已知：如图，圆O与圆O1ad与bc相交于点kAB两点,且点O在圆O1上，圆O的弦BC交圆O1于D，求证：AD=DC

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-08 10:17 标签： ad与bc相交于点k
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＞＞＞如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C..
如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P．(Ⅰ)求证：AD∥EC；(Ⅱ)若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。
题型：解答题难度：中档来源：辽宁省模拟题
(Ⅰ)证明：连接AB，∵AC是圆O1的切线，∴∠BAC=∠D， 又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC。(Ⅱ)解法一：∵PA是圆O1的切线，PD是圆O1割线， ∴PA2=PB·PD，∴62=PB·(PB+9)，∴PB=3，又圆O2中由相交弦定理，得PA·PC=BP·PE，∴PE=4，&∵AD是圆O2的切线，DE是圆O2的割线， ∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD= 12。解法二：设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2， ∴由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12，①∵AD∥EC，∴，∴，②由①②可得或（舍去）， ∴DE=9+x+y=16，∵AD是圆O2的切线，DE是圆O2的割线， ∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C..”主要考查你对&&圆的切线的性质及判定定理，与圆有关的比例线段&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆的切线的性质及判定定理与圆有关的比例线段
&圆的相切的定义：
直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。直线与圆的位置关系：
相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径；相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线；相切：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等。
割线长定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多，常见的有：
（1）找过渡乘积式证明等积式成立；（2）为三角形相似提供对应边成比例的条件；（3）利用等积式来证明有关线段相等
相交弦定理、切割线定理及它们的推论和切线长定理的应用：
相交弦定理、切割线定理及它们的推论和切线长定理一样，揭示了和圆有关的一些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起，因此在解题中要善于观察图形，对复杂的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而准确地解决问题.另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要注意方程的思想的运用
发现相似题
与“如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C..”考查相似的试题有：
274854253163280519258638253247252476当前位置：
＞＞＞如图：已知线段AB=4，动圆O1与线段AB相切于点C，且AC-BC=22，过点..
如图：已知线段AB=4，动圆O1与线段AB相切于点C，且AC-BC=22，过点A，B分别作⊙O1的切线，两切线相交于点P，且P、O1均在AB的同侧．（Ⅰ）建立适当坐标系，当O1位置变化时，求动点P的轨迹E方程；（Ⅱ）过点B作直线交曲线E于点M、N，求△AMN面积的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，则|PA|-|PB|=|AC|-|BC|=22，∴点P在以A、B为焦点双曲线上，且2c=4，2a=22，∴c=2，a=2，∴b=c2-a2=2∴P点的轨迹E为：x22-y22=1（x＞2）；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线：x=my+2代入双曲线x22-y22=1得（m2-1）y2+4my+2=0，显然m≠±1∵M、N在双曲线一支上，∴|m|＜1．S△AMN=12×|AB|×|y1-y2|=216m2(m2-1)2-8m2-1=28(m2+1)(m2-1)2令t=m2+1，有1≤t＜2，则S△AMN=28t(t-2)2=28t+4t-4在[1，2）上递增∴当t=1，即m=0时，△AMN面积取得最小值为42．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图：已知线段AB=4，动圆O1与线段AB相切于点C，且AC-BC=22，过点..”主要考查你对&&动点的轨迹方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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动点的轨迹方程
&动点的轨迹方程：
&在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。求动点的轨迹方程的基本方法：
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。 1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤：
(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x，y）；(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)}；(3)列式用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，&
发现相似题
与“如图：已知线段AB=4，动圆O1与线段AB相切于点C，且AC-BC=22，过点..”考查相似的试题有：
494171523824557501407535480994560915如图,已知圆O的直径AB为4,以OA为直径作圆O1,BD切圆O1于点C,交圆O于点D,连结AC. OC 求tan∠CAO的值 求求大家
如图,已知圆O的直径AB为4,以OA为直径作圆O1,BD切圆O1于点C,交圆O于点D,连结AC. OC 求tan∠CAO的值 求求大家 5
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（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）求证：EF是⊙O2的切线；
（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M?O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．
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