按规律填数3 20，谢谢

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-07 04:53 标签：
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[数学]你会做找规律填数吗？收藏
大家好这里又是小渊xyz。还记得小学时阴魂不散的找规律填数吗？那的确是一个无聊的游戏，但是等等，你有没有觉得有的时候一个空可以填很多数？我来问：1 2 4 _well 你首先可能会想到，这是2的n-1次幂，所以可以填8或者你也可以想到，这个数列的每后一项减去前一项，得到的差值可以使一个等差数列，所以可以填7或者，你可以想到 这一定是因为你给我的数太少了 你要给我多一些数，我就一定可以得出唯一结果了。或者有些时候你是不是觉得自己想不到规律？但是今天我要告诉你一个颠覆性的结果：就算是你随便写几个数，我也能照样找出通项公式。这意味着 式子后面可以随便填。斐波那契数列镇楼
这个帖子是因为我们最近在学数列，我才想写的，所以从数列开始：首先我们要明确：什么是找规律填数。找规律填数就是，你有了一列数，你要找出这些数的关系，并给出这列数的下一项。很明显，我们在坐标纸上有了一些离散的点，这些点的横坐标是第几项，纵坐标是这一项的值。那么连续通过这几个点的曲线有几条呢？很明显，无数条，随意画一条线，都可以让他经过这几个点，我们做的只要随便举出一个就好。因此：找规律填数的题 可以任意填。因为无论你写了几个数 我都可以找到一条函数 通过这里面的所有点。事实上，其实完全没有必要限定是在数列中。假设你给我的数是1 4 7
这是5项 我就会在坐标纸上写五个点：（1,1）（2,4）（3,7）（4,1280）（5,6540）well 其实你给我是其他的点也行，比如说：（9） （根2，e）（ln4，tan6）（log{4}7 sec100） （e^pi，lne ）数字再怎么诡异也无所谓，因为只要我能找到这些点，我就能找到曲线通过这些点。well 不过为了找规律填数 我们还是说数列。
我们来举个例子来说明吧。首先 2个点可以确定一条直线，或者是一条一次函数的曲线，我们就可以写作kx+三个点可以确定一个圆，不过还是确定一个多项式函数感觉好玩一些，我们还是可以得到，三个点确定一条抛物线，也就是一个二次函数。那么四个点呢？很明显，我们可以找到一条唯一的三次函数来和他对应。五个点呢？唯一的一条四次函数。我们给自己降一个难度，不找太奇葩的函数 咱们就找多项式函数，因为只要找到一个通过所有点的多项式函数 数就可以随便填了。就是说 如果我们知道了n项 我们就可以确定一个n-1次的函数。这意味着，如果我们知道了一个数列的前5项，我们可以写一个唯一的四次函数，但我们可以写无数个五次函数！如果他让我们找规律填数的话，我们随意写一个第六项，都能从这无数个五次函数中找到一个函数符合随意写的第六项！我们当然也可以根据那个唯一的四次函数算出第六项！比如说， 1 2 4 8 _ 你可能会觉得通项公式是2的n-1次，你想填16吗？但是我仍然有一个通项公式：well，这个式子满足吗？可以验证一下，这个式子在x=1时 f(x)=1 x=2时 f(x)=2 x=3时 f(x)=4 x=4时 f(x)=8 x=5时 f(x)=15因此我完全可以填 1 2 4 8 15 因为这个数列的前五项都满足上述这个式子。是不是感觉很不爽，我想填16啊23333，但是这恰恰可以说明，第五个数我也可以随意填。有没有感觉这个函数很像一个指数函数呢？现在你可能不觉得了。2的10次方已经可以达到1024了。
再举个栗子：1、8、27…那下一个是什么呢？（本题目来自果壳网）啊哈！8是2的三次幂 27是3的3次幂，因此下一个是4的3次幂 64！well 但是假如我比较脑残，找不到规律，于是我写了这么一个式子：(这个式子我们最后再解释)一个通项公式就出来了。是于是我们迫不及待地把x=4带进去，得到58.诶，说好的64呢？没问题没问题，你看 我们6x^2-11x+6 和x^3 都是数列1,8,27,的一个通项公式，所以两个都是没有问题啊？
那么我是怎样构造刚才那个函数的呢？首先我要让函数曲线乖乖的过那些点，我们仍然从最简单的开始。两个点 (x1，y1)和(x2，y2)我们要找一条直线过这两个点，毕竟直线也是特殊的曲线嘛。直线就是一次曲线：y=kx+b你可能会说，k=(y2-y1)/(x2-x1) 这是求斜率的公式，我更觉得，换一种思考方式比较好。只要满足当x=x1时 y=y1和当x=x2时 y=y2这两个条件就好这个很简单，但是我不做化简了，因为这样可以启发一个新的思路：三个点确定一条二次函数，怎么做？按照刚才的思路，你可以很容易得到：这个很简单，只要满足在三个点上时，分别对应着对应的函数值就好，而这三项，每次对应时总有两项是0，让另一项的y之前的“系数”为1即可。我们来看刚才1 8 27那个式子：整个式子是三项的和，每一个点[指的是三个点(1,1)(2,8)(3,27)，也就是我们函数要通过的三个点]都有一项。对于每一个单独的点来说，分子是这一点的函数值乘上x与其他点的自变量的差。而分母就是该点的自变量和其他点的自变量的差的积。这样取一个点时另两个项总是0。这就是我们的思想，现在我们用一个术语来总结一下well 可能这一堆话有些看不懂，但是应该已经知道怎样使用了。当然，对于数列，xj=j xi=i 因为xj就表示着数列的第j项。这种方法 就被我们称为拉格朗日插值法。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，1783年又由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，因此这个方法被称为拉格朗日插值法。
这有什么用呢，很明显刚才我们给出的答案是58 而那个找规律填数的“标准答案”却是64我们来看如果我们给的是n个点，那么拉格朗日给出的函数将会是(n-1)次的。这不坑爹吗…用公式之前还得想清楚这个函数是几次的，而且如果是更高次数的还没办法加上点去求（更别说斐波那契数列这样的用递归定义的数列了）。这就意味着，就算是1、2、3、4、5、6…这样简单的数列，拉格朗日插值法在耗尽你大量的考试时间去求出通项公式以后，还会给出一个超级坑爹的答案！那么这个方法还有什么用！well 首先 拉格朗日插值至少证明了，小学的所有找规律填数题，空中可以填任何值，其次证明了 任何有限数列有无限个通项公式。其次：无论是分布得多么奇怪的点，拉格朗日插值法总能给出一条经过这些点的函数图象。也就是说，就算是1、2、3、4、5、6、1568这样明显不靠谱的答案也是“有规律的”。因为你总可以设一个六次多项式，找出这个数列的通项公式。如果老师斗胆把你的答案批错的话，你大可以把这篇文章打印出来，然后跟老师说：“这个空填任何数都是可以的，因为你总可以设一个n次多项式，然后……”所以说，现在你还敢做找规律题吗？下一个空是不是什么都能填了呢？本文由小渊编写，部分内容参考自百度百科 部分内容摘自果壳网。如需转载请声明本段。CC BY-NC-SA谢谢收看。
小渊好厉害
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或按规律填数！求答案，并解释。谢谢！
无★痕uZ15
加起来的和分别为14，13，12等等吗？若这样最后一空就为负数了，可以是负数吗?
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扫描下载二维码亲，帮帮忙，求解答啊！数学题，按规律填数字。3、5、7、（）、9 谢谢，急急急亲，帮帮忙，求解答啊！数学题，按规律填数字。3、5、7、（）、9谢谢，急急急
你确定题没有写错么?
这个也没有什么规律啊
你在逗网友们玩啊
你是不是应该把括号放在9后边！！
这是几年级的题目啊
（1）3，5，7，9
完美解答，搞定
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