如图所示，空间直角坐标系中，直三棱柱ABC-A′B′C′，AB=BC=2，BB′=2，N、M分别是A′C′、B′C′的中点．（1）试画出该直三棱柱ABC-A′B′C′的侧视图．并标注出相应线段长度值；（2）求证：直线AN与BM相交，并求二面角M-AN-C的余弦值．考点：．专题：；；．分析：（1）要画直三棱柱的侧视图，我们可以直观图可得，B为直角，侧面是一个边长为2的正方形．（2）要证明AN和BM相交，我们可以结合公理3，证明三线共点，要求二面角M-AN-C的余弦值，我们可以A为坐标原点，AB，AC，AA'，为坐标轴建立空间坐标系，利用空间向量求解．解答：解：（1）直三棱柱ABC-A′B′C′的侧视图如下图示：（2）证明：如下图所示：∵由MN∥A'B'，MN=A'B'，∴MN∥AB，MN=AB，则四边形AMNB为梯形．令AM∩BN=P，则P∈AM，而AM?平面ACC'A'，P∈BN，BN?平面ACC'A'，平面ACC'A'∩平面ACC'A'=CC'，∴P∈CC'．∴直线AN与BM相交．以A为坐标原点，AB，AC，AA'，为坐标轴建立空间坐标系，则易得：平面MAN的一个法向量为，平面CAN的一个法向量为，故二面角M-AN-C的余弦值．点评：空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差

A．G B．H
C．K D．B′
解析：若P为点G，连接BC′，则F为BC′的中点，∴EF∥AB，EF∥A′B′，∴AB∥平面GEF，A′B′∥平面GEF，∴P为点G符合题意；若P为点K，则有三条侧棱与该平面平行，不符合题意．若点P为点H，则有上下两底面中的六条棱与该平面平行，不符合题意；若点P为点B′，则只有一条棱AB与该平面平行，也不符合题意，故选A.
答案：A
下载完整版《【解密高考】2015届高考数学·人教A版大一轮总复习 阶段性 一轮复习综合检测（理）（8份，含答案解析）》Word试卷
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＞＞＞如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，..
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1， (Ⅰ)证明：AB=AC；(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．
题型：解答题难度：中档来源：高考真题
(Ⅰ)证明：取BC中点F，连结EF，则，从而，连结AF，则ADEF为平行四边形，从而AF∥DE，又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC．(Ⅱ)解：作AG⊥BD，垂足为G，连结CG，由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角， 由题设知，∠AGC=60°，设AC=2，则，又AB=2，BC=2，故AF=，由得，解得AD=，故AD=AF， 又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形，因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF，连结AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD，连结CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角，因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又，所以， 所以∠ECH=30°，即B1C与平面BCD所成的角为30°。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，..”主要考查你对&&直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与平面垂直的判定与性质直线与平面所成的角
线面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法：
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
&线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）
符号表示：
& 如图所示，
&线面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （线面垂直线线平行） 线面垂直的判定定理的理解：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准．(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的．(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化．(2)证线面垂直的方法①利用定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．②利用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，③利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，④用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．⑤用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．⑥用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．⑦利用向量证明．直线与平面所成的角的定义：
①直线和平面所成的角有三种：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.②取值范围：00≤θ≤900．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 最小角定理：
斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。 求直线与平面所成的角的方法:
(1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小．(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则
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与“如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，..”考查相似的试题有：
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＞＞＞如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱..
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点B1在底面上的射影D落在BC上．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）当α为何值时，AB1⊥BC1，且使点D恰为BC中点？（3）（理科做）当α=arccos13，且AC=BC=AA1时，求二面角C1-AB-C的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：∵B1D⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴B1D⊥AC又∵BC⊥AC，B1D∩BC=D，∴AC⊥平面BB1C1C；（2）∵B1D⊥面ABC，∴B1D⊥AC，又∵AC⊥BC，BC∩B1D=D，∴AC⊥面BB1C1C．∵AB1⊥BC1，∴由三垂线定理可知，B1C⊥BC1，即平行四边形BB1C1C为菱形，又∵B1D⊥BC，且D为BC的中点，∴B1C=B1B，即△BB1C为正三角形，∴∠B1BC=60°，∵B1D⊥面ABC，且点D落在BC上，∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角，∴α=60°．（3）C1作C1E⊥BC，垂足为E，则C1E⊥平面ABC．过E作EF⊥AB，垂足为F，由三垂线定理得C1E⊥AB．∴根据二面角平面角的定义可得：∠C1FE是所求二面角C1-AB-C的平面角．设AC=BC=A1A=a，在Rt△CC1E中，由∠C1CE=α=arccos13，可得C1E=223a，∴在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=22BE=223a，∴∠C1FE=45°．故所求的二面角C1-AB-C为45°．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱..”主要考查你对&&二面角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&
发现相似题
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409027287112260353397595395621628466如图在正三棱锥P-ABC中，E、F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，若AB=a，则该三棱锥的全面积为A．B．C．D．B略西藏拉萨中学2011届高三第六次月考（数学文）..域名：学优高考网，每年帮助百万名学子考取名校！名师解析高考押题名校密卷高考冲刺高三提分作业答案学习方法问题人评价，难度：0%如图在正三棱锥P-ABC中，E、F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，若AB=a，则该三棱锥的全面积为A． B．
C． D． 马上分享给朋友：答案B点击查看答案解释本题暂无同学作出解析，期待您来作答点击查看解释相关试题