年新课标高考数学理科试题分类精编13-空间向量与立体几何doc--预览
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2007年-2010年新课标高考数学（理科）试题分类精编第13部分-空间向量与立体几何一.选择题1.（2010年全国理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A)
(D) 【答案】B
解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知，所以球的半径满足：，故．2.(2 010年北京理8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化D。3.( 2010年福建理6)如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（
B.四边形是矩形
D. 是棱台【解析】因为∥，∥，所以∥，又平面，所以∥平面，又平面，平面平面=，所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，∥，所以平面，又平面， 故，所以选项B也正确，故选D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。4.( 2010年山东理3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。【意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。5.( 2010年辽宁理12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(A)（0,）
(B)（1,） (C) (,） (D) （0,）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有<2+，即，即有a<　　(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;综上分析可知a∈（0,）6.（2010年浙江理6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（A）若，，则
（B）若，，则（C）若，，则
（D）若，，则解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题7.(2009年陕西理10)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案：B解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，8.（2009年海疆同盟8） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是
（A）（B）
（C）三棱锥的体积为定值（D）异面直线所成的角为定值解析：A正确，易证B显然正确，；C正确，可用等积法求得；D错误。选D. 9.(2009年山东理5) 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的 一条直线，则""是""的(
)A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以""是""的必要不充分条件. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.10.(2009年广东理5) 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
D. ②和④【解析】选D.11.(2009年福建理7)设m，n是平面 内的两条不同直线，，是平面 内的两条相交直线，则// 的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
l【答案】：B[解析]若，则可得.若则存在12.（2009年辽宁理11)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：1 （B）1：2 （C）2：1
（D）3：2C
解析：连接FC、AD、BE，设正六边形的中心为O，连接AC与OB相交点H，则GH∥PO，故GH⊥平面ABCDEF，∴平面GAC⊥平面ABCDEF又DC⊥AC，BH⊥AC，∴DC⊥平面GAC，BH⊥平面GAC，且DC=2BH，故三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为2：1。13.(2009年浙江理5)在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是(
B． 学网C．
D．C 【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有14.(2007年海南理12)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（　　）Ａ．
Ｄ．【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为，于是
二.填空题1.(上海理12)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为
解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为2.(2009年江苏12)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：学科网（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号
（写出所有真命题的序号）.学科网[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)3.（2009年安徽理15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
○1相对棱AB与CD所在的直线异面；○2由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；○3若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；○4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。[解析]①④⑤4．（2009年浙江理17）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是5.(2009年上海理5)如图，若正四棱柱的底面连长为2，高
为4，则异面直线与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.【答案】
【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，由勾股定理，得A1B＝2，tan∠A1D1B＝，所以，∠A1D1B＝。6.(2009年上海理8)已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】【解析】，，同理：，即R1＝，R2＝，R3＝，由得7.(2008年海南理15)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．解：令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且三解答题1.( 2010年陕西理18)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA
⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ，E，F分别是AD，PC的重点（Ⅰ）证明：PC
⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。 解法一
（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√
2,四边形ABCD是矩形。∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √
2,0)，D(0，2 √
2，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√
2，0),F(1，√
2，1)。∴=（2，2 √
2，-2）=（-1，√
2，1）=（1,0,1），∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩
EF=F,[来源:]∴PC⊥平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，则∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二
（I）连接PE，EC在 PA=AB=CD, AE=DE,∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,又，F是PC 的中点，∴BF⊥PC.[来源:学§科§网Z§X§X§K]又2.(2010年全国理18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点（1） 证明：PEBC（2） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则（Ⅰ）设 则
　　（Ⅱ）由已知条件可得 设 为平面的法向量 则
即因此可以取，　　由，可得
所以直线与平面所成角的正弦值为3. (2010年天津理19)(本小题满分12分)如图，在长方体中，分别是棱，上的点，，。(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值：(Ⅱ)证明⊥平面：(Ⅲ) 求二面角的正弦值。【命题意图】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,,,（1） 解：易得,于是
所以异面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值为。4.（2010年北京理16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0， 0， 0），A（，，0），D（，0， 0），E（0， 0， 1），F（，，1）。所以=（，，1），=（0，－，１），＝（－，0，１）。所以·= 0-1+1=0，·=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x,y,z）,则·=0，·=0。即所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。5.(2010年福建理18)（本小题满分13分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为=，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。6.(2010年湖南理18)（本小题满分12分）如下图5所示，在正方体,E是棱的中点。（Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（II）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论。
解析:7.(2010年广东理18)（本小题满分14分）　　如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a ．图5
（1）证明：EB⊥FD；　　（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．　　（2）设平面与平面RQD的交线为.　　由BQ=FE,FR=FB知, .　　而平面，∴平面，　　而平面平面= ，　　∴.　　由（1）知，平面，∴平面，　　而平面，平面，　　∴，　　∴是平面与平面所成二面角的平面角．　　在中，，　　，．　　．故平面与平面所成二面角的正弦值是．8.（2010年山东理19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P-ACDE的体积．【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为，所以平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P-ACDE的体积为=。【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。(19) (标准答案) 本小题主要考察空间中的基本关系，考察线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和集合体体积的计算，考查识图能力、空间想象力和逻辑推理能力，满分12分（｜）证明：在△ABC中，因为∠ABC=45°，BC=4，AB=，所以AC2=AB+BC2-2AB·BC·cos45°=8因此
AC=，故BC2=AC2+AB2,所以∠BAC=90°又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，所以CD⊥PA,CD⊥AC,又 PA,AC 平面PAC,且PAAC=A，所以 CD⊥PAC,又 CD平面PCD，所以
平面PCD⊥平面PAC则,又 ，所以 解法二：由（｜）知AB,AC,AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB是等腰三角形，所以
PA=AB=,又AC=,所以，因此直线PB与平面PCD所成的角为（Ⅲ）因为AC∥ED,CD⊥AC，所以
四边形ACDE是直角梯形，因为
AE=2,∠ABC=45°，AE∥BC，所以
∠BAE=135°，因此
∠CAE=45°,故
CD=AE·sin45°==2×=，所以
PA⊥平面ABCDE，所以 9.（2010年辽宁理19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=1/2AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.空间想象能力以及空间思维能力。10.(2010年安徽理18)（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。
(Ⅰ)求证：∥平面；　　(Ⅱ)求证：平面；　　(Ⅲ)求二面角的大小。11.（2010年浙江理20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.
故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量，
-2x+2y+2z=0所以
6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（Ⅱ）解：设则，因为翻折后，与重合，所以，故， ，得，经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知∥，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（Ⅱ）解：设,因为翻折后，与重合，所以，而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。12.(2010年上海理21)（本大题满分13分）共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l?1.2?2r(0<r<0.6)，S??3?(r?0.4)2?0.48?，所以当r?0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r?0.3时，l?0.6，建立空间直角坐标系，可得，，设向量与的夹角为?，则，所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为．13.(2010年江苏16)（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。(1) 求证：PC⊥BC；(2) 求点A到平面PBC的距离。[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。由∠BCD=900，得CD⊥BC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD。因为PC平面PCD，故PC⊥BC。（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面积。由，，得，故点A到平面PBC的距离等于。14.(2009年陕西理18)（本小题满分12分）　　如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.　　(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）求二面角A--B的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解答一（1）证： 三棱柱为直三棱柱，在中，,由正弦定理,又（2）解如图，作交于点D点，连结BD，由三垂线定理知为二面角的平面角在解答二（1）证三棱柱为直三棱柱，，，由正弦定理 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图，建立空间直角坐标系，则
(2) 解，如图可取为平面的法向量设平面的法向量为，则不妨取 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15.（2009年海南理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.
(Ⅱ)设正方形边长，则。又，所以,
连，由（Ⅰ）知,所以, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
　且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。
（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使
由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。
设底面边长为，则高。 于是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（Ⅲ）在棱上存在一点使.由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，且
即当时，而不在平面内，故16.(2009年江苏16)（本小题满分14分）学科网如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。学求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面平面. [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。17,（2009年山东理18）（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,
E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE//平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，所以CD\s\up8(//(//)A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,,, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.18.(2009年广东理18)（本小题满分14分）　　如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．　　（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；　　（2）证明：直线平面；　　（3）求异面直线所成角的正弦值.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，，∴.（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，∴，，即，，又，∴平面.（3），，则，设异面直线所成角为，则.19.（2009年天津理19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
求异面直线BF与DE所成的角的大小； (II)
证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）证明：因为（III）由（I）可得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：
， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（III） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又由题设，平面的一个法向量为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20.（2009年安徽理18）（本小题满分13分）如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角B－AF－D的大小；（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。由， ，得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由，得（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。 由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而由得。又因为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故四棱锥H-ABCD的体积21.(2009年福建理17)（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.A（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.22.(2009年辽宁理 18 ) （本小题满分12分）　　如图，己知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB , DF的中点。（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。解：(1)解法一：取CD的中点G，连结MG，NG， .设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD ，MG=2，NG= ， .因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF 。可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以 ，故MN与平面DCEF所成的角的正弦值为.解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M(1，0，2)，N（0，1，0），可得，又为平面DCEF的法向量，可得，所以MN与平面DCEF所成的角的正弦值为.(2)假设直线ME与BN共面，则 AB平面MBEN ，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF .又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立.所以ME与BN不共面，它们是异面直线.23．（2009年浙江理20）（本题满分15分）　　如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．24.(2009年上海理19)（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。
【解】如图，建立空间直角坐标系　　则A（2，0，0）、
C（0，2，0）
A1（2，0，2），
B1（0，0，2） 、C1（0，2，2）
......2分设AC的中点为M，∵BM⊥AC,
BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。......5分设平面的一个法向量是
=（x，y，z）， =（-2，2，-2），
=（-2，0，0）
......7分设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角.........................14分25.(2008年海南理18)（本小题满分12分）如图，已知点P在正方体的对角线上，．（Ⅰ）求DP与所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面所成角的大小．解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．则，．连结，．在平面中，延长交于．设，由已知，由可得．解得，所以．（Ⅰ）因为，所以．即与所成的角为．（Ⅱ）平面的一个法向量是．因为， 所以．可得与平面所成的角为．26.(2008年山东理20)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．由（Ⅰ）知平面，则为与平面所成的角．在中，，所以当最短时，最大，即当时，最大．此时，因此．又，所以，所以．解法一：因为平面，平面，所以平面平面．过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，，，又是的中点，在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值为．解法二：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，，所以．设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量．又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．27.(2008年广东理20)（本小题满分14分）　　如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积．【解析】（1）在中，，　而PD垂直底面ABCD，　,　在中，,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为,由有,即
(2),而,即,，
,是直角三角形；　（3）时,,
即,的面积28.(2008年江苏16)如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：（1）直线面；（2）平面面．【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理 ，在面内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。【标准答案】证明：（1）∵E,F分别是的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，　　　　　∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD　　　　　又EF∩CF=F,
∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面面29.(2008年江苏22)【必做题】记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,, 由，得，所以
显然不是平角，所以为钝角等价于 ，则等价于即 ，得因此，的取值范围是30.(2008年上海理16)(12')如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示）【解析】过作，交于，连接. 平面，是直线与平面所成的角.
......4分由题意，得.
......8分 ， .
......10分故直线与平面所成角的大小是. ......12分31.(2007年海南理18)（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为．解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．的中点，．．故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值为．32．（2007年山东理19）（本小题满分12分）如图,在直四棱柱中,已知,,.(I)设是的中点,求证: ;(II)求二面角的余弦值.
解：:(I)连结，则四边形为正方形，，且，为平行四边形，.(II) 以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则设为平面的一个法向量，由得，取，则. 设为平面的一个法向量，由得，取,则.由于该二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦值为33．（2007年广东理19）（本小题满分14分）　如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。 （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，V(x)=（）（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，，在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；????????
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