等差数列的求和公式分类

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-17 07:34 标签： 等差数列的求和公式
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2012年数学高考试题+模拟新题分类汇编：专题D　数列（文科）
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一、公式求和法
运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解 决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。
1.等差数列前n项和公式
n(a1+an) = 2
2.等比数列前n项和公式
na1（q=1）
练习:求下列各数列的前n项和Sn:
n2 1.{an}:1,3,5,,,,2n-1,,,Sn= 2.{bn}:1 2 Sn= , , ,?, ( ) ,? 11 4 1 8 1 n 2
二、分组求和法
... n + 2n 2 3 1 例.求数列 1 + 2 ,2 + 2 , 3 + 2 , ,
的前n项和 。 项的特征
({an}、{bn}为等差或等比数列。）
二、分组求和法 例.求数列 1+ 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , … , n + 2
的前n和 。 ｎ 2 3 Sn=(1+2)+(2+2 )+(3+2 )+…+(ｎ+ 2 ) 解：
=(1+2+3+ …+n)+(2+2 +2 +…+2 )
n(n+1) 2(2 n-1) = 2 + 2-1 n(n+1) n+1 = + 2 -2 2 2
1 1 例1 求数列 1 1 ， 1 ， 1 ， 16 ， 32 ， 的 34 58 7 9 ? 2 前n项和 分析： 1 ? 1 ? 1 3 1 ? 3 ? 1 5 1 ? 5 ? 12 2 4 4 8
由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、 1 1 公差为2的等差数列与一个首项为 2、公比为 2 的等比数 列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的 前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。
S 解： n ? 1 1 ? 3 1 ? 5 1 ? ? ? ( 2 n ? 1 ? 21 ) 2 4 8 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 4 8
n ( 1 ? 2 n ?1 ) 2
.求数列9，99，999，…….的前n项和Ｓn. 通项：10n -1
2.求数列5，55，555，…….的前n项和Ｓn. 通项:5(10n -1)/9
反思与小结： 要善于从通项公式中看本质：一个等差加一个等比 {2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给 出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.
二、错 位 相 减 法 o 运用条件：若数列｛ Cn ｝满足 Cn = an ·bn ，其中｛an｝为等差数列， ｛ bn ｝ 为等比数列且公比为q，则数列 ｛ Cn ｝的前n项和可用“错位相减法”求之。
o 基本步骤为：先写出Sn，再求出qSn，然后 求“Sn - qSn”。但须注意书写时“同类项” 要对齐，即要“错位”，以便求差。
例3、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应 相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？ 这时右边是一个等比数列前n项和与一个式子的 和，就可以化简求值。
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① 解： xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ② + x + x2+ …… + xn-1 nxn
① -②(1-x)Sn =1
= 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 1-(1+n)xn+nxn+1 = ∴ Sn= 1-x (1-x)2
分析：该数列可看作等差数列?2 n ? 1?等比数列 ? ?积的数列
3 5 7 2 求数列 1 ， ， ， ， ，n n?1 的前n项和 ? 2 4 8 16
这里等比数列的
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