高中数学立体几何问题

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2014年高考数学二轮复习精品资料 难点10 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题.
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立体几何问题
1 把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成60度的二面角，则A到BC的距离为？
2 把边长为a的正三角形ABC沿高折成60度的二面角，则A到BC的距离为？
先帮我解决这个问题：折好后的图形是怎么样的啊，能否帮我画一画？还有折好后哪个角是60度的？
然后帮我解一下这两道题，谢谢了！
1 把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成60度的二面角，则A到BC的距离为？
还有折好后哪个角是60度的？
∠BDC＝60°。图1
△BDC为正三角形，边长为a/2，△BAC为等腰三角形，腰长＝a，A到BC的距离AE为其底BC上的高，AE^2=AB^2-BE^2=a^2-(a/4)^2,AE就有了。
2 把边长为a的正三角形ABC沿高折成60度的二面角，则A到BC的距离为？
这题的意思是除了第一题的高AD外，还可能是高BD或CD，但是这两种情况A到BC的距离是一样的，下以BD为高图2，∠ADC＝60°。
△ADC为正三角形，边长为a/2，△BAC为等腰三角形，腰长＝a，A到BC的距离AE为其
腰BC上的高，作BF⊥AC，BF就是上一题的AE，现在用△BFA∽△AEC，求出AE即可。
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版权所有Copyright@ . All Rights Reserved.简洁处理立体几何问题的几种途径
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解决立体几何问题常有二条途径:一是几何法,二是向量法。几何法主要以逻辑推理论证的程序步骤去解决问题,对培养同学細抽象思雜力般随象能力大有裨益。向量法因选取“工具”+同,可分为基向量法和坐标向量法。基向量法是以“基底”为工具进行关键是将所解决问题中涉及的所有向最用一组基底来表示,这一组基底最好已知(或可求〉它们的模麵两向tt的夹角。常用向最的数量积来解决两直线(或平面)的平行与垂直问题,求解空问角和空间距离问题。坐标向ffl法是以“坐标”为工具进行的代数运算推理,在给出的空间图形中建立合适的空间直角坐标系,将向fi用坐标表示。常通过共线向量证明平行,通过数ffl积为零证明垂直,利用直线的方向向■夹_异面直线所成的角,利用平面...&
(本文共1页)
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向量知识在立体几何中占有重要地位,合理的使用能起到化繁为简的效果.法向量更是打破了立体几何的传统解法,它可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象,直接使用代数运算来解决立体几何中的距离和角的大部分问题.下面我们来看一下法向量在解题中的应用.一、点到平面的距离性质1(如图所示)设点P在平面α外,点A是平面α内的任意一点,n!是平面α的一个法向量,则点P到平面α的距离d=PQ="P#A·n!n!.例1如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,求O点到平面ABC的距离.分析点到平面的距离有多种求法,可使用直接作图法,也可使用等积法本题中由于OA,OB,OC两两垂直,适合建立空间坐标系,使用法向量来求解是直接有效的方法.解以O为原点,OB,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,1,0)设平面ABC的法向量为n!=(...&
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1研究问题向量及其代数运算对于刻画几何对象以及几何度量问题有一套独特的体系和方法.应用空间向量理论改革立体几何教学一直是大家关注的问题——用向量法处理立体几何的教学效果怎样?向量法与传统综合法在教学中有冲突吗?因此,我们的研究问题是:(1)在处理能用两种方法解决的立体几何问题(位置关系与角的度量)时,学生的行为表现是什么?学生喜欢用哪种方法?(2)学生在处理这类立体几何问题时的错误类型主要是什么?2研究方法2.1测试卷的编制测试卷主要目的是检验用向量法处理立体几何教学的效果.试卷包括5个问题,分别涉及直线与平面的位置关系(问题1,3)、点到平面的距离(问题2)、平面与平面的夹角(问题4)、两条异面直线的夹角(问题5).这些问题同时能用综合法和向量法解决.用向量法处理不必添加繁杂的辅助线,只要建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标,然后利用向量运算解决.在进行正式测试之前,都利用非样本对象进行了预测试.2.2收集数据的方法数据...&
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在立体几何学习中我们不仅要掌握好相关的公理、定理、概念、公式等，同时也要熟悉并掌握解决立体几何问题的一些解题方法.下面举例说明.1巧用对称对称性是几何特有的属性之一，性，能有效地转化问题，化难为易.;g例1如图1，在棱长为。的正方体Acl中，求直线马c式到平面A，BD的距离.分析由于直线BIC与平面AIBD平行，故直线B，C到通平面A，BD的距离等价于点C到平面AIBD的距离.连接AC恰当利用对称一洲月、、︸州/丑一一刀--\、j图D\-。J:砚八划以尸产一交BD于点O，则O为AC的中点，即点A与点C关于O点对称，所以点A到平面AIBD的距离与点C到平面A，BD的距离相等.为此，问题转化为求点A到平面A，BD的距离.解连接A，O，过A作AH土A，O于H点，因为BD土AO，BD土AAI，所以BD土平面Al AO，所以平面A，BD土平面A，AO，则AH土平面A，BD，即AH即为点A到平面AIBD的距离.在Rt△A IA。中，AAI一...&
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将复杂的问题简单化,陌生的问题熟悉化,立体的问题平面化是简化立体几何问题的三个重要手段,下面谈谈常用的几种方法.方法一:借助基本模型正方体、正棱柱、正棱锥等几何体的线线、线面、面面关系明朗,内在联系清晰,我们可以把它们看作立体几何的基本模型.若题目中的几何问题能放入基本模型中解决,或是放在基本模型的变化图形中解决,这样我们可以克服几何环境的分散、生疏以及定位不准的困难.具体操作时,我们主要通过割、补、嵌的方法.A BDCE F例1.如上图所示,ABCD为边长为3的正方形,EF到面ABCD的距离h为2,面EAD⊥面ABCD,且EF∥AB,EF=32,求此多面体体积.分析:该多面体没有公式直接去计算体积,我们可以通过补或割的方法,将该多面体放入直三棱柱中去解决.解一:如图1,延长EF到G,使得EG=AB,连接GB、GC.此时我们就把该多面体补成了直三棱柱.A BDCE F G图1由V求=V三棱柱ADE-BCG-V三棱锥F-BCG,得...&
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