 介绍了这么多关于孪生素数的资料， 现在该说说人们在证明孪生素数猜想上所走过的征途了。
迄今为止， 在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。 第一类是非估算性的，
这方面迄今最好的结果是 1966 年由中国数学家陈景润利用筛法 (sieve method)
所取得的。
陈景润证明了： 存在无穷多个素数 p， 使得 p+2 要么是素数， 要么是两个素数的乘积。
这个结果的形式与他关于哥德巴赫猜想的结果很类似。
目前一般认为， 由于筛法本身所具有的局限性， 这一结果在筛法的范围之内已很难被超越。
证明孪生素数猜想的另一类结果则是估算性的， 戈德斯通和伊尔迪里姆所取得的结果就属于这一类。
这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔， 更确切地说是：
翻译成白话文， 这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。
很明显， 孪生素数猜想要想成立， &D 必须为 0。
因为孪生素数猜想表明 pn+1—pn=2 对无穷多个 n 成立，
而 ln(pn)&&， 因此两者之比的最小值对于孪生素数集合——从而对于整个素数集合也——趋于零。
不过要注意， &D=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件， 而不是充份条件。
换句话说， 如果能证明 &D&0， 则孪生素数猜想就被推翻了； 但证明了 &D=0， 却并不意味着孪生素数猜想一定成立。
对 &D 最简单的估算来自于素数定理。 按照素数定理， 对于足够大的 x,
在 x 附近素数出现的几率为 1/ln(x)，
这表明素数之间的平均间隔为 ln(x)， 从而 (pn+1—pn)/ln(pn)
给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值， 其平均值显然为 1。
平均值为 1， 最小值显然是小于等于 1， 因此素数定理给出 &D≤1。
对 &D 的进一步估算始于哈代和李特伍德。 1926 年， 他们运用圆法 (circle method) 证明了假如
(generalized Riemann hypothesis) 成立， 则 &D≤2/3。
这一结果后来被苏格兰数学家兰金 (Robert Alexander Rankin) 改进为 &D≤3/5。
但这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的 ，
因此只能算是有条件的结果。 1940 年， 匈牙利数学家埃尔德什 (Paul Erd?s) 利用筛法率先给出了一个不带条件的结果： &D&1
(即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了)。 此后意大利数学家里奇 (Giovanni Ricci) 于 1954 年，
意大利数学家蓬皮埃利 (Enrico Bombieri)、 英国数学家达文波特 (Harold Davenport)
于 1966 年， 以及英国数学家赫克斯利 (Martin Huxley) 于 1977 年， 分别将 Δ 的估算值推进到了
&D≤15/16， &D≤(2+&3)/8≈0.4665， 以及 &D≤0.4425。
戈德斯通和伊尔迪里姆之前最好的结果则是德国数学家梅尔 (Helmut Maier) 于 1986 年得到的 &D≤0.2486。
以上这些结果都是在小数点后面做文章， 戈德斯通和伊尔迪里姆的结果将这一系列努力大大推进了一步，
并且——如果得到确认的话——将在一定意义上终结对 &D 进行数值估算的长达几十年的漫漫征途。
因为戈德斯通和伊尔迪里姆所证明的结果是 &D=0。
当然， 如我们前面所述， &D=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件，
而不是充份条件， 因此戈德斯通和伊尔迪里姆的结果即便得到确认， 离最终证明孪生素数猜想仍有相当的距离，
但它无疑将是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。
一旦 &D=0 被证明， 下一个努力方向会是什么呢？ 一个很自然的方向将是研究 &D 趋于 0 的方式。
孪生素数猜想要求 &D ~ [ln(pn)]—1
(因为 pn+1—pn=2 对无穷多个 n 成立)。
戈德斯通和伊尔迪里姆的结果所给出的则是 &D ~ [ln(pn)]—1/9，
两者之间还有不小的差距。
但是看过戈德斯通和伊尔迪里姆手稿的一些数学家认为， 戈德斯通和伊尔迪里姆所用的方法还存在改进空间。
也就是说， 他们的方法还有可能对 &D 趋于 0 的方式作出更强的估计。
从这个意义上讲， 戈德斯通和伊尔迪里姆这一结果的价值不仅仅在于结果本身， 更在于它有可能成为一系列未来研究的起点。
这种带传承性的系列研究对于数学来说有着双重的重要性， 因为一方面， 这种研究所可能取得的新结果将是对数学的直接贡献；
另一方面， 这种研究对戈德斯通和伊尔迪里姆的结果会起到反复推敲与核实的作用。
现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。
著名的四色定理 (four color theorem) 和费马大定理 (Fermat's Last Theorem)
都曾有过一个证明时隔几年、 甚至十几年才被发现错误的例子。 因此，
一个复杂的数学结果能成为进一步研究的起点， 吸引其它数学家的参与，
对于最终判定其正确性具有极其正面的意义。
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品评校花校草，体验校园广场　　张益唐是个对数字“极其敏感”的人，他能把大学同班同学的出生日期背得“滚瓜烂熟”，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。　　同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受过这样的“待遇”。但他发现，七八年前张益唐突然“消失”了。因为，从那时起，他再没收到过张的生日祝福，“给他发邮件也没再回过”。　　5月16日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词：“谢谢”。在接受中国青年报记者采访时，沈捷回忆说，此前一天，他和夫人就张益唐在孪生素数方面取得的突破向他发去邮件道贺。　　5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。　　在此之前，“年近6旬”的张益唐在数学界可以说是个名不见经传的人。　　多年前曾与张益唐接触过的浙江大学数学系教授蔡天新也以为“他早从数学圈消失”了，蔡说已经“近30年没他的消息了”，没曾想“他突然向孪生素数猜想走近了一大步”——　　素数是指正因数只有1和本身即只能被自身和1整除的正整数，“孪生素数”则是指两个相差为2的素数，例如3和5，17和19等。而随着素数的增大，下一个素数离上一个素数应该越来越远，故古希腊数学家欧几里得猜想，存在无穷多对素数，他们只相差2，例如3和5，5和7，×和×等等。　　这就是所谓的孪生素数猜想，它与黎曼猜想、哥德巴赫猜想一样让无数数论学者为之着迷。　　数学家需要做的，是一个证明！　　然而，人们甚至不知道它的“弱形式”是否成立，用《数学文化》主编、香港浸会大学理学院院长汤涛的话说就是——能不能找到一个正数，使得有无穷多对素数之差小于这个给定正数，在孪生素数猜想中，这个正数就是2。　　张益唐找到的正数是“7000万”。　　尽管从2到7000万是一段很大的距离，《自然》的报道还是称其为一个“重要的里程碑”。正如美国圣何塞州立大学数论教授Dan Goldston所言，“从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。”　　此前，Goldston及其两位同事提出，存在无穷多个之差小于16的素数对，给这项猜想写下一个重要里程碑。但是，该推论尚不知如何证明。　　5月13日，张益唐在美国哈佛大学发表主题演讲，介绍了他的这项研究进展。《自然》的报道称，如果这个结果成立，就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。换言之，张益唐将给孪生素数猜想证明开一个真正的“头”。　　有人打了这样一个比方，张所做的工作，相当于1920年挪威的布朗证明了“9+9”，“开启”了哥德巴赫猜想的证明，接下来科学家们陆续证明了“7+7”、“6+6”……直到46年后的陈景润证明攻下离“1+1”一步之遥却或是最难的“1＋2”。　　今天，沈捷正在武汉参加国际数学模型与计算研讨会，他告诉记者，他从会上获悉的评价是“这可以说是华人数学家有史以来证明最好的结果。”　　张益唐在北大的研究生导师、著名数学家潘承彪听闻这一消息后“十分高兴”，他随即给蔡天新发信并附上审稿人、美国科学院院士IWANICE的评价：证明无误、非常漂亮，相信不久会有很多人把“7000万”这个数字“变小”……　　根据加拿大滑铁卢大学统计与精算学系助理教授王若度的说法，世界顶级数学期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）将准备接受张益唐作出证明的这篇文章，审稿人还评价“其证明是对的，并且是一流的数学工作”。 　　学界沉浸在一场重大发现的狂欢中。　　与此同时，人们却惊讶地发现，除了这篇自然报道，不管是通过哪种搜索引擎，都很难找到有关“张益唐”个人的信息——　　“张益唐，华人数学家。1978年进入北京大学数学科学学院攻读本科，1982年读硕，后在美国新罕布什尔大学任教”。5月15日，也就是自然杂志报道发出的第二天，不知在哪位网友的编撰下，这位被称作“一夜成名”的科学家有了这样的百科介绍。　　当天，北京大学官网证实了这一信息，并称“北大数学科学学院78级校友张益唐在孪生素数研究方面取得突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式”。然而，针对张个人经历的介绍也是只言片语。　　很明显，张益唐从北大硕士研究生毕业，1992年在普渡攻读博士学位后，这位数学研究者去干了什么，则鲜为人知，甚至“连他现在是哪国国籍我都不知道”，沈捷说。　　即使是在衡量基础研究的论文阵地上，张益唐也显得异常“低调”——在国际数学领域重要的检索系统Zentralblatt MATH数据库中，他名下只有两篇文章，一篇是1985年发表在国内的《数学学报》上，另一篇是张2001年在美国时发表在《Duke Math》上。　　这也被一些学者分析是“张益唐到目前仍然没有拿到美国大学终身教职”的原因。今天，新罕布什尔大学向中国青年报记者证实了张益唐的教职为“讲师”（lecturer），并已经在该校数学系“待了将近十年”。　　美国的“讲师”说白了就是临时教学职位，“收入比起同资历教授（包括助理教授）差很多，教学任务也远远比教授们重。”王若度说，“从科研上来说，则是完全得不到任何支持。例如我所在的学校，讲师往往由不具有博士学位的教师来担任，教学任务是普通终身教职系统内教员的两三倍。”这意味着，张益唐的科研时间“很难得到保证”。　　“他就是执着于攻大难题，不肯干小的。”张益唐的另一名同班同学、著名作家王小东说，“我认为他是唯一一个数学天分比我高的同学。曾十分坎坷，现在终于有了成就！”　　这一点与沈捷的印象一致，他和大学时住在其隔壁宿舍的张益唐是“非常要好的朋友”。据他回忆，当时，不管是上课还是考试，年龄比他大4岁的张益唐总是“领先一截”，“他很爱自学，我们难题解不出来，都找他”。　　沈捷说，他虽然很有才华，但更靠自己的汗水，如果说一个天才做出这样一个成果，或许是碰巧，但他不一样，“他可是一直在做这个！”而且，“他读书很多，对历史很有见解”。　　至于经历上的“坎坷”，则是去美国以后的事了——　　沈捷回忆，在普渡大学攻读博士时，张益唐师从一位代数几何方面的华人学者，“他其实最感兴趣的还是‘纯数字’，就像数论，但他之所以选择这个专业，我猜想多半是因为出国前不太懂国外（在专业上）的安排。”沈捷说。　　然而，在作博士论文时，“不服输”的张益唐还是选择了被称作代数几何领域最难攻破的“雅克比猜想”。　　最终，他做出一个“结果”来，但“并未发表”。沈捷告诉记者，在他的印象里，张益唐最终拿到了普渡大学的博士学位，但博士论文“因为自己不满意而没有发表”。　　那年是1992年，是沈捷眼中张益唐最难熬的一段时间，“找工作四处碰壁，就因为没做出短期的好成果来”。　　沈捷记得，张益唐毕业以后，把全部家当放到房车里，便开着车去多个大学一边求职，一边“讲这个结果（指雅克比猜想的成果）”。其中一段时间，张益唐还来到沈捷当时任教的宾夕法尼亚州立大学。“他住我这边的那段时间，我能真切地感受到他追求‘完美’的性子，有一位教授评价他做出的是雅克比猜想证明中最好的一个，但因为其中一个细节未完全搞清楚，就被他看作是‘一般的成果’，死活不愿意发表。”　　当时，包括王小东、沈捷在内的同班同学还知道的一件事是，曾任他们数学系主任的著名数学家丁石孙“非常看重张益唐”，并“力邀他回北大”，但张最终还是没回来。　　沈捷后来了解，“有人说他是要面子，我觉得他是不甘心，自己觉得没做成一些成绩就回国，太不甘心。”
　　他并非陈景润式“性格孤僻”的数学家，沈捷告诉记者：“他尽管有一点自负，毕竟很聪明，但是他待人很亲和。在我看来，他除了太痴迷于数字，其他和我们都一样。”　　事实上，在今年5月1日，新罕布什尔大学就在其官网登出了张益唐要发表孪生素数这一成果的消息，上面写着：经过多天数学界的持续关注，张益唐更愿意回到他此前“不为人所注意”的状态。　　“我其实是个害羞的人。”张益唐说。
楼主发言：1次 发图：0张
　　我也是普渡的，总觉得照片中的他像当年普渡一起踢球的球友。他当年踢球吗？好像大家那时就叫他张教授。
　　　　　　
　　张益唐造假事件是陈景润造假事件的延续，是一场人类无耻品格的短暂上风，是对科学和正义的宣战，是公然挑衅人类基本良知的傲慢，是科学界崇尚奢靡的人性堕落。　　.cn/post/1/1/2/.html
　　你写再多但是没人看也是个问题，你可以试加一下这个扣号，　　　　（十位）
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