已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=又2Sn/an*)，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足(2an-1)(2bn-1)=1，Tn为{bn}的前n项和，试比较Tn与log2(2an+1)的大小，并说明理由．-乐乐题库
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<meta name="keywords" content="已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=又2Sn/an*)，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足(2an-1)(2bn-1)=1，Tn为{bn}的前n项和，试比较Tn与log2(2an+1)的大小，并说明理由．" />
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已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Snan*)，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足(2an-1)(2bn-1)=1，Tn为{bn}的前n项和，试比较Tn与log2(2an+1)的大小，并说明理由．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-房山区二模
分析与解答
习题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=又2Sn/an*)，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足(2an-1)(2b...”的分析与解答如下所示：
（I）利用an+1=2Snan*)，其中a1=1，an≠0，令n分别取1，2即可得出；（II）由已知可知Sn=12nan+1，可得an+1=Sn+1-Sn=12n+1an+2-12nan+1．由于an+1≠0，转化为一个分奇数项和偶数项分别成等差数列：an+2-an=2（n∈N*）．&即可得出通项an．（III）&&&要比较Tn与log2(2an+1)的大小，只需比较2Tn与log2（2an+1）的大小．利用（II）和已知条件即可得出2Tn，令f（n）=2Tn-log2（2an+1），比较f（n+1）与f（n）的大小即可得出结论．
解：（Ⅰ）∵an+1=2Snan*)，其中a1=1，an≠0．∴a2=2S1a13=2S2a2n=12nan+1，故an+1=Sn+1-Sn=12n+1an+2-12nan+1．∵an+1≠0，∴an+2-an=2（n∈N*）．&&&&&&&&&于是&数列{a2m-1}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，∴a2m-1=1+2（m-1）=2m-1，数列{a2m}是以a2=2为首项，2为公差的等差数列，∴a2m=2+2（m-1）=2m，∴an=n（n∈N*）．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（Ⅲ）可知Tn＞log2(2an+1)．下面给出证明：要比较Tn与log2(2an+1)的大小，只需比较2Tn与log2（2an+1）的大小．由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=2n2n-1n=log22n2n-1n=b1+b2+…+bn=log2(21n=2log2(212(212因此2Tn-log2（2an+1）=log2(212-log2（2n+1）=log2(212+log212n+12[(212o12n+1f(n)=(21o43o65o…o2n2n-1)2o12n+1f(n+1)=(21o43o65o…o2n2n-1o2n+22n+1)2o12n+32=(2n+2)2(2n+3)(2n+1)4n2+8n+44n2+8n+3＞1，又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．所以对于任意&n∈N*都有f(n)≥f(1)=43＞1，从而2Tn-log2（2an+1）=log2f（n）＞0．所以2Tn＞log2(2an+1)，n∈N*．即&&Tn＞log2(2an+1)．
本题考查了数列的通项an与Sn之间的关系，分类讨论的思想方法，等差数列的通项公式，对数的运算性质，作差法和作商比较两个数的大小等知识与方法，熟练掌握它们是解题的关键．本题需要较强的计算能力和转化能力．
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已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=又2Sn/an*)，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足(2an-1)(2<s...
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经过分析，习题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=又2Sn/an*)，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足(2an-1)(2b...”主要考察你对“数列递推式”
等考点的理解。
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数列递推式
数列{an}中，a1=5，an+1-an=3+4（n-1），则a50=（
与“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=又2Sn/an*)，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足(2an-1)(2b...”相似的题目：
设f1（x）=21+x，fn+1（x）=f1[fn（x）]，且an=fn(0)-1fn(0)+2，则a2011=&&&&．
已知数列{an}满足an+1=an3-2an1=14n}的通项公式；（2）求满足am+am+1+…+a2m-1＜1150&&&&
已知数列{an}满足：a1=12，an+1=2anan+1（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：不等式0＜an＜an+1对于任意n∈N*都成立．&&&&
“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an...”的最新评论
该知识点好题
1数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1-an（n∈N*），若b3=-2，b10=12，则a8=&&&&
2设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为&&&&
3已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于&&&&
该知识点易错题
1已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于&&&&
2已知数列{an}满足a1=1，an+1√3n+1（n∈N*），则a2009=&&&&
3已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则ann的最小值为&&&&．
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＞＞＞已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1（λ是大于0的常数），且..
已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1（λ是大于0的常数），且a1=1，a3=4．（1）求λ的值；（2）求数列{an}的通项公式an；（3）设数列{nan}的前n项和为Tn，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：崇文区一模
（1）由Sn+1=2λSn+1得S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1，∴a3=S3-S2=4λ2，∵a3=4，λ＞0，∴λ=1．（5分）（2）由Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2（Sn+1），∴数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴Sn+1=2o2n-1，∴Sn=2n-1，∴an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2），∵当n=1时a1=1满足an=2n-1，∴an=2n-1．（10分）（3）Tn=1o20+2o21+3o22++（n-1）o2n-2+no2n-1，①2Tn=1o2+2o22++（n-2）o2n-2+（n-1）o2n-1+no2n，②①-②得-Tn=1+2+22++2n-2+2n-1-no2n，则Tn=no2n-2n+1．（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1（λ是大于0的常数），且..”主要考查你对&&数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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与“已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1（λ是大于0的常数），且..”考查相似的试题有：
525553806954273444430457409854874675当前位置：
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S5=4a3+6a，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{1Sn}的前n项和公式．
题型：解答题难度：中档来源：海淀区二模
（1）因为S5=4a3+6，所以5a1+10d=4（a1+2d）+6．①…（3分）因为a1，a3，a9成等比数列，所以a1（a1+8d）=（a1+2d）2．②…（5分）由①②及d≠0可得：a1=2，d=2．…（6分）所以an=2n．…（7分）（2）由an=2n，可知Sn=n2+n…（9分）所以1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1，…（11分）所以数列{1Sn}的前n项和为1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1，…（13分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S5=4a3+6a，且a1，a3，..”主要考查你对&&等差数列的通项公式，等比数列的通项公式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的通项公式等比数列的通项公式
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
&等比数列的通项公式:
an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q&o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；④通项公式亦可用以下方法推导出来：将以上（n一1）个等式相乘，便可得到&⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。
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与“已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S5=4a3+6a，且a1，a3，..”考查相似的试题有：
275928262586452683406576256022496085已知正项递增的等差数列{an}，sn为数列{an}的前n项和，若s3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）令n=an3n，求数列{cn}的前n项和Tn．考点：；；．专题：．分析：（1）由s3=12，即a1+a2+a3=12，利用等差数列的性质可得3a2=12．设数列{an}的公差为d（d＞0），由题意得，22=2a1o(a3+1)，即22=2(a2-d)o(a2+d+1)即可得出d及an．（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵s3=12，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，a2=4．设数列{an}的公差为d（d＞0），由题意得，22=2a1o(a3+1)，22=2(a2-d)o(a2+d+1)得d=3或d=-4（舍），∴a1=a2-d=1，∴{an}的通项公式：an=3n-2．（2）n=an3n=3n-23n=(3n-2)13n，∴n=1×13+4×132+7×133+…+(3n-2)×13n，①n=1×132+4×133+…+(3n-5)×13n+(3n-2)×13n+1，②①-②得n=13+3×132+…+3×13n-(3n-2)×13n+1=56-12×13n-1-(3n-2)×13n+1∴n=54-6n+54×13n．点评：本题考查了等比数列、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”扥个基础知识与基本方法，属于中档题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差设等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围．（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．考点：；．专题：；．分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S12＞0，S13＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1，S2，…，S12中最大的项．解答：解：（1）依题意，有12=12a1+12×(12-1)2od＞0，13=13a1+13×(13-1)2od＜0即1+11d＞0①a1+6d＜0②由a3=12，得a1=12-2d③，将③式分别代①、②式，得∴＜d＜-3．（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an+1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．=>1+a12)=6(a6+a7)＞0132(a1+a13)=26a72=13a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：★★★★★推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差