自考高等数学(一)真题_高等数学(一)自学考试试题及答案-中华考试网
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近年高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
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将x^2+bx+3b转化为（x-a)(x-a+8),即x^2+(8-2a)x+a^2-8a,这个式子就等于X^2+bx+3b,列方程组可得答案
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高数大一上期中考试真题及答案汇编(无广告版)
崇实学生会考试小帮手高数（上）期中考试特辑崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者目录西安交通大学 2009 年高等数学 (I II)期中考试 .............................................................................
. 1 西安交通大学 2008 年高等数学 (I II)期中考试 .............................................................................. 3 西安交通大学 2007 年高等数学 (I II)期中考试 .............................................................................. 4 西安交通大学 2006 年高等数学 (I II)期中考试 .............................................................................. 6 西安交通大学 2005 年高等数学 (I II)期中考试 .............................................................................. 7 西安交通大学 2004 年高等数学 (I II)期中考试 .............................................................................. 8 西安交通大学 2003 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 10 西安交通大学 2002 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 11 西安交通大学 2001 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 12 西安交通大学 2000 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 13 西安交通大学 1999 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 15 西安交通大学 1998 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 16 西安交通大学 1997 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 17 西安交通大学 1996 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 19 西安交通大学 1995 年高等数学 (I II)期中考试 ............................................................................ 20 试题参考答案与参考评分标准 ............................................................................................ 21 附：空闲自习室表 .............................................................................................................. 46崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者西安交通大学 2009 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2009 年 11 月 14 日一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11．求极限： lim (1 ? 2 xe x ) x ?x ?0； 。2．设 y ? ( x ? e?x 2) ，求 y ?(0) ?2 3? sin ax ? 2x , ? 3 ．设函数 f ( x) ? ? b ? 1, 1 ? ?(1 ? 2 x) x , ? b? 。x?0 x ? 0 要使 f ( x) 在 x ? 0 点处连续，则 a ? x?0，4．已知当 x ? 0 时， 1 ? 1 ? ax 2 与 x 2 是等价无穷小，则 a ?1 5．函数 y ? x 3 ? 2 x ? 的单调增区间是 x。 。 1，单调减区间是二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）?n2 ? ? 1． 设数列的通项为 a n ? ? ? ? ? ? n , n为奇数时 n ，则当 n ? ? 时，数列 ?a n ? 是 1 , n为偶数时 n（ ） A 无穷大量；B 无穷小量；C 有界变量；D 无界变量。 2．下列各式正确的是（ ） sin x 1 1 1 A lim ? 1 ；B lim x sin ? 1 ；C lim (1 ? ) x ? ?e ；D lim (1 ? ) ? x ? e 。 x x n n ?? ? ? ? ?? ?? ? x x x x1 ? ? x sin 2 3．设函数 f ( x) ? ? x ? 0 ? ,x ? 0 ,x ? 0则 f ( x) 在 x ? 0 点处（ ）A 极限不存在；B 极限存在但不连续；C 连续；D 可导。 4． 设 f ( x) 和 g ( x) 都在 x ? a 处取得极大值， 则 F ( x ) ? f ( x ) g ( x) 在 x ? a 处 （ ）A 必取得极大值； B 必取极小值； C 不可能取得极值； D 是否取得极值不能确定。 5．设 f ( x) ? 2 x ln(1 ? x), g ( x) ? sin 2 x ，则当 x ? 0 时， f ( x) 是 g ( x) 的（ ）A 等价无穷小；B 同阶但非等价无穷小；C 高阶无穷小；D 低阶无穷小。崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者三、解答下列各题（每小题 7 分，共 70 分） 1 ? ln x 1．设 y ? cos 2 ( ) ，求 y ? 。 x1 2．设 x ? y 2 ? sin y ? 0 ，求 2d2y dx 2x ?0。1 ? cos( x 2 ) 3．求极限： lim 2 。 x ?0 x sin x4．求函数 f ( x) ? (5 ? x) x 3 的极值。 5．求曲线 y ? ( x 2 ? 1)e ? x 的拐点及凹向区间。 6 设曲线 y=y(x)由方程 ? 程。? x(1 ? x） ,x ? 0 ? ? cos x 7．讨论函数 f ( x) ? ? 的连续性，并确定其间断点的类型。 ? 2 ? ? ,x ? 0 ?sin 2 x ?4 ?2? x ? arctan t 所确定，求曲线在点 t ? 0 处的切线方 2 t ?2 y ? ty ? e ? 521 2 1 2n f ( x ) ? 1 ? x ? x ? ? ? x , x ? R ，证明 f ( x) ? 0 。 8．求函数 2! (2n)!9．学工科分析者做（1） ，其余做（2） （1）设数列 ?x n ? 满足 xn?1 ? xn ?1 (n ? N ? ) ，证明极限 lim x n 存在。 n ?? 3nx2 ? ax ? b) ? 0 ，试确定常数 a,b 的值. （2）已知 lim ( x ?? x ? 110．设函数 f ( x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f (a) ? f (b) ? 1 试证：存在 ? ,? ? (a, b) ，使 e? ??[ f (? ) ? f ?(? )] ? 1 。崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者西安交通大学 2008 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2008 年 11 月 9 日一 、解答下列各题（每小题 7 分,共 70 分）.2 2 1．设 y ? ln( x ? x ? 1) ? x e 1?sin 1 x，求 dy 。2．求曲线 xey? y ? 1在点 (1,0) 处的切线及法线方程。2 cot 2 x3．求极限： lim ( 1 ? x )x ?0。4． （1）设 a1 ? b1 ? 0, a n?1 ?a n ? bn , bn?1 ? a n bn ，证明数列 ?a n ? 和 ?bn ? 收敛， 2并且 lim an ? lim bn （ . 2） 已知数列: x1 ? a, x2 ? b, xn ?n?? n??xn?1 ? xn?2 (n ? 3) ， 其中 a, b 2是给定的非零常数，求 lim x n 。n ??5．讨论函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 5 的单调性，凸性和拐点。3x ? cos t ? 6．设 ? ，求 ? y ? t cos t ? sin td2y dx 2t?? 4。1 ? 2 ? 7．讨论函数 f ( x) ? ? x sin x ? ? 0,x ? 0 ,x ? 0在 x ? 0 点的连续性与可导性。8．求函数 f ( x) ?x arctan sin?21 x ? 1 的间断点，并指出间断点的类型。 x9．设 0 ? x ? 2 ，试证明不等式 4 x ln x ? x 2 ? 2 x ? 3 。x3 x ? sin x ? f ( x) ? 1 ，求 lim 10．设 lim 。 x ?0 f ( x ) x ?0 x4二．(8 分) 设有三次方程 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 2b ? 0 ，其中 a ? 0, b 2 ? a 3 ，证明： 方程 f ( x) ? 0 有且仅有三个实根。 三． （8 分） AB 和 AC 是两条交于 A 点的直线公路， ?BAC ??3, AB ? 200km ，崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者汽车以每小时的 80 km 速度由 B 向 A 行驶， 而摩托车以每小时 50 km 的速度由 A 向 C 行驶，若汽车和摩托同时开动，问经过多少小时他们的距离最近？? g ( x) ? e ? x ? , x ? 0 ，其中 g ( x) 有二阶连续导数，且 四． （ 8 分）设函数 f ( x) ? ? x ? 0, x ? 0 ?g (0) ? 1 ， g ?(0) ? ?1 ，①求函数 f ?( x) ；②讨论 f ( x) 在 (??,??) 上的连续性。2 五． （6 分） 设函数 f ( x) 在 ?? 2,2?上二阶可导， 且 f ( x) ? 1 ， 又 f 2 (0) ? ? f ?(0)? ? 4 ，试证：在 (?2,2) 内至少存在一点 ? ，使得： f ??(? ) ? f (? ) ? 0 。西安交通大学 2007 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2007 年 11 月 3 日一．解答下列各题（每小题 6 分,共 60 分）. 4 1． 设 y ? arctan( x 2 ? 1) ?ln x x2 ?1 ( x ? 0) ，求dy 。 dx1? t ? ? x ? t3 d2y 2． 求由参数方程 ? 所确定的隐函数 y ? y( x) 的二阶导数 2 。 3 2 dx ?y ? 2 ? t 2t ?3． 设函数 y ? y( x) 由方程 x ? y ? arctan y ? 0 所确定，求 4． 求极限： lim ?x? 2dy . dxln sin x 。 ( x ? 2? ) 25． 设 f ( x) 具有连续的二阶导数，且 f (0) ? 0, f ?(0) ? 0, f ??(0) ? 6 ，试求极限：f (sin 2 x) lim 。 x ?0 x46． 求函数 y ? ln( x ? x 2 ? 1) ? arccos1 ? e 3 的微分 dy 。 x7． 求函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 9 的单调区间和极值。( 8． 求极限： lim x ??1 2 n ? ? ? ? )。 n2 ? n ?1 n2 ? n ? 2 n2 ? n ? n崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者9． 已知当 x ? 0 时， ? ( x) ? kx 与 ? ( x) ? 1 ? x arcsin x ? cos x 是等价无穷 小，求 k 和 ? 的值。 10． 一圆形铝片加热时，随着温度的提高而膨胀，设该圆片在温度为 t 度时， 半径为 r ? r0 (1 ? at ) ，其中 r0 , a 为常数，求在 t1 度时圆片面积对温度 t 的变化 率。1 二．(9 分) 试证明：在区间 (0, ) 内，恒有不等式： 2 1 2 x ? ( x ? 2) arctan x ? ( x ? ) ln(1 ? x 2 ) ? 0 成立。 2 三． （9 分）从半径为 R 的圆上裁下中心角为 t 的扇形，卷成一个圆锥面，问当 t 取何值时，补上底面后所围成的圆椎体体积最大？。?? x 2 n ?1 sin( x) ? cos(a ? bx) 2 四． （9 分） 设函数 f ( x) ? lim ， 其中 a, b 为常数， n ? N? ， n ?? x 2n ? 1；②试确定常数 a, b ，使 0 ? a ? 2? ，①求函数 f ( x) 的表达式（无极限符号）lim f ( x) ? f (1), lim f ) x) ? f (?1) 。x ?1 x ??1（ 数学 II 四（8 分）.求函数 f ( x) ?x arctan sin?21 x ? 1 的间断点，并指出其类型。 ） x5五． （7）试证明数列 ?x n ? 有界的充分必要条件是 ?x n ? 的任意子列都有收敛的子 列。1 六． （5 分） 设函数 f ( x) 在 ?0,1? 上连续， 在 (0,1) 内可导， 且 f (0) ? f (1) ? 0, f ( ) ? 1 ， 2试证：对任意的实数 ? ，必存在 ? ? (0,1) ，使得： f ?(? ) ? ?? f (? ) ? ? ? ? 1 。崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者西安交通大学 2006 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2006 年 11 月 4 日一． 求解答下列各题（7 ? 10 分）( n ? 1 ? 1)sin( n2 ? 1) 1． 求极限 lim 。 n??? n2． 求极限 lim(x ?02x ? 3x 1 )x 。 2? sin ? x ,x?0 ? ? x( x 2 ? 4) 3． 求函数 f ( x ) ? ? 的间断点，并判定其类型。 x ( x ? 1) ? ,x?0 ? ? x2 ? 16? x ,x ?0 1 ? 4． 讨论函数 f ( x ) ? ? 1 ? e x 在 x ? 0 处的连续性及可微性。 ? x?0 ? 0,5． 设 y ? ln( x ? x 2 ? 1) ? arccosdy 1 ? e 3 ，求 。 dx x6． 设 y( x ) 是 由 方程 sin y ? xe y ? 1 所 确定的隐 函数， 求曲 线 y ? y( x ) 在点M (1,0) 的切线方程。? x ? ln(1 ? t 2 ) d2 y 7． 设 ? ，求 2 。 dx ? y ? t ? arctan t8． 求 f ( x ) ? ?2 x 3 ? 6 x 2 ? 18 x ? 7 的单调区间与极值。 9． 试证明方程 2 x ? x 2 ? 1 有且仅有三个实根。 10．设 un ?1 1 1 ? 2 ? ... ? n (a ? 1, n ? N ? ) ，证明 lim un 存在。 n?? a ?1 a ?1 a ?1二． （8 分）证明 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2 ( x ? R) 。 三． （ 8 分 ） 设 f ( x ) 二 阶 导 数 连 续 ， 且 f (0) ? 0 ， f ?(0) ? 0 ， f ??(0) ? 6 。 求崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者f (sin 2 x ) lim 。 x ?0 x4四． （8 分）一立体的下部为圆柱体，上部为以圆柱体顶面为底面的半球体。若 该物体的体积为常数 V ，问：圆柱体的高 h 与底面半径 r 为多少时，此立方体 有最小的表面积。1 五． （6 分）设 f ( x ) 在 ? 0,1? 上连续，在 (0,1) 可导， f (0) ? f (1) ? 0 ， f ( ) ? 1 ， 2求证：存在 ? ? (0,1) 使得 f ?(? ) ? 1 。西安交通大学 2005 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2005 年 11 月一、 解答下列各题（每小题 7 分，共 70 分）1.设 y ? arctan f ( x ) ，其中 f ?( x ) 存在，求 y? 。? x ? t ? ln(1 ? t )? d2 y 2.求由参数方程 ? ? 所确定函数的二阶导数 2 。 2 3 dx ?y ? t ?t ?73.设 y ? y( x ) 由方程 earctany x?x2 ? y2确定，求dy dx1 1 )。 4.求极限 lim( ? x x ?0 x e ?15.已知 lim f ( x ) ? a 存在，并且 limx ?0x ?01 ? f ( x )sin 2 x ? 1 ? 2 ，求 a 的值。 e3 x ? 16.求极限 lim(x ?0a x ? bx ? c x 1 ) x ，其中 a ? 0, b ? 0, c ? 0 。 31 x的微分 dy 。7.求函数 y ? arctan8.证明：当 0 ? x ? 1 时， (1 ? x )ln2 (1 ? x ) ? x 2 。 9.求函数 f ( x ) ? 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 3 的单调区间和极值 10.（注：学习《工科分析》的做(1)题；学习《高等数学基础》的做(2)题）崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者(1)设数列 ( a& 0)an ? a ? a ? a ?n重p? a，证明 lim an 存在并求此极限。n ??(2)设 a ? 0 ，若极限 lim xx ??? (a ? ax1 x ?1) 存在且不为零，试求 p 的值以及极限值。二、求函数 f ( x ) ? 3 x 4 ? 4 x 3 ? 1 的凹凸区间及拐点。 三、 一火箭发射升空后沿竖直方向运动， 在距离发射台 4000m 处装有摄像机，摄像机对准火箭。用 h 表示高度，假设在时刻 t 0 ，火箭高度 h=3000m，运动速度等于 300m/s, （1） 用 L 表示火箭与摄像机的距离，求在 t 0 时刻 L 的增加速度. （2） 用 ? 表示摄像机跟踪火箭的仰角 （弧度） ， 求在时刻 ? 的增加速度.四、 （8 分） 设 f ( x ) 在 [a , b] 上二阶可导， 且 f ?(8 使得 f ??(? ) ?a?b )?0 ， 证明存在一点 ? ? (a, b) ， 24 f (b) ? f (a ) ( b ? a )2五、 （5 分）设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ，证）点，使得 f ?( x1 ) f ?( x2 ) ? 1 明存在两个不同的 x1 , x2 ? (0,1西安交通大学 2004 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2004 年 11 月一、 解答下列各题（每小题 7 分，共 70 分）1. y ? x arcsinx ? 4 ? x2 2，求 y? ? 1? .2 ? ? x ? e sin t ? 1 ? 0 2.已知曲线 ? ，求曲线在 t=0 处的切线方程。 3 y ? t ? 2 t ? ?3.已知 sin( xy ) ? lndy x ?1 ? 1 ，求 dx yx?0?。崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者1 ? 1 ? 4.求 lim x ? a x ? b x ? x ?? ? ?x ? ?e 5.设 f ? x ? ? ? 2 ? ? ax ? bx ? c? a ? 0, b ? 0 ? 。x?0 x?02 x，且 f ??(0) 存在，试确定常数 a,b,c.6.求 lim(2 ? x )x ?1tan?。7.求 y ? ln x 2 ? a 2 ? arc tan 8.当 x ? ? 0, ? ? 时，证明：a 的微分 dy xsin x ? cos x . x9. 落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6m/s.问在 2s 末扰动水面面积的增大率为多少？ 10.（注：学习&工科分析&的做①题，其余做②题） ①已知 xn ? a ? yn .且 lim ? yn ? xn ? ? 0 .证明 lim xn ? lim yn ? a .n??n?? n??②设 y ? sin ? 3 x ? 2 ? .求 y ? n?9二、x 2 指出函数 f ? x ? ? 的间断点及其类型. x ? x 2 ? x ? 2?sin x cos?三、? g ? x ? ? cos x , x?0 ? 设 f ? x? ? ? x ?a , x?0 ?g ? 0? ? 1 。其 中 g ? x? 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且1. 确定 a 的值，使 f ? x ? 在 x ? 0 处连续。 2. 求 f ? ? x ? 3. 讨论 f ? ? x ? 在 x ? 0 处的连续性。 设 f ? x ? 在 ? 0,1? 内二阶可导 , 且 max f ? x ? ? 1, min f ? x ? ? 0 . 用泰勒公o ? x ?1 o ? x ?1四、崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者式证明：至少存在一点 ? ? ? 0,1? ，使 f ?? ? ? ? ? 2 . 设 f ? x ? 在 ? 0,1? 上可导， 且 f ? 0 ? ? 0. f ?1? ? 1 。 证明： 在 ? 0,1? 上存在两点 x1 , x2 ， 使得1 1 ? ?2 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ?西安交通大学 2003 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2003 年 11 月一． 1． 2． 解答下列各题（每小题 7 分，共 70 分） 设 y=ln(x+ 1 ? x 2 )，求 y , . 设 f(x)在 x= x0 处可导，试求 limx0 f ( x ) ? xf ( x0 ) . x ? x0x ? x03． 10 4． 5． 6．dy y 设 y=y(x)由方程 arctan =ln x 2 ? y 2 确定,求 . dx x求极限 lim(cosx ??1 x)x .已知极限 lim( x 2 ? x ? 1 ? ax ? b) =0，求 a,b.x ??已知当 x ? 0 时， ex? 1 ? sin x 与 ax n 为等价无穷小，求 a,n.7．?0 ? 设 f(x)= ? x 1 ? ?1 ? e x( x ? 0) ( x ? 0) ，试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性与可导性。8．x3 ? 证明：当 0& x & 时，tan x &x+ . 3 29．d2 y 设 f (t ) ? 0 又 x = f ( t ) , y ? tf (t ) ? t ，求 2 . dxn,,10． （注：学习《工科分析》的做（1） ；学习《高等数学基础》的做（2） ） （1） 证明：若非空实数集合 A 有上界，则它的上确界是唯一的. （2） 设 f(x)= x 2 ln(2 ? x ) ，求 f (10) (0) . 二． （8 分） 证明函数 f(x)= x 3 ? 3 x ? a 在(0,1)内部可能有两个零点， 为使 f ( x ) 在崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者（0,1）内存在零点，a 应满足怎样的条件？ 三． （8 分） 在曲线 y=ln x (1&x&2)上求一点 p,使得经过 p 点的切线与直线 x=1,x=2, 及 x 轴所围图形的面积最小。? x ( x ? 1) ? ? ? cos x 四． （7 分）讨论函数 f(x)= ? 2 ? ? ?sin 2 x ?4 ?x?0的间断点及其类型。x? 0f ( x) ? 1 ，证明对于 x ?1 ( x ? 1)2五． （7 分）设 f(x)二阶可导，且 f n ( x ) ? M ( M ? 0), lim, ?a?1有 f（ 0） ? f , (a ) ? Ma.西安交通大学 2002 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2002 年 11 月一. 求解下列各题(每小题 7 分,共 70 分) 1. 设 y ? arctan1- x 2 ,求 y’ 1? x112. 设 f(x)= ( x1001 ? 1) g( x ) ,且 g(x)在 x=1 连续,g(1)=2,求 f’(1)。(ln x ) x 3. 设 f ( x ) ? ,求 y’ x ln x4. 求极限 lim(sinx ??1 1 ? cos ) x x xx2 ? 1 ,求 a,b 的值。5. 已知极限 limx ?0(b ? cos x ) a ? x6. 讨论当 x ? 0? 时,β(x)=a ? a ? x 3 (a&0)是 x 的几阶无穷小。1 ? p ? x sin 7. 设 f(x)= ? x ? ?0(1)连续?x?0 x?0，问 p 为何值时,f(x)在 x=0 处(2)可导? (3)导函数 f’(x)连续?8. 证明:当 x&0 时, sin x ? x ?x3 。 6崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者x 2 的间断点及其类型。 x ( x 2 ? x ? 2) sin x cos?9. 指出函数 f(x) ?3 dy ? ? x ? t ? 2t 10. 设 y ? f ( x ) 是由方程 ? y 确定，求 dx ? ? e sin t ? y ? 1 ? 0t ?0二（8 分）试求 a 为何值时,方程 x3 ? 6 x 2 ? 9 x ? a ? 0 恰有三个不等的实根。 三（8 分）在曲线 y ? 1 ? x 2 ( x ? 0) 上求一点 P,使曲线在该点处的切线与两坐标 轴所围的三角形面积最小。 四（ 7 分）设 f(x)三阶可导 ,且 f(-1)=0,f(1)=1, limx ?0f ( x) ? 0 试证 :存在点 ? ? (?1,1) ,使 xf (3) (? ) ? 3五 ( 7 分) 设 f(x)在 x=0 处可导,且 x ? 0 时 f(x)-1 与 x 为等价无穷小,试求极限limx ?0f (sin x ) ? 1 ln f ( x )12西安交通大学 2001 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2001 年 11 月一、求解下列各题（每小题 5 分，共 75 分）x ? sin(?x) 1.求极限 lim x ?1 1? x2n 2 ?12? ? 2.求极限 lim ?1 ? ? n ?? n? ??cos x( x ? 1) ? 3.设 f ?x ? ? ? a x ? ?e ? a( x ? 1)试确定 a 使 f（x）在 ?? ?,??? 上连续。?1?x ? 1? 4.设 f ?x ?? 2 ? x ? 1?x ? 1?试求 f ? f ?x ??.5.试求曲线 e y ? xy ? e 在 x=0 处的切线和法线方程 二，求解下列各题（每小题 5 分，共 25 分）' 2 2 ? ? ? 1. 设 y ? ? ?sin cos x ? . ?cos sin x ? ，求 y????崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者2.? 1? 设 y ? ?1 ? ? ，求 y ' ? x?x3. 确定 y ? e 2 x x 2 ? 2 0 的单调区间 4. 设 f（x）在 x= x 0 处连续，g（x）在 x 0 处不连续，试研究 F（x）=f（x）+g （x）在 x= x 0 处的连续性 5. 设 f ?x ? ? ?x ? a ?? ?x ? ，其中 ? ?x ? 在 x=a 处连续，求 f ' ?a ?2 ? d2y dy ? x ? ln 1 ? t 三、 （7 分）设 ? ，试求 和 2 2 dx dx ? ? y ? t ? arctan t??四、 （7 分）确定 f ?x ? ?x2 ?1 的间断点，并判定其类型。 sin ?x五、 （7 分） 在中午 12 时， 甲船以 6km/h 的速率向东行驶， 乙船在甲船之北 16km 处以 8km/h 的速率向南行驶，求下午一时两船相离的速率。 arctan x 六、 （7 分）试证明：当 x ? 0 时， ln ?x ? 1? ? 1? x? sin x ? ? ? 七、 （7 分）求极限 lim x ?0 ? x ?1 1? cos x13.八、 （7 分）设 f ?x ? ? 1 ? a cos 2 x ? b cos 4 x ，试确定 a，b 的值，使得当 x ? 0 时， f ?x ? 是 x 的四阶无穷小，并求极限 limx ?0f ?x ? x4x?0九、 （ 8 分）设 f（ x）在 ?0,1? 上连续，在 ?0,1? 内二阶可导，且 lim?lim ?x?1f ?x ? 试证： （1）?? ? ?0,1? ， 使 f ?? ? ? 0 （2）?? ? ?0,1? ， 使 f n ?? ? ? f ?? ? ?2， x ?1f ?x ? ?1 x西安交通大学 2000 年高等数学(I II)期中考试考试时间：2000 年 11 月一、 求解下列各题： （每小题 5 分，共 50 分）1、 求函数 f ( x ) ? ln1 ? x ? 2 的定义域。2、求极限 lim n n?? x ?1?n? 2 ? n?1?崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者3、求极限 lim ? 1 ? x sin x ?x ?0 1 1? cos x? 1 1 ? 4、设 f ( x ) ? 1 ? e x ? ?15、设x?0 x?0，研究 f ( x ) 在 x ? 0 处的左连续性及右连续性。y?etan1 x? (1 ? x 2 )sin x ，求 y ' 。? x ? t ? 2 ? sin t 6、求曲线 ? 在 x ? 2 处的切线方程。 ? y ? t ? cos t7、试确定当 x ? 0 时，无穷小量 f ( x ) ? sin x ? 1 ? cos x 是 x 的几阶无穷小。 8、设 y ? y( x ) 由方程， e y ? xy ? e 所确定，求dy dxx?0。9、求函数 f ( x ) ? x 3 ? 12 x 的极值并确定其单调区间。 14 10、确定 f ( x ) ? 3 x 4 ? 4 x 3 ? 1 所表示曲线的凹向及拐点。2 ? ? x ? t ? 2t 二、设 ? 2 ? ? y ? 2t ? td2 y dy 求 及 2。 dx dxx 的间断点并指出其类型。 tan x三、确定函数 f ( x ) ?四、设顶点在下的正圆锥型容器，高 10 米，容器口半径是 5 米，若在空的容 器内以每分钟 2 立方米的速率注入水，求当水面高度为 4 米时 （1）水面上升的速率； （2）水的上表面面积的增长率； 五、求极限 limx ?0e tan x ? e 3 x 。 e x sin x2( x ? 1) x ?1 ( x ? 1)六、试证明不等式 ln ?七、设 0 ? x1 ? 1 ， xn?1 ? 1 ? 1 ? xn ， (n ? 1, 2,......) ，求证 ? xn ? 收敛并求其极 限。 八、设 f ( x ) 在 ? a , ?? ? 中二阶可导，且 f (a ) ? 0 ， f '(a ) ? 0 ，又当 x ? a 时，f n ( x ) ? 0 ，证明：方程 f ( x ) ? 0 在 ? a , ?? ? 内必有且仅有一个实根。崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者西安交通大学 1999 年高等数学(I II)期中考试考试时间：1999 年 11 月一、 填空题（每小题 4 分，共 16 分）? ?1, x ? 1 1、设 f ( x ) ? ，则 f ? f ( x )? ? ? ? 0, x ? 12、设 3、设。y ? xx2x， （ x ? 0） ，则dy ? dx。y ? y( x ) 由方程 x sin y ? ye x ? 0 所确定，则 y '(0) ?f ( x ) ? e x ? x 在 (??, ??) 上最小值为1的结果是（ ）A、0 B、 。4、函数二、选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1、极限 lim x ?032? 31 x1 2C、1 5D、不存在2、方程 x ? 3 x ? 1 ? 0 （ A、无实根 B、有唯一实根） C、有两个实根 D、有三个实根151 ? ,x?1 ? x ? ( x ? 1)sin x ?1 3、 f ( x ) ? ? ，则 x ? 1 是 ? 2 x 2 ? ln x , x ?1 ?A、连续点 4、设 B、跳跃间断点x ??f ( x ) 的（）C、无穷间断点D、振荡间断点 ）xn , yn 满足 lim xn yn ? 0 ，则下列断言正确的是（A、若 xn 发散，则 yn 发散 C、若 xn 有界，则 yn 必有无穷小B、若 xn 无界，则 yn 必有界 D、若1 为无穷小，则 yn 必是无穷小 xn三、求极限 lim(cos n ??1 n ) （8 分） n? x ? ln(1 ? t 2 ) ? 四、设 ? ，试求 ? ? y ? ? arctan t ? 2五、求极限 limcot x(x ?ody d 2 y , （8 分） dx dx 2 。1 1 ? )。 （8 分） sin x x崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者六、求函数y ? e? x2的单调区间及极值，并确定曲线y ? e? x2的凹向和拐点。 （8 分） 七、试证对一切的实数x ，恒有 xe1? x? 1。 （9 分）n八、试确定常数 a 与 n 的一组值，使得当 x ? 0 时， ax 与 e 等价无穷小。 九、设 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上处处可导，且? x2? cos 2 x 为f ( x ) ? ? x 2 f '( x ) ? 0 ，试在曲线y ? f ( x ) 上求一点 P，使得曲线 y ? f ( x ) 在 P 点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积最小。 （9 分） 十 、 设 f ( x ) 在 ? 0,1? 上 连 续 ， 在 （ 0 ， 1 ） 上 可 导 ，f (0) ? f (1) ? 0 ，limx? 1 2f ( x) ? 1 ? 1 ，试证：1）存在 ? ? ( 1 ,1) ，使 1 2 ( x ? )2 2f (? ) ? ? ；2）f ( x ) 在 ? 0,1? 上的最大值大于 1。 3） 对于任意实数 ? ， 必存在 ? ? ? 0,? ?16 使得f '(? ) ? ? ? f (? ) ? ? ? ? 1 。西安交通大学 1998 年高等数学(I II)期中考试考试时间：1998 年 11 月一、试解下列各题x2 ? 3 x ? 2 1、讨论 lim x ?1 x ?1 ? x ? a cos t d2 y 2、设 ? 其中 a.b 是不为零的常数，求 2 dx ? y ? b sin t3、分 d ?? ln x ? ?cos x? ? x ? 1? ?4、试确定 a、b 使 f(x)= x 3 ? ax 2 ? bx 在 x=1 处有极值为-2f ? 1 ? h ? ? f ? 1 ? 2h ? ? 5、设 f ( x ) ? 2 ,试求 lim h?? h崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者? ax 2 ? b , x ? 0, x ? 1 ? 6、设 f ? x ? ? ? ln x 试确定 a.b 使 f(x)在 x=1 连续 ? 2, x ? 1 ?二、确定 f ? x ? ?ln x 的间断点并判断定其类型 x ? 3x ? 22d2 y 三、设 y ? f ? x ? 由 e ? xy ? e 所确定，求 2 dxyx?02 ? 1 四、试求极限 lim ? 2 ? 2 ? n?? n ? 1 n ?2 ??n ? n ?n? ?2五、求极限 lim ? 1 ? sin 2 3 x ? lncos xn ??12 ? 六、试确定常数 a 与 n 的一组值，使得当 x ? 0 时， e x ? ln ? ?e 1 ? x ? 与为等2??价无穷小 七、试证当 x ? 0 时，有不等式 xe ? x ? ln ?1 ? x ? 八、从半径为的圆中应切去怎样的扇形，才能使余下部分卷成的圆锥型容器， 其容积为最大？ 九 、 设 f(x) 和 g(x) 在 [a,b] 上 二 阶 可 导 ， 并 且g'' ? x ? ? 0, f ? a ? ? f ? b ? ? g ? a ? ? g ? b ? ? 0 ，试证；171）在(a,b)内个 g( x ) ? 0 2）至少存在一点 ? ? ? a , b ? ，使g ?? ? f ?? ? ? g '' ? ? ? f '' ? ? ?西安交通大学 1997 年高等数学(I II)期中考试考试时间：1997 年 11 月一、填空1 ? ,x ?0 ?? 1 ? 1? ex ? 1.设 f ? x ? ? ? ? 则 x ? 0 ，函数 f(x)的左极限 f ? 0 ? 0 ? =___，右 ? ? ?? ? ? 0, x ? 0极限 f(0+0)=____，x=0 称为 f(x)的 _______点. 2.设 y ? cosarcsin x ，则微分 dy=__________. 2崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者3.y?1 x ?1 ? x? csc x ,则导数 y’=_______.4.设 0&x&x ? tan ， y ? ? tan 2 x ? 2 则导数 y’=__________. 4二、试解下列各题? 1 ? 1.求极限 lim x ? e x ? 1 ? x ?? ? ?3 x ? 3? x ? 2 2.求极限 lim x ?? x23.求参数方程 x ? e 'cos t , y ? e 'sin t ，确定的函数 y=y(x)相对 x 的导数? e ax , x ? 0 4.求 a.b 之值，使函数 f ? x ? ? ? 处可导函数处可导 ?sin 3 x ? b, x ? 0dy dx5.确定 y ? 3 x 2 ? x 3 ? 3 x ? 5 的单调区间，凹凸区间 18 6.求曲线 e xy ? 2 x ? y ? 3 在 y=0 处的切线方程 7.求曲线 y ? ? x 3 在 x=1 的点处的曲率 2三、已知 x 3 ? y 3 ? 3 x ? 3 y ? 2 确定的函数可导，求 f(x)的极小值，极大值 四、设扇形的周长 p 为常量，问扇形的半径为何值时，扇形的面积最大？ 五、球半径为 R 的球的内接圆柱体的最大体积e tan x ? e x 六、求极限 lim x ?? sin x ? x cos x七、已知 f ? x ? ?1 在 ? ??, ?? ? 上连续， lim f ? x ? ? 0 问 a.b 的符号应 x ?? ? a ? ae bx ?如何?并求当和时的极限 八、已知 f(x)在 ? 0, a ? 上二阶可导， f '' ? x ? ? M ,f(x)在(0,a)取最大值，求证f ' ? 0 ? ? f ' ? a ? ? Ma崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者西安交通大学 1996 年高等数学(I II)期中考试考试时间：1996 年 11 月一、试解下列各题 1、设 e x ? e y ? sin( xy ) 求 y ' 及 y' (0)x2 ? x ? 2 4x ? 1 ? 32、求 lim102 x ? 7? x x ? 0 2tan x ? arc cot x3、求 limx?2二、求解下列各题 1、设 y ?cos x 求 y' 1 ? sin x2、利用导数定义求函数 y ? x 在 x0 （设 x0 ? 0 ）处的导数3、设 xn ?1 1 1 1 ，求 xn 的极限 ? ? ? ...... ? 1* 2 2* 3 3* 4 n( n ? 1)19三、 一质点沿曲线 y=(8-x)x 运动， 其横坐标随时间 t 的变化速率为想 x ? t t （t 单位为秒，x 单位为米） ，求该质点在 N(1,7)处纵坐标 y 的变化速度。 四、设 f ? x ? ? limn??x 2 n?1 ? ax 2 ? bx 为连续函数，求 a,b x 2n ? 1五、为使计算球体体积的相对误差不超过 3%，问测量球半径时，允许使用的相 对误差至多是多少？x 2 3 六、求极限 lim(e ? 1 ? x ) x sin x x ?0七、写出 f ? x ? ? xe x 的带拉格朗日型余项的 n 阶麦克劳林展式 八、一均匀质械杆每米 5 千克，左端为支点，距左端 1 米处挂重为 490 千克的 物品，右端加力保持水平，求量省力时杆长。 九、设 f ( x ) ? x sin x ? (a ? 1)cos x ，a 为常数，证明 a&1 时 f ? 0 ? 是 f ? x ? 极小 值， a ? 1 时 f ? 0 ? 是 f ? x ? 极大值 十、设 f ? x ? 在 [a, ??) 上二阶可导， f ? a ? ? 0, f ' (a ) ? 0, x ? a 时 f '' ( x ) ? 0 证明 f ? x ? ? 0 (a, ??) 上有且只有一个根。崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者西安交通大学 1995 年高等数学(I II)期中考试考试时间：1995 年 11 月一、求下列极限? n?1 ? 3 lim n ? ? 1 ? ? n ?? ? ? n? 2 ? 2、? x ? lncos t ? y ? sin t ? t cos t 2、设 ?ln sin ax x ? 0 ln sin bx 1、 （a，b 为常数） lim二、求下列导数或微分3limx ?1ln(1 ? x ) cot ? xd2 y1、设y?ln 2 ? a ? 0? x 2a ? 3csc2 x2 求 dxd ? ln sin 2 x ? 1 ? 2cos 2 x ? ? ? ? 3、分 ???? 5 y ? 2? 三、求曲线20 四、求曲线3? ? 2 x ? 1?51 (0, ? ) 5 处的切线和法线方程 在y ? x3 ?3 2 x ? 6x 2 在极大点与极小点处得曲率?? ? x ?1 x ? ?1 ?1 ? x ? 1? x2 ? 1 ? ? 五、设 f ( x ) ? ? b ? a ? arccos x ? ?试确定 a,b 之值，使 f ? x ? 在x=-1 处连续 六、设 lim cxx ?? ?3sin 3 x ? ax ?2 ? b ? 0 ，求常数 a,b七、设 0&x&2 证明 4 x ln x ? x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 八、设 f ( x ) 在 [0, ??] 连续，在（0，+ ? ）可导，且 f ' ? x ? ? k ? 0 ，又 f (0) ? 0 ， 证明方程 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 内必有惟一的实根崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者试题参考答案与参考评分标准?2008 年高等数学期中考试参考答案一、1. dy ?1 1 ?x2 dx ? (2 xe1? sin 1 x?e1? sin1 x1 cos )dx （少 dx 扣一分） x' 'ey , k ? y' 2.两边对 x 求导数： e ? xe y ? y ? 0, y ? ? y 1 ? xey y 'x ?1??1 21 切线方程： y ? ? ( x ? 1) 法线方程： y ? 2( x ? 1) 23.原式=lim e (cotx ?02x ) In1? x 2，而x 1 1 In(1 ? x 2 ) 2 1 1? x 1 ? x2 lim 2 ? lim ? lim ? 2 2 x ?0 x ? 0 2tan x sec x x ? 0 tan x tan x 2 1 2 sec2 x x ，原式= e 2 。an ? 1 ? ? an ? 1 an ? bn ? an bn ? bn?1 2 a ? bn ? n ? an , an bn ? bn?1 ? bn 2214 （1）于是 a1 ? a2 ? ... ? an ? an?1 ? bn?1 ? bn ? ... ? b1an ? l ,lim bn ? m. 对 ?an ? 单减有下界 b1 ， ?bn ? 单增有上界 a1 ，于是设 lim n?? n??an ? 1 ? an ? bn 两边令 n ? ? 取极限得： l =m 2（2）xn ? xn?1 ?xn ?1 ? xn ? 2 x ? xn ?1 1 ? xn ? 1 ? n ? 2 ? ? ( xn ? 1 ? xn ? 2 ) 2 2 2xn ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ... ? ( xn ? xn?1 ) 1 n? 2 1 ? ( ? ) b?a n? 2 b ? a 2 ? a ? (b ? a ) ? ? ... ? ( ?1) ? a ? (b ? a ) 1 2 2n ? 2 1 ? (? ) 2崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者2 a ? 2b 于是 lim xn ? a ? (b ? a ) ? n?? 3 35.f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ? 1), f '' ( x ) ? 6 x ? 6在（ ??, ?1 ）和（3，+ ? ）内 f（x）单增，在（-1，3）内单减， 在（- ? ，1）内凹，在（1，+ ? ）内凸，拐点为（1，-6）dy dy d 2 y dt 1 d2y dt ? ? t , ? ? ? , 6. dx dx dx 2 dx sin t dx 2 dtt?? 4?? 2f ( x ) ? f (0) 1 1 lim f ( x ) ? lim x 2 sin ? 0 ? f (0) 连续 f ' (0) ? lim ? lim x 2 sin ? 0 可导。 x ?0 x ? 0 x ?0 x ? 0 x x x 7.f ( x ) ? lim 8．lim ? ?x ?1 x ?1x arctan1 x ? 1 ? ? ，lim f ( x ) ? ? ? , x=1 为跳跃间断点， ? 2 x ?1? 2 sin x 2221 x ? 1 ? ? 1 ，x=0 为可去间断点， lim f ( x ) ? lim x ?0 x ?0 ? 2 sin x 2 x arctanx ?2 klim f ( x ) ? ?x=2k (k ? z ) 为无穷间断点。9． f ( x ) ? 4 xInx ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? ? 0, 2? ， f ' ( x ) ? 4 Inx ? 2 x ? 2,' '' 令 f ? 0, x ? 1, f ( x ) ? lim f ( x ) ? 3, f (1) ? 2 ? 0 ， 极小值唯一， 没有极大值， x ?0极小为最小，? f ( x ) ? f (1) ? 0, f (2) ? 8 In2 ? 5 ? 0 。 10． limx ?0x ? sin x ? f ( x ) x ? sin x ? f ( x ) ? 1,? ? 1??, 4 x x4? ? 0( x ? 0),? f ( x ) ? x 4 ? ? x 4 ? x ? sin x? limx ?0f ( x) sin x ? x 1 ? lim ? ? ，于是原式=-6。 3 3 x ? 0 x x 6f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 3a ? 3( x ? a )( x ? a ) ，注意到二、崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者x ???lim f ( x ) ? ??, lim f ( x ) ? ??, f ( ? a ) ? 2(a a ? b) ? 0x ???f ( a ) ? 2( ? a a ? b) ? 0,? f ( x ) ? 0在（ ??, ? a ） （- a a ） （a , ?? ）各有一根，又 f (3) =6，? f ? a 最多三根。三 、 以 A 为坐标原点做直角坐标系， 经过 t 小时， B 移到 B' (200 ? 80t ,0) ， A 移到 A' (25T , 25 3t ) ， f (t ) ? (200 ? 105t )2 ? 1875t 2 ? 0, 令f ' ? 0, t ?70 '' 70 , f ( t ) ? 0 ，故 t ? 是 f（t）的极小值点。且是唯一驻点， 43 43故t ?70 是 f（t）的最小值点。 43'xg ' ( x ) ? g( x ) ? ( x ? 1)e ? x 四、 （1）当 x ? 0 时， f ( x ) ? x2f ( x) g( x ) ? e ? x g '' (0) ? 1 ? lim ? x ? 0 时， f (0) ? lim x ?0 x ?0 x x2 2'23（2）lim f ' ( x ) ? limx ?0 x ?0xg '' ( x ) ? e ? x ? ( x ? 1)e ? x g '' ( x ) ? e ? x ? lim( ) ? f ' (0) x ? 0 2x 2f (0) ? f ( ?2) ? f ' (a ) ， ?2 ? a ? 0 ， 0? 2连续， x ? 0 连续。' 五、令 F ( x ) ? ? f ( x )? ? ? ? f ( x )? ? , 2 2f (2) ? f (0) ? f ' (b) ， 0 ? b ? 2 ， f ' (a ) ? 1, f ' (b) ? 1 ， 2?0F（x）在 ? a , b ? 上连续，在（a，b）内可导，且 F (a ) ? 2, F (b) ? 2, F (0) ? 4.? F ( x ) 在 （ a ， b ） 取 得 最 大 值 ， 该 点 为 ? ， 则 F ' (? ) ? 0 ， 从 而2 f ' (? ) ? f (? ) ? f '' (? ) ? 0 ? ? 0 。崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者?2007 年高等数学期中考试参考答案一、 1 ． y' ? 分）1 1 ? x2 ? 1 x x2 ? 1 ?3 ? 1 x ln x （6 ? (ln x )( )( x 2 ? 1) 2 2 x ? 3 2 2 x x ?1 2 2 ( x ? 1)1d 2 y dt 1 t4 dy ? ?? 2. （6 分） ? t （3 分） 2 ? dx dx ?3t ?4 ? 2t ?3 2t ? 3 dx3． y ' ?2 1 ? y2 2(1 ? y 2) （ 6 分） （7 分） y '' ? ? y ' ? ? y3 y2 y54．原式 ? limx?? 2cot x ? csc2 x 1 ? lim ? ? （6 分）少符号（3 分） 2(? ? 2 x )( ?2) x ? ? 8 825.f (sin2 x ) f '(sin2 x )sin 2 x f '(sin2 x ) f ''(sin 2 x )sin 2 x ) f ''(0) lim ? lim ? lim ? lim ? ?3 4 3 2 x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x 4x 2x 4x 224 6． dy ? [1 x ? x2 ? 1 (1 ? x x2 ? 1 )? ?1 1? 1 x2 .( ?1 x ?1 )]dx ? dx （6 分） 2 x x x2 ? 17. f ' ? 3 x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x 2 ? 2 x ? 3) ? 3( x ? 1)( x ? 3)（2 分）f 在 (??, ?1) 和(3, ??) 单调增加，在 ? ?1, 3 ? 内单减（4 分）极大 f (?1) ? ?14 ，极小 f (3) ? ?181 1 n( n ? 1) n( n ? 1) 1 1 1 2 2 ? ? ? ...... ? ? （5 分） n2 ? n ? n n2 ? n ? 1 n 2 ? n ? 2 n2 ? n ? n n2 ? n ? 11 （6 分） 23 ? ( x) kx? ( 1 ? x arcsin x ? cos x ) ?k ? ， ? lim （4 分） ??2 x ?0 ? ( x ) x ?0 4 1 ? x arcsin x ? cos x8.? 原式 ?9． 1 ? lim10. s ? ? r 2ds dr |t ? t 1 ? 2? r0 |t ? t1 ? 2? r0 (1 ? ? t1 )? r0 （6 分） dt dt1 三、设裁下的扇形所围成的圆锥体的地面半径为 r，高为 h，则, v ? ? r 2h 3崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者? R2T 2 R . 4? 2 ? t 2 依题意有 2? r ? Rt ，于是 v ? . 3 4? 2?0 ? t ? 2? （4’）dv dv 2 6 2 6 dv R 3 8? 2 t 2 ? 3t 3 (6’) 令 ?0 ， t? ?0 ? ， t ? (0, ) 时 ? . 2 dt 24? dt dt 3 3 4? 2 ? t 2t ?(dv 2 6 ?0 , 2? ) 时 ， 3 dt。 t?2 6 ? 为 唯 一 的 极 大 值 点 。（ 9’ ） 3? R3 t 2 v? 4? 2 ? t 2 2 24?? ?1 x ?1 ? x sin 2 x , ? x ?1 ?cos(a ? bx ), ? 四、1.① f ( x ) ? ? 1 ? [1 ? cos(a ? b), x ? ?1 ?2 ?1 [1 ? cos(a ? b), x ? 1 ? ?2②x ??1?（4’ ）x ?1?lim f ( x ) ? f (1) ? lim f ( x) ?x ?1x ??1cos(a ? b) ? 1（ 6 ’）25lim f ( x ) ? f (?1) ? lim? f ( x )cos(a ? b) ? 1 （8’ ）从而 a ? ? ， b ? (2k ? 1)?（9’ ） 五、必要性： 若{ xn }为有界数列，则它的任意子列都为有界数列，据 wcierstrass 定理，{ xn }的任意子列都有收敛的子列（3’ ） 充分性： 反证法， 假设数列{ xn }无界。 则对 ?k ? 0, ?nk 有 xnk ? k k ? N ? 从 而{ xn }的子列 { xn } 发散，与假设矛盾，子列 { xn } 发散到无穷kk六、 作 F ( x) ? f ( x) ? x1 1 1 F ( ) ? ? 0 F (1) ? ?1 ? 0 据介值定理 ?? ? ( ,1) 使 2 2 2（2’ ） G(? ) ? 0f (? ) ? ?（3’ ） G( x ) ? e ? ? x [ f ( x ) ? x ]G(0) ? 0 据 Rolleth 知 ?? ? (0,? ) ? (0,1) ，使 G '(? ) ? 0 即 f '(? ) ? ?[ f (? ) ? ? ] ? 1 （6’ ）崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者?2006 年高等数学期中考试参考答案? 一、1． limn??n ? 1 ? 1 sin ? n2 ? 1? n1x?? limn??1 n?1 ?1sin ? n2 ? 1? ? 01 2 ln ? 2x ? 3x ? x x ? lim e 2. lim ? ? x ?0 x ?0 ? 2 ?? 3x 2limx ?0ln ? 2 x ? 3 x ? ? ln 2 x? lim2 x ln 2 ? 3 x ln 3 ln 6 ? x ?0 2x ? 3x 2原式= eln6 2? 63. lim f ( x ) ? limx ?2 x ?2sin ? x ? cos ? x ? x=2 为可取间断点 ? lim ? 2 x( x ? 4) x ?2 3 x 2 ? 4 8x ??1l i mf x ( ?)x( x? 1 ) lim ? x ?? 1 x 2 ? 1?? xx 1 l i m? ? x=-1 为可取间断点 1 x? 1 2x ?0lim f ( x ) ? lim? ?x ?0x( x ? 1) sin ? x ? lim f ( x ) ? lim ? 0 x=0 为跳跃间断点 ?? 2 2 x ? 0? x ? 1 x( x ? 4) 4 x ? 0?264. ①．证明：对 ?a ? A . 有 a ? M 对 ?? ? 0 ， ?a0 ? A .使 a0? M ??? 对 ?b ? B 有 b ?a M ? a a M M ? 对 ?? ? 0 ?b0 ? 0 ? B 使 b0 ? 0 ? ? ? sup B ? 2 2 2 2 2 2 2x 1? e1 x②. lim f ( x ) ? lim ? ?x ?0 x ?0?0x ?0lim f ( x ) ? lim ? ?x ?0x 1? e1 x?0lim f ( x ) ? f (0) ? 0x ?0连续f ? ' (0) ? lim ?x ?0f ( x) ? lim x ? 0? x1 1? ex1 x? 0 f ? ' (0) ? lim ?x ?0f ( x) ? lim x ? 0? x1 1? e1 x? 1 不可导5.dy 1 ? (1 ? dx x ? x 2 ? 1x ?12)?1 1? 1 x2(?1 x ?1 )? 2 x x x2 ? 16. (cos y ) y ? e ? xe ? y ? 0 y ' ?' y y '1 ?e y k ? y' |(1,0) ? ? y 2 xe ? cos y切线为 y ? ?1 ( x ? 1) 2崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者dy ? 7． dx'1?1 1? t2 ? t 2t 2 2 1? t2d 2 y 1 dt ? ? dx 2 2 dx1 t2 ? 1 ? 2t 4t 2? 1? t28． f ( x ) ? ?6 x ? 12 x ? 18 ? ?6( x ? 1)( x ? 3)f ( x ) 在 (??, ?1) 和 (3, ??) 单减 在(?1, 3) 单增 极大 f (3) ? 61 极小 f (?1) ? ?39． 证: f ( x ) ? 2 ? x ? 1 ,x 2 '''f (1) ? 0 , f (0) ? 0 , f (?2) ? ?1 ? 0 , f (5) ? 6 ? 0 则至少有x 3三个实根 但 f ( x ) ? 2 (ln 2) ? 0 最多有三个实根 故 10． un?1 ? un ?f ( x ) 仅有 3 个实根1 an ?1?1? 0 单增 0 ? un ?1 1 ? ? a a2?1 1 ? 有界 据单调有界 n a a ?1原理知 lim un 存在u??二. 证: f ( x ) ? 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2f '' ( x ) ? 1 1? x2f ' ( x ) ? ln( x ? 1 ? x 2 )?0f ' (0) ? 0f ( 0 为极小值 ) 又极小唯一没有极大27所以极小值为最小值 f ( x ) ? f (0) ? 0 . 移项即可 三 limx ?0f (sin2 x ) f ' (sin2 x )sin 2 x sin 2 x f ' (sin 2 x ) f '' (sin 2 x )sin 2 x ? lim ? lim ? ? lim x ?0 x ?0 x ?0 x4 4 x3 2x 2 x2 4xsin 2 x f '' (sin 2 2 x ) f '' (0) ? ? ?3 = lim x ?0 2x 2 22 10 2V 四． V ? ? r 3 ? ? r 2 h s(r ) ? 3? r 2 h ? 2? rh s' ( r ) ? ? r ? 2 ? 0 r ? 3 3 r10 4V s (r ) ? ? ? 3 ? 0 3 r''33V 5?sm i n? 5? 39V 2 25? 2五．①证：f ? C ? 0,1? 故必存在最大值 M ? 0 及最小值 m ? 0 (由 f (0) ? f (1) ? 0 可得) 从而存在大于 1 的整数 n 使得 m ?M ? M ' 据介值定理 ?C ? 0,1? n使 f (C ) ?M 据 Lagrange 定理知 ??1 ? (0, C ) . ?? 2 ? (C ,1) 使得 n崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者f ' (?1 ) ? f (C ) ? f (0) f (C ) ? C ?0 C. f (? 2 ) ?'f (1) ? f (C ) f (C ) ?? 1? C 1? C1 1 C 1? C 1 n ? ' ? ? ? ? f (?1 ) f (? 2 ) f (C ) f (C ) f (C ) m'②证： F ( x ) ?f ( x) ? xF ( x )? C ? 0 ,? 1 F ( ) ?1 21 ? 0 . F (1) ? ?1 ? 0 2据介值定理 ?? ? ( ,1) 使1 2F (? ) ? 0 即 f (? ) ? ?f ' (? ) ? f (? ) ? f (0) ? ? ?1 ? ?0 ?据 Lagrange 定理 ?? ? (0,? )?2005 年高等数学期中考试参考答案一、 1. y? ? f ?( x ) (7') 1 ? f 2 ( x) dy d 2 [(2 ? 3t )(1 ? t )] dy d y (5 ? 6t )(1 ? t ) dt 2. ? dt ? (2 ? 3t )(1 ? t ) (4') ? ? (7') 2 dx dx dx dx t dt dt281 y' 3. 两 边 取 对 数 ： ln( x 2 ? y 2 ) ? arctan 2 x对 x 求 导 ：1 2x+2yy' ? 2 x2 ? y21 y 1 ? ( )2 xxy '? y (5') x2y' ?x? y x? y(7')4.原式 ? limex ?1? x ex ? 1 ex 1 (2') lim (4') lim ? x x x x x x ? 0 x ( e ? 1) x ? 0 e ? 1 ? xe x ? 0 2e ? xe 2(7')5．e 3 x ? 1 3 x .( x ? 0)1 ? f ( x )sin 2 x ? 11 f ( x )sin 2 x 2( x ? 0) (3')1 f ( x )sin 2 x a 1 ? f ( x )sin 2 x ? 1 2 ? 2 ? lim ? lim ? (6') x ?0 x ?0 e3 x ? 1 3x 3 （还可以分子有理化在利用重要极限即可）a x ? bx ? c x 6.原式 ? lim e ln 31 x x ?0a?6(7')(2')崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者ln(a x ? b x ? c x ) ? ln 3 a x ln a ? b x ln b ? c x ln c 1 而 lim ? lim ? ln abc (6') x ?0 x ?0 x a x ? bx ? c x 3原式 ? 3 abc(7')? 1 ?3 ? 1 dx (7') 7. dy ? ? ? ? x 2 dx ? (6') 1 ? 2 2x x ? 1 ? 1? x 18. f ( x ) ? (1 ? x )ln2 (1 ? x ) ? x 2x ? (0,1) (2')f ?( x )? l 2n (? 1 x ?)f ??( x ) ?2 ln ?( x1 ? x ) 22 2x 2 ln(1 ? x ) ? (4') f ??( x ) ? [ln(1 ? x ) ? x ] ? 0 移项即可！ x ?1 x ?1 x ?1 ? f ?( x ) ? f ?(0) ? 0 ? f ( x ) ? f (0) (7')9.f ?( x ) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) (2')) 单调递增，在 ( 1 , 2内递减。 f (x ) 在（? ?， ） 1? （2, + ?）10. (1) 由于 a2 ? a1 ? a ? a ? a ?a a? a ? a ?0(4')29an ? 2 ? an ? 1 ? a ? a n ? 1 ? a ? a n ?其 次 证 明an ? 1 ? an a ? an ? 1 ? a ? a n界 ， 先? 0 (2')有a1 ? a ? a ? 1?a n ?有an?1 ? a ? an ? a ? a ? 1 ? a ? 1(4')设 lim an ? A 则 A= a ? An??1A?1 ? 1 ? 4a 2(7')(2)a x ? a x ?1 ? a x ?1 (a x1 x ?1111?1 x ?1? 1)1a x ?1ln a ( x ? ?? ) x( x ? 1)(3')? 原式 ? lim x ap x ??[a1 x ( x ?1)? 1] ? lim ax ??1 x ( x ?1)xp ln a ? ln a (6') x( x ? 1)p ? 2 (7')二、 f ?( x ) ? 12 x 3 ? 12 x 2 f ??( x ) ? 36 x( x ? ) (3')2 3崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者2 2 曲线 y ? f( x) 为凸的，在 ( 0 , 为凹的 在(- ? ,0 ? ) (, ? ? ) ) 3 3(5'))( 拐点为 ( 0 , 1 和2 11 , ) 3 27(8 ')dl ? dt dh 40002 ? h2 dt h三、 l ?40002 ? h2(2')因此(4')dh dtt ? t0? 3 0 0m ( s/ )h 4000 sec2? ?dl ? 1 8 0m ( s/ ) dt d? 1 dh ? dt 4000 dt(6') (8')另外 t a n ??se2 c?当 h=30001 16 25 d? ? ? ? 3000 ? 0.048( rad / s ) (9') 。 dt (2')四、 f ( x ) ? f (30a?b a?b a?b 1 a?b 2 ) ? f ?( )( x ? ) ? f ??(? )( x ? ) 2 2 2 2 2f (b) ? f (a?b 1 ( b ? a )2 ) ? f ??(?1 ) 2 2 4 a?b 1 ( b ? a )2 ) ? f ??(? 2 ) 2 2 4(3')a?b ? ?1 ? b 2 a?b 2f (a ) ? f ((3') a ? ? 2 ?( b ? a )2 f (b) ? f (a ) ? [ f ??(?1 ) ? f ??(? 2 )] (6') 8取 f ??(? ) ? max{ f ??(?1 ) , f ??(? 2 ) }则f (b) ? f (a ) ?( b ? a )2 f ??(? ) (8') 4五、令 F ( x) ? f ( x) ? x ? 1F (0) ? ?1 ? 0 F (1) ? 1 ? 0(2')?? ?( 0 , 1使 ) f ? ( ?) ? 1 ?, 上 ] 在[ 0?f (? ) ? f (0) ? f ?( x2 )(1 ? ? ) x2 ? (? ,1)1??(4')于是： f '( x1 ) f '( x2 ) ??1????1(5')崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者?2004 年高等数学期中考试参考答案1. y? ? arcsinx x ? . 2 21 1??2??2 x 2 4? x2? arcsinx 2? 6? ?y? ? 1? ??6?1? ?42.dx e x cos t ? dt 1 ? e x sin t? 2? ?dy ? 3t 2 ? 2 dt? 3? ?? 2et ? 0 时 x=-1,y=0? 4? ?dy 3t 2 ? 2 ? x （ 1 ? e x sin t ) dx e cos t切线方程为： y ? 2e ? x ? 1?k?dy dxt ?0? 6? ?? 7? ?y y ? ? x ? 1? y ? ? ? ? cos xy y ? xy ? . ?0 ? ? ? ? ? 3.两边对 X 求导得： ? x ?1 y2? 3? ?1 ? y cos xy x ? 1 y? ? 1 x cos xy ? y又 x? ? 0 时 4. 原式= 5.? 5? ?dy dx31y?e1 x 1 x? 6? ?1?x ?0? e ? 1? e ?? ?7?limx ??a ?b ? lim x ?? 1 xa x ? ln a ??1 1 ?1 ? b x ? ln b ? 2 1 1 2 x x ? lim ? a x ln a ? b x ln b ? ? ln a ? 7? ? ? ? x ?? 1 b ? ? ? 2 xx ?0f ? ? 0 ? 存 在 , ? f ? x ? 和 f ? ? x ? 在 x ? 0 处 连 续 。 由 lim f ? x ? ? f ? 0 ? 得c ?1? 2? ??e x x?0 ? x?0 而 f ? ? 1? ? ?1 ? 2ax ? b x ? 0 ?f ? x ? ? f ? 0? f ? x ? ? f ? 0? ax 2 ? bx ex ? 1 ? lim ? b ? lim ? lim ?1 x ? 0? x ? 0? x ? 0? x x x xf ? ? 0 ? ? lim ?x ?0?b ? 1? 4? ?x ?0f ?? ? 0 ? ? lim ?f ? ? x ? ? f ? ? 0? ? 2a . xf ?? ? 0 ? ? lim ?x ?0f ? ? x ? ? f ? ? 0? ex ? 1 1 ? lim ? 1 a ? x ? 0? x x 2? 7? ?崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者? ? ? ? tan x ? ln? 2 x ? 2 ? ?e 6.原式= lim x ?1? 2? ?ln ? 2 ? x ? ?1 2? x? ? 2 ? ? lim ? 而 lim ? tan x ? ln ? 2 ? x ? ? lim x ?1 x ? 1 x ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? cot x ? csc2 x 2 2 2?? 6? ?原式= e 2 7. dy ?? 7? ?1 ?a? 1? ? ? ? x?21 2x . dx ? 2 12 ? a 2.?a x?a dx ? 2 dx 2 x x ? a2? 7? ?8.证明：sin x sin x ? sin 0 ? ? cos ? x x?0sin x ? ? cos x x? ? ? 0, x ?x ? ? 0, ? ?x 单减。 而在 ? 0, ? ? 内 c o s? cos ? ? cos x32 或? 7? ?x ? ? 0, ? ?f ? x ? ? sin x ? x cos xf ? ? x ? ? x sin x ? 0 x ? ? 0, ? ?? 3? ?? 7? ?? 6? ?f ? x ? ? f ? 0? ? 09.设面积为 A，则 A ? ? r 2?1? ?dA dtt ?2 2 ? 2? ? 12 ? 6 ? 144? mdA dr ? 2? r dt dt10.①n??rt ?2? 6 ? 2 ? 12? s?? 4? ?? 7? ?xn ? a ? yn? 0 ? a ? xn ? yn ? xn , 0 ? yn ? a ? yn ? xnn??而 lim ? yn ? xn ? ? 0 ? lim ? a ? xn ? ? 0 故 lim xn ? lim yn ? an?? n??lim ? yn ? a ? ? 0n??? 7? ?? 7? ?lim f ? x ? ? ? 1 2 x ? 0 为第二类间断点n? ? ? ② y ? n? ? 3n sin ? 3 x ? 2 ? 2 ? ? ?f ? 1? ? 二．① x ? 0 处 lim ?x ?01 2x ? 0?崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者cos x 1 ? 2 ? lim sin x 2 ② x ? 1 处 lim f ? 1? ? lim ? ? sin1 2 x ?1 x ?1 x x ? x ? 2 ? ? x?1 x x ? 1 x ? 2 6为可去间断点 ③ x ? ?2 处， lim f ? x ? ? limx ??2sin x cos?x?x 2 ? ? ，为无穷间断点 x ??2 ? x ? x ? 2 ?? x ? 1?sin x cos?三．① lim f ? x ? ? f ? 0 ? ? a 。x ?0a ? limx ?0g ? x ? ? cos x ? lim ? g? ? x ? ? sin x ? ? ? g? ? 0 ? x ?0 ? x? 2? ?②g ? x ? ? cos x ? g? ? 0 ? f ? x ? ? f ? 0? g ? x ? ? cos x ? xg? ? 0 ? g?? ? 0 ? ? 1 x f ? ? 0 ? ? lim ? lim ? lim ? x ?0 x ?0 x ?0 x x x2 21 ?1 ? g? ? x ? ? sin x ? ? 2? 2 ? ? ? g ? x ? ? cos x ? ? ? ?x x f ?? x? ? ? ? 1 ? g?? ? 0 ? ? 1? ? ? ?2 ?x?0 x?0? 7? ?33x ? g? ? x ? ? sin x ? ??? ? g ? x ? ? cos x ? ? ? g? ? 0 ? ? 1 ? f ? 0 连续 9? ③ lim f ? ? x ? ? lim ? ? ? ? ? 2 x ?0 x ?0 x 2四．证明：设 f ? x ? 分别在 x1 和 x2 取得最大值和最小值，而f ? x1 ? ? 1 f ? x2 ? ? 0? 2? ?因为 f ? x2 ? 为极小值，x 可导。所以 f ? ? x2 ? ? 0 由泰勒公式得： f ? x ? ? f ? x2 ? ? f ? ? x2 ?? x ? x2 ? ?? 3? ?f ?? ? x2 ? 2!? x ? x2 ?2? 4? ?1 ? f ? x1 ? ?? f ?? ? 1? ? 2f ?? ? 1? 2 ? x1 ? x2 ? 2? 6? ?而 ? x1 ? x2 ? ? 12? 7? ?f ? ? 0,1? ，又 f ? 0 ? ? 0, f ? 1? ? 1 。五：证明：崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者所以介值定理知： ?? ? ? 0,1?f ?? ? ?? f ? ? x1 ?1 2? 2? ?0 ? x1 ? ?由 Lagrange 定理：f ?? ? ? f ? 0??? 3? ?f ? 1? ? f ? ? ? 1??? f ? ? x2 ?? ? x2 ? 11 1 1 1?? 1?? ? ? ? ? 2? ? ?2 1 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? f ? ? ? f ? 1? ? f ? ? ? 1? 2? 5? ??2003 年高等数学期中考试参考答案一．1．解： y , ?1 x ? 1? x2(1 ?2x 2 1? x2)5,1 1? x2(7, )2．解：34f , ( x0 ) ? limf ? x ? ? f ? x0 ? x ? x0x ? x0? 原式 ? limx ? xox0 ? ? x) f ? x ? f ? x ? ? f ? x 0? ? ? ? (x 0 x ? x0?0? x0 f , ( x 0) ? f ( x ) 03．解：两边对 x 求导数：1 y 1 ? ( )2 x1 x?x? y xy , ? y 1 2 x ? 2 yy , , ， y ? ? ? 2 2 2 x? y x 2 x ?y4．解：原式= lim ex ??x lncos而 lim x ln cosx ??1 xln cos ? limx ??1 1 ? tan x ? lim x x ?? 1 1 ? 2 x x1 ? 1? ?? ? ? ? ? 2 ? 2?? 原式 ? e5．解：?1 2x ???lim?x 2 ? x ? 1 ? ax ? b ? 0?? limx ???x 2 ? x ? 1 ? ax ? b ?0 x即 a ? limx ???x2 ? x ? 1 ?1 x崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者b ? limx ????x 2 ? x ? 1 ? x ? lim??x ?1 x2 ? x ? 1 ? xx ?????1 2?n ? 2 e x ? 1 ? sin x e x ? cos x e x ? sin x ? ? lim ? lim ?? 6.解： 1 ? lim 1 n n ? 1 n ? 2 x ?? x ?? nax x ?? n ? n ? 1? ax ax a? ? ? 27.解： 1. lim f ? x ? ? limx ?? x ??x 1? e1 x? 0 ? f ? 0? ? f ? x ? 在x ? 0处连续? 1 ?0 lim 1 ?? x ?? ?1 1? e2 ?? x? 02 f。,?f ? x ? ? f ? 0? 0 lim ? ? ? x ?? xx ? 0??f? x? 在x ? 0处不可导8.证明：设 f ? x ? ? tan x ? x ?x3 ? ?? 0? x ? ? ? 3 ? 2? 0 ?x ? 时 2f , ? x? ?1 ? 2 ?1 ? x2 ? tan x ? x2 ? ?0 2 c o sx ??? tan x ?? x ??f? x? 在0? x ? 时单调递增 2?35f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0移项啊 ~9.解：dy ,, dy dt tf ? t ? ? ? ,, ?t dx dx f ?t ? dtd 2 y d ? dy ? dt 1 1 ? ? ? ? ,, ? ? 2 dx dx ? dx ? dx dx f ?t ? dt10. （ 1 ）证明：设有两个上实数 a 和 b, 不妨设 a&b, ?? 0 ?b?a , 对 ?x ? A ，而 2x?a?a?b b?a ? b? ? b ? ? 0与b为上？界矛盾 。 2 2leibnije?10?（ 2 ） 解 ： 据2 ? ? x ln ? 2 ? x ? ? ?公 式 ， 令 v ? x 2 , u ? ln ? 2 ? x ? , 设?10??? ?ln ? 2 ? x ? ? ?? ? x 2 ? C1 10 ? ln ? 2 ? x ? ?x ?0? 9?2 ? ? 2 x ? C10 ?ln ? 2 ? x ? ? ?? 8??2f?10 ?2 ? ? 0? ? 2 ? C10 ? ln ? 2 ? x ? ? ?? 8?? ?4571 27二 ． 证 明 ： 反 证若f ? x ? 在 （ 0,1 ） 内 有 两 个 零 点 ， 则f , ?? ? ? 0, 但f , ? x ? ? 3 x 2 ? 3 ? 0, x ? (0,1), 矛盾崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者由于f ? x ? 在(0,1)内单减，所以若使f ? x ? 在 ? 0,1?内存在零点，须f ? 0 ? ? f ?1? ? 0从而f ? 0 ? ? 0, f ?1? ? 0,即2 ? a ? 0三．解：设 P 点坐标为(x,y)，则切线方程为： Y ? ln x ?1 (z ? x) x令 z=1, Y1 =lnx+1? x 2? x ,令 z=2， Y2 =lnx+ x xs ? x? ?Y1 ? Y2 1? 3 ? 2x ? 3 ? 1 ? ? 2ln x ? ? ln x ? ? 1, x ? ? 1, 2 ? ? 2 2? x ? 2xs '? x ? ?1 3 3 ? 2 ? 0x , ? x 2x 21 3 3? ?3 ? 3? ? 3 , s ,, ? ? ? 0极小 ,点 P 为 ? ， ln ? 2 x x 2? ?2 ? 2?s '' ? x ? ? ?四．解：这是一个分界函数， x ? 0为分界点36由于 lim f ? x ? ? lim sin ? ?x ?0 x ?0?x ?42??2 2, lim f ? x ? ? lim ? ?x ?0 x ?0x ? x ? 1? cos?=02xsin 又 lim ?x ?2?x ?42不存在，则x=2为f ? x ?的第二类间断点x0 ? ?3 ,? 5…… , 时， l i f m ? x ? ? ? , x0 ? ?3, ?5,……为f ? x ?的为 无穷间断点x ? x0五．证明：limx ?1f ? x?? x ? 1?2? 1,? f ? 1? ? 0又 1 ? limx ?1f ?x?? x-1?2f ? x ? ? f ? 1? x ?1 ? lim x ?1 x ?1,? f ? 1? ? 0据 Lagrange Thf , ?1? ? f , ? 0 ? ? f ,, ? ?1 ? 0 ? ?1 ? 1f, ,f , ?a? ? f,?1? ???2 ? ? a ? 1?, ,1 ? ?2 ? a? f , ? 0? ? f ,? a ? ? f??1 ? ?f, , ? ? ?? 2 ? ? a ? 1? ? M ?1 ? ? a ? 1? ? ? Ma崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者?2002 年高等数学期中考试参考答案1. 解: y ' ?1 ?2 x(1 ? x ) ? (1 ? x 2 ) ?1 . ? 2 2 1? x 2 (1 ? x ) 1 ? (1 ? x )2 1? ( ) 1? xX=-1 时由于不连续,所以不可导f ( x ) ? f (1) ( x1001 ? 1) g( x ) x1001 ? 1 ? lim ? lim lim g( x) 2. 解: f (1) ? lim x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1'? lim g(1) ? 2002 x ?1 13. 解:两边取对数 ln y ? x lnln x ? (lnx )2 两边对 x 求导(ln x ) x x ln x1 ' 1 1 1 y ? ln ln x ? x ? 2(ln x ) y ln x x xy' ?1 2 ? ? ? ln ln x ? ln x ? x ln x ? ? ?2 ?? 1 1 ? ?2 lim ?? sin ? cos ? ? x ?? x x? ? ? ?? ? x374. 解:原式==2?2 ? lim ?1 ? sin ? x ?? x? ?x=sin 1 ? ? 2 ? ? sin 2 lim ?? 1 ? sin ? x ? x ?? ? x? ? ? ? ? 2 x2 x?e5. 解:limb ? cos x b ? cos x 1 a ? x ? 1 lim ? 2 2 x ?0 x ?0 x x a? xa ? x ? 0 x 2 ? 0 ?b ? cos x ? 0 ? b ? 1lim1 ? cos x 1 ? ? a? x ? 2a ? 4 x ?0 x2 2? x3 a ? a ? x36. 解: ? ? x ? ? a ? a ? x 3 ?? lim ?x ?0? ( x)x3??1 2 a当 a&0 时, ? ( x ) 是 x 的三阶无穷小崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者当 a=0 时, ? ( x ) 是 x 的 3 阶无穷小 2 7. 解: (1)lim f ( x ) ? lim x p sinx ?0 x ?01 ?0 xp ? 0 时连续( 2) f ' (0) ? limx ?0f ( x ) ? f (0) 1 ? lim x p?1 sin ? 0 p ? 1 可导 x ?0 x x 1 1 ' ' ? x p? 2 cos 当 p&2 时 lim f ( x ) ? f (0) 导函数连 x ? 0 x x(3) f ' ( x ) ? px p?1 sin 续8. 解:设 f ( x ) ? sin x ? x ?x3 6f ( x )' ? cos x ? 1 ?x2 2f ( x )'' ? ? sin x ? x ? 0' ' ? x ? 0 时 f ( x ) ? f (0) ? 0 从而 x ? 0 时 f ( x ) ? f (0) ? 0 得证9. 38f ( x ) ? lim 解: (1) lim ? ?x ?0 x ?0x 2 ??1 x ( x 2 ? x ? 2) 2sin x cos?x 1 2 lim f ( x ) ? lim ? 2 ? ? x ?0 x ? 0 ? x ( x ? x ? 2) 2sin x cos?X=0 为跳跃间断点sin x cos 2 x ? (2) lim f ( x ) ? lim ? ? sin 1 x=1 为可去间断点 x ?1 x ?1 x ( x ? 2) x ?1 6 x 2 ?? x ( x 2 ? x ? 2) sin x cos??(3) lim f ( x ) ? limx?2 x?2x=2 为无穷间断点10. 解: 对 e y sin t ? y ? 1 ? 0 两边对 t 同时求导数: e ydy dy sin t ? e y cos t ? ?0 dt dtdy e y cos t ? dt 1 ? e y sin t二 解e y cos t dy dy dt 1 ? e y sin t dy ? . ? 又 t=0 时 x=0 y=1 故 2 dx dt dx 3t ? 2 dx=t ?0e 2f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 12 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3)? ? ??,1? f ' ? 0 ;?1, 3? f ' ? 0 ;?3, ?? ? f ' ? 0极大值 f(1)=a+4崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者极小值 f(3)=a 又x ???lim f ( x ) ? lim x 3 (1 ?x ???6 9 a ? 2 ? 3 ) ? ?? x x xx ???lim f ( x ) ? lim x 3 (1 ?x ???6 9 a ? 2 ? 3 ) ? ?? ? f (1) ? 0 f (3) ? 0 ? 4 ? a ? 0 x x xy0 2 x0三 y' ? ?2 x 设切线方程为: y ? y0 ? ?2 x0 ( x ? x0 ) 截距为 a ? x0 ?y 1 1 ab ? ( x0 ? 0 )( y0 ? 2 x0 2 ) 2 2 2 x0b ? y0 ? 2 x0 2 s ?令 s' ? 0 得 x ?s' ?(3 x 2 ? 1)(1 ? x 2 ) 4 x2? p( 1 2 , ) 3 31? 1 ? ? 1 ? ' ,1? 内 s' ? 0 ? 0, ?内s ?0 ? 3? 3 ? ? 3 ?四limx ?0f ( x) ? 0 ? f (0) ? 0 f ' (0) ? 0 在 x=0 处将 f(x)展开成三次泰勒公式 xf '' (0) 2 f ''' (? ) 3 f ( x) ? x ? x 2 3! f '' (0) f ''' (? 2 ) f ( ?1) ? ? 2 6两式相减得 1 ?f '' (0) f ''' (?1 ) f (1) ? ? 2 6391 ''' ? f (?1 ) ? f ''' (? 2 )? ? 6?取 f ''' (? ) ? max f ''' (?1 ), f ''' (? 2 ) 得证??五f (sin x ) ? 1 f (sin x ) ? 1 f ( x) ? 1 sin x sin x sin x lim ? 1? 原式= lim =1 . ? lim 1 x ?0 x ? 0 ln ?1 ? f x ? 1? x ?0 x x ? ? f ( x) ? 1 ? ? ? ? f ( x ) ? 1 ln ??1 ? f ( x ) ? 1? ? ? ? x x?2001 年高等数学期中考试参考答案1 一、1.原式= 2? n 2 ? 2 lim exp ? n ? 1? ? e 2.原式= n?? ? ? 2 ??1( x ? 1) 4. f ? f ?x ?? ? ? ?1( x ? 1)3.当 a ? 0 或 a ? 1 时 f ?x ? 在 ?? ?,??? 上连续5.由原方程知，当 x ? 0 时， y ? 1 ， ey ly ? y ? xy? ? 0 ， y? | x?0 ? ?1 ，切 e崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者1 线： y ? 1 ? ? x ，法线： y ? 1 ? ex e二、 1. y? ? cos cos 2 x 2 cos x?? sin x ?cos sin 2 x ? sin cos 2 x sin sin 2 x 2 sin s cos x?????? ??1 x ? ? 1? 1? ? ? 1? 1 ? ? ? 1? y ? x 2. ln y ? x ln ?1 ? ? ， ? ln ? 1 ? ? ? ， y? ? ?1 ? ? ?ln ?1 ? ? ? ? 1 x? ? ? x ? ? ? x ? x ? 1? ? x? y 1? x3. y? ? 2e 2 x ?x ? 2??x ? 1? ，在 ?? ?,?2?, ?1,??? 上 y? ? 0 ，函数单调增，在?? 2,1? 上， y? ? 0 ，函数单调减4. F ?x ? 在 x0 不连续，否则由 g ?x ? ? F ?x ? ? f ?x ? ，可知 g ?x ? 连续，与题设矛 盾 5. f ' ?a ? ? limx?0?x ? a ?? ?x ? ? ? ?a ?x?ady ? 三、 dx402t ?1 2 2 1 ? t 2 ? 2 t 2 ? 1 ? 1 ， d y ? ? 4t ? 1 ? 1 ? t ? ? t t dx 2 ? t2 ? t 1? t2??四、 xk ? k ?k为整数? 是 f ?x ? 的断点，当 k ? ?1 时， limx 2 ?1 ? ? , xk 为第二类 x ? xk sin ?x（无穷）间断点， limx 2 ?1 2 x 2 ?1 2 ? ? , lim ? ,则 x ? 1 为 f ?x ? 的第一类 x?1 sin ?x ? x??1 sin ?x ?间断点 五、如下图，设 t 时刻甲船坐标为 x,乙船坐标为 y，两船之间距离为 l，则l 2 ? x2 ? y2 。 两边对 t 求导，2l六、令 f ?x ? ? ?1 ? x ?ln ?1 ? x ? ? arctan x ,dl 得， ? 2 xx ? 2 yy ,令 t=1， dt dtdlt ?1??14 5f ??x ? ? ln ?1 ? x ? ? 1 ?ln ?1 ? x ? ?1 x2 ? ? ? ln 1 ? x ? ? 0 , 又 f ?0? ? 0, f ?x ? ? 0, ?x ? 0? , 即 1? x2 1? x2arctan x , ? x ? 0? 1? x1 1? sin x ? x ? 1?cos x ? e3 七、解：原式= lim ?1 ? ? x?o x ? ?崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者1 ? x2 sin x ? x sin x ? x cos x ? 1 1 lim ? lim ? lim ? lim 2 ? ? x ?0 x? x?0 x ?0 3 2 3 2 1 ? cos x ? x?0 1 x 3 3 x x 2 2 2cos 2 x ? ?1 ? 八、 解 1：由原题设知 limx?02 4 x 2 16 x 4 16 x 2 ?16? x 4 ? ? ? x 4 , cos 4 x ? ?1 ? ? ? ? ?x 4 ? . 2l 4! 4! 4!? ?f ?x ? 4 1 8 ? A ? 0知，a ? ? , b ? , A ? 。 4 3 3 3 x 1 ? a cos 2 x ? b cos 4 x 解 2：由题设知 lim ? A ? 0从而知1 ? a ? b ? 0 x?0 x4 f ?x ? ? 2a sin 2 x ? 4b sin 4 x ? 4a cos 2 x ? 16b cos 4 x lim 4 ? lim ? lim ? 4a ? 16b ? 0 3 x?0 x x?0 x?0 4x 12 x 2?1 ? a ? b ? 0 4 1 8 由? 知a ? ? , b ? , A ? 。 3 3 3 ?? 4a ? 16b ? 0九、由 lim?x?0f ?x ? f ?x ? ? 2知，f ?0? ? f ?1? ? 0 ? 1 lim ? x?1 x ? 1 x且 ? 0 ? x1 ? x2 ? 1, f ?x1 ? ? 0, f ?x2 ? ? 0 由连续函数介值定理知 ?? ? ?0， 1?，使f ?? ? ? 0 令 ? ?x ? ? e x f ?x ?, 则? ?0? ? ? ?? ? ? ? ?1? ? 0 由罗尔定理知， ??1 ? ?0，? ?，? 2 ? ??， 1?，使? ???1 ? ? ? ??? 2 ? ? 0 从而 f ???1 ? ? f ??1 ? ? 0 f ??? 2 ? ? f ?? 2 ? ? 0 令 F ?x ? ? e ? x ? f ??x ? ? f ?x ??, 则F ??1 ? ? F ?? 2 ? ? 0 由罗尔定理知 ?? ? ??1，? 2 ?，使F ??? ? ? 0,即f ???? ? ? f ?? ? 41?2000 年高等数学期中考试参考答案一、求解下列各题： （每小题 5 分，共 50 分） 1、 ?2 ? x ? 1 4、x=0 右连续 5、 y ' ? etan 1 x2、 ? limn??n n? 2 ? n?1?1 23、 e 2x=0 不左连续sec21 1 2 x sin x ( ? 2 ) ? (1 ? x 2 )sin x (cos x ln(1 ? x 2 ) ? ) x x 1 ? x2崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者6、x=2 时 t=0dy dxx?2 ?1 ? sin t 1 ? cos tt ?0 ?1 2切线方程为： y ? 1 ?1 ( x ? 2) 或 x ? 2 y ? 0 27、由于 limsin x ? 1 ? cos x ? 1 ，则 f ( x ) 是 x 的一阶无穷小。 x ?0 x8、 e y y '? y ? xy ' ? 0dy dxx?0 ? ?1 e9、 f '( x ) ? 3 x 2 ? 12 ? 3( x 2 ? 4), f ( x ) 在 ? ??, ?2 ? 和 ? 2, ?? ? 单增，在 ? ?2, 2 ? 上单 减 x= -2 取极大值 f (?2) ? 16 ， x=2 取极小值 f (2) ? ?16 10、 f '( x ) ? 12 x 3 ? 12 x, f n ( x ) ? 36 x 2 ? 24 x ? 12 x(3 x ? 2)2 2 11 2 在 (??,0) 和 ( , ?? ) 上凹，在 (0, ) 下凹，点 (0,1) 和 ( , ) 为拐点 3 3 77 342dy 4t ? 1 3 二、 ? ? 2? , dx 2t ? 2 2 ? t ? 1? d2 y 3 ? 3 2 dx 4 ? t ? 1?三 、 limx ? ?( n ? ?1, ?2, ......) ， 故 x ? n? 为 第 二 类 （ 无 穷 间 断 点 ） ， x ? n? tan xlimx x ? 1， x=0 为第一类 （可去间断点） lim ? 0( n ? 0, ?1, ...) 故 ? x ? 0 tan x x ? n? ? tan x2x ? n?? 为第一类可去间断点。 2四、设注入水 t 分钟时水面高度为 x 米，容器内储水量 v 立方米，水的上表面 面积为 s 平方米，则v??123 x , s??? 2dx ds ? dx 2 d v x , ? x , ? x ，当 4 dt 4 dt dt 2 dtdv ?2,x? 4 时，得： dt（1）水面上升的速率是dx 1 ? (m m ) dt 2?崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者（2）水的上表面面积的增长率是ds ? 1( m 2 m ) dt五、原式 ? lime tan x ? e 3 x e tan x sec2 x ? 3e 3 x ? lim ? ?2 x ?0 x ?0 sin x cos x1 4 ( x ? 1)2 f '( x ) ? ? ? ?0 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)22( x ? 1) 六、 f ( x ) ? ln x ? x ?1（x&1）则 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上单增，又 f (1) ? 0 ，则 ln x ?2( x ? 1) x ?1(x ? 1 )七、设 0 ? x1 ? 1 ， xn?1 ? 1 ? 1 ? xn ， (n ? 1, 2,......) ，求证 ? xn ? 收敛并求其极 限。 由于 0 ? x1 ? 1 ，设 0 ? xn ? 1 ，由 xn?1 ? 1 ? 1 ? xn 知 0 ? xn?1 ? 1? xn?1 ? xn ? 1 ? xn ? 1 ? xn ? 1 ? xn ? ? 1 ? xn ? 1? ? 0则 xn 单调减，又 xn ? 0 ，则 lim xn 存在n? x设 lim xn ? A ，得 A ? 1 ? 1 ? An? xA?043八、证明：方程 f ( x ) ? 0 在 ? a , ?? ? 内必有且仅有一个实根。由 f ''( x ) ? 0 知，f '( x ) 在 ? a , ?? ? 上单调减， 又 f '(a ) ? 0 ， 则当 x ? a 时 f '(a ) ? 0 ， 从而 f ( x )在 ? a , ?? ? 上单调减，方程 f ( x ) ? 0 在 ? a , ?? ? 上最多一个实根。由拉格朗日? ? f (a ) ? f (a ) ? 定理得： f ? a ? ? ? f (a ) ? f '(? ) ? ? ? ? ? f (a ) ? f '(a ) ? ? ? f '(a ) ?? f (a ) ? f ?a ? ? ? 0, f '(a ) ? ?又 f (a ) ? 0 ，故 f ( x ) ? 0 在 ? 0, ?? ? 内有且仅有一个实根。? f ( x ) ? f (a ) ? f '(a )( x ? a ), lim f ( x ) ? ???zx ???f (b) ? f (b) ? f (a ) ? f (a ) ? f '(? )(b ? a ) ? f (a ) ? f '(a )(b ? a ) ? f (a ) ? 0解出 b ? a ?f (a ) f '(a )?1999 年高等数学期中考试参考答案崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者? ?1 一、1、 f ? f ( x )? ? ? ? ?03、 y '(0) ? 0 二、1、D 2、 Dx ?1 x ?11。2、dy ? x x e 2 x (ln x ? 3) dx4、 3、B4、D1 1 ?1 ? 1 n ? lim 2n ? ? n ?? 1 1 2 n n1 1 cos cos ? 1 ? (cos ? 1) 三、 ， lim n ?? n n441 ? 1 n ? lim(cos ) ?e 2 n?? n 1 2 ? 2 1 1? t2 dy 1 d y 1 ? t ? 2? ? ?? ； 四、 dx 2t 2t dx 2 2t 2t 2 1? t cos x( x ? sin x ) x ? sin x 1 ? cos x ? lim ? lim ? lim 五 、 原 式 x ?0 x ?0 x ?0 x sin2 x x3 3 x21 2 x 1 2 ? lim 2 ? x ?0 3 x 6六、y ' ? ?2 xe ? x ,(??,0) 单调增， (0, ?? ) 单调减2x ? 0 取极大值，极大为n ?x (2 x 2 ? 1) ；曲线 y ? e ? x 1。 y ? 2e22在( ??, ?1 2? 1 2) 与 (1 2? 1 2, ?? ) 上 凹 在 ( ?1 2,1 2)下 凹 拐 点(?1 2, e ),(1 2,e )f ( x) ? 0 ， 得七、令f ( x ) ? xe1? x f '( x ) ? e1? x ? xe1? x ? (1 ? x )e1? x ， 令x ?1当 x ? 1, f '( x ) ? 0, f ( x ) 单 调 增 ， 当 x ? 1, f '( x ) ? 0, f ( x ) 单 调 减 则f ( x ) 在 x ? 1 处 取 最 大 值 ， f (1) ? 1 ? 对 一 切x, f ( x ) ? 1,即崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者xe1? x ? 1e ? x ? cos 2 x ?2 xe ? x ? 2 sin 2 x ? lim 八、解 1 lim x ?0 x ?0 ax n nax n?1?2e ? x ? 4 x 2e ? x ? 2cos 2 x ? lim x ?0 n( n ? 1)ann? 22 2224 xe ? x ? 8 xe ? x ? 8 x 3 e ? x ? 2 2 sin 2 x ? lim x ?0 n( n ? 1)( n ? 2)ax n? 3? n ? 4,解 2e? x2? x22228 1 ? 1, a ? 24a 3x4 2 x2 4 x4 ? o( x 4 ), cos 2 x ? 1 ? ? ? o( x 4 ) 2 2! 4!? 1 ? x2 ?ex4 1 ? cos 2 x ? ? o( x 4 ),? n ? 4, a ? 3 3P 点 横 坐 标 为 X 过 P 点 的 切 线 方 程 为 45九 、 解 ： 设y ? f ( x ) ? f '( x )( z ? x )令z? 0 得 y ? f ( x )(1 ?1 ) ，令 y ? 0 得 z x? x ? x2S?S'?1 1 f ( x )(1 ? )( x ? x 2 ) 2 x?? 1 ? ? 1 1 1 1? ? f '( x )(1 ? )( x ? x 2 ) ? f ( x ) ?? ? 2 ? ? x ? x 2 ? ? ? 1 ? ? ?1 ? 2 x ? ? 2 x 2 x? ? ?? x ? ??? f ( x ) ?? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? 2 ? (1 ? )( x ? x 2 ) ? ? ? 2 ? ( x ? x 2 ) ? (1 ? )(1 ? 2 x ) ? ? ? 2 ?? x ? x x ? x ? ?崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者附：空闲自习室表A 楼1、2 节 3、4 节星期 一302 305 402 405 102 302 305 402 405 102 402 305 405 102 203 302 305 402 405星期 二105 302 305 402 405 105 305 402 405 302 402 305 405 102 203 305 403 102 203 302 304 403 305 105 303 402 405 105 204 303 402 404 405星期 三102 105 302 305 402 405 302 402 404 305 405 305 405 102 105 302 305 402 404 405 102 105 204 302 303 304 402 405 305星期 四302 402 305 405 102 302 402 405 405 102 203 304 402 404 102 203 302 302 305 105 302 305 403 405 105 204 303 303 305星期 五402 203 305 405 102 302 402 305 405 305 405 102 105 204 302 303 304 305 402 405 102 105 204 302 303 304 305 402 403 404 4055、6 节7、8 节46晚自习102 105 302 303 402 405 305B 楼 星期 一1、2 节 103（13 周后） 102 204 205 302 305 402 405 3、4 节 205 305 402 404 405星期 二105 203 204 302 305 402 405星期 三102（9 203 302 402星期 四星期 五周后） 105 202(10 周后) 204 202 （第 10 周后） 203 302 305 302 305 305 402 405 402 404 405 405 102（9 周后) 105 405 202 （10 周后) 204 302 305 402102 （9 周后） 102 105 105 202 105（单周） 202（第 10 204 302 204 303 周后） 305 402 305 402 302 305 405 405 402 405崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者5、6 节 102 105 102 105 105 202 202（10 周后） 203（10 周后） 205（10 周后） 302 304 302 305 302 305 305 402 402 403 402 403 405 405 405 102 105 202 203 302 305 102 105 （10 周后） 205（10 周后） 302 303 302 305 305 402 402 405 404 405
204 202（10 周后） 205（10 周后）
403 405 102 205 302 305 402 405 102 204 302 305 404 203 205 303 402 4057、8 节102 105 202 205 302 305 402 404 405 102 105 204 302 303 304 305 402 403 404 405102 105 205 （10 周后) 204 302 305 402 405 102 105 205 302 304 305 402 403 405晚自习102 105 204 302 303 304 305 402 403 404 405C 楼 星期 一1、2 节 3、4 节 5、6 节 7、8 节 404 406 204 206 306 404 305 404 405 405星期 二306 405星期 三404 404 204 405 205 305星期 四305 106 206 405 104 404 406 105 404 405星期 五404 405 104 404 106 405 204 306 405 104 204 305 306 405 40647205 305 306 404 405 404 106 306 405 406晚自习105 404 205 306304 106 305 405D 楼1、2 节 3、4 节星期 一星期 二104 105 106 104 105 106星期 三星期 四星期 五105 104 105崇实书院学生会学习实践部 交大打造不挂女神的领跑者5、6 节 7、8 节 104 306 206 306 404 405 304 404 205 305 306 405 406 305 404 406 206 305 404 405 304 404 206 306 405 406 206 304 405 306 404 405 406 304 404 106 205 206 305 306 405 406 305 404 105 204 304 405 304 106 206 405 404 205 306 406 405 106 106 305 404 204 206 306 405 206 306 406 205 304 404 406晚自习北楼二（科技期刊阅览室、科技图书阅览室）、三（社科期刊阅览室、 社科图书阅览室）和南楼二（新书阅览室） 日期 时间48周一~周五 8：00~22：00周六 8：30~17：00周日 8：30~22：00南楼二层大厅：7：30~22：45（全年） 南楼二（中文科技书库、社科文艺书库&总借书处&） 日期 周一~周四 周五 周六 周日时间 8：00~22：00 8：00~17：45 8：30~17：00
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