微分方程 dx/dt=h(y)-F(x),dy/dt=-g(x)极限环的存在性--《数学学报》1980年04期
微分方程 dx/dt=h(y)-F(x),dy/dt=-g(x)极限环的存在性
【摘要】：正 关于 Liénard 方程(dx)/(dt)=y-F(x),(dy)/(dt)=-g(x) (1)极限环的存在性问题已在很多文章中讨论过(文[1]中有这方面的一些主要结果),在证明极限环的存在性时,很多都是采用 Poincaré 环域定理,环域的境界线有一部分是方程(1)的轨线,因此境界线很难具体作出.本文讨论较(1)更为一般的方程
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【关键词】：
【正文快照】：
关于Li己nard方程多二_二_。‘,、d夕___,.八 一少止、山/,-二一一一占沪/Jt叮t(l)极限环的存在性问题已在很多文章中讨论过(文〔1]中有这方面的一些主要结果),在证明极限环的存在性时,很多都是采用Poincar6环域定理,环域的境界线有一部分是方程(l)的轨线,因此境界线很难具体
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京公网安备75号证明题（每题10分）；1、设函数f(t)在[0,??)上连续且有界，试；dx；?x?f(t)的所有解均在[?,??)上dt；有界.；证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始；由一阶线性方程的求解公式有；y(x)?y0e；?(x?x0)；??f(s)e(s?x)ds；x0；现只证x(t)在[t0,+?)有界，设|f(t)；x?M(x?x0)M(s?t)
证 明 题（每题10分）
1、设函数f (t)在[0,??)上连续且有界，试证明方程
?x?f(t)的所有解均在[?,??)上dt
证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0?[0+?)
由一阶线性方程的求解公式有
??f(s)e(s?x)ds
现只证x(t)在[t0,+?)有界，设|f(t)|?M ,t?[0+?) 于是对t0?t&+?有
x?M(x?x0)M(s?t)|f(s)|eds 0x
?|x0|+M[1?e0]
?|x0|+M 即证
2、设函数f (x),p(x)在[0,??）上连续，且limp(x)?a?0且
|f(x)|?b(a,b,为
3、设函数f (x)在[0,??）上连续，且limf(x)?b又a&0
4、设函数y (x)在[0,??)上连续且可微，且lim[y'(x)?y(x)]?0试证limy(x)?0
5、若y1(x),y2(x)为微分方程y???p1(x)y?(x)?p2(x)?0的两个解，则它们的朗斯基
行列式为w(y1,y2)
其中k为由y1(x),y2(x)确定的常数
6、求微分方程(x??)(y?)??xyy'?x的通解 7、解方程xdx?
(x?y)dx?(x?y)dy
8、解方程(x??)(y?)??xyy'?x 9、解方程xdx?
(x?y)dx?(x?y)dy
10、解方程yy???(y?)?(y?)?0
11、已知f(x)是连续函数。
?y'?ay?f(x)
（1）求初值问题?的解y(x)，其中a是正常数。
（2）若|f(x)|?k（k为常数），证明当x?0时有|y(x)|?(1?e)。
f(x)?f(x)?f?t?dt?0??012、已知当x??1时f(x)具有一阶连续导数，且满足? x?1??f(0)?1
（1）求f'(x)；
（2）证明：当x?0时有e?f(x)?1。
13、设y1(x),y2(x)是方程y'?p(x)y?q(x)的两个不同的解，求证它的任何一个解满足恒
y(x)?y1(x)
（K为常数）
y2(x)?y1(x)
14、当???x??时，f(x)连续且|f(x)|?M。证明：方程
y'?y?f(x)
在区间???x??上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数f(x)是以?为周
期的周期函数，则这个解也是以?为周期的周期函数。
15、设函数f(u),g(u)连续可微，且f(u)?g(u)，试证方程孙yf(xy)dx?xg(xy)dy?0
?)g(xy))有积分因子
??[xy(f(xy ]
16、证明方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0具有形如???[?(x,y)]的积分因子的充要条件为
??M?N???????
?N?M?????f[?(x,y)]，并求出这个积分因子。 ?x???x?y???y
17、证明贝尔曼（Bellman）不等式。设k为非负常数，f(t)和g(t)是区间??t??上的
非负连续函数，且满足不等式
f(t)?k?则有
f(s)g(s)d,s??t??
18、设在方程y&?p(x)y'?q(x)y?0中，p(x)在某区间I上连续且恒不为零，试证：它
的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I上的严格单调函数。
??a1(t)x??a2(t)x?0
的解，这里a1(t)和x19、假设x1(t)?0是二阶齐次线性方程
a2(t)是区间[a,b]上的连续函数。试证：x2(t)为方程的解的以要条件是
?[x,x]?aW[x,x]?0。其中W[x,x]表示x(t),x(t)的朗斯基行列式。 W
20、在方程y&?3y'?2y?f(x)中，f(x)在[a,??)上连续，且limf(x)?0。试证明：
已知方程的任一解y(x)均有limy(x)?0。
21、设f(x)为连续函数，且满足f(x)?sinx?
(x?t)f(t)dt。求证：
f(x)?sinx?cosx.
22、设X(t)是常系数线性方程组
?Ax(t)的基解矩阵，适合条件X(0)?E，试证对dt
任何t,s成立等式 X(t?s)?X(t)X(s).
23、设X(t)是连续的n阶方阵，X(0)存在，且适合关系X(t?s)?X(t)X(s)，|X(0)|?0.
试证：存在n阶常值方阵A，使得
?AX(t)。 dt
证明题附加题
1，设方程y&?p(x)y'?q(x)y?0中的p(x)和q(x)在[a,b]上连续，且q(x)?0，试证：
对方程任一非零解y?y(x)，函数f(x)?e
y(x)y'(x)为单调递增的。
x0?[a,b]。
2，设函数f(x),p(x)在[0,??)上连续，且limp(x)?a?0，且|f(x)|?b（a,b为常数），
?p(x)y?f(x)的解在[0,??)上有界。 dx
3，若y1(x),y2(x)为微分方程y&?p1(x)y'(x)?p2(x)?0的两个解，则它们的朗斯基行列
试证：方程
式为W(y1,y2)?ke?，其中k由y1(x),y2(x)确定的常数。
4，已知方程
(p(x)u')'?q(x)u?0
其中p'(x),q(x)是[a,b]上的连续函数，p(x)?0，若u(x),v(x)为（1）的两个解，则
p(x)[u(x)v'(x)?u'(x)v(x)]恒等于常数。
5。设f(x)是二次可微函数，且f&(x)?f'(x)?f(x)?0，证明：若f(x)在某不同两点
处的函数值为0，则f(x)在该两点之间恒为零。
6，设y?e是微分方程xy'?p(x)y?x的一个解，证明此方程满足条件 yx?ln2?0 的特
解为y?e?e。
7，设f(x)具有连续二阶导数，f(0)?f'(0)?0，且曲成积分
(ex?sinx)ydx?(f'(x)?f(x))dy
与路径无关，证明：f(x)??e?xe?
cosx?sinx。 22
1、证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0?[0+?)
由一阶线性方程的求解公式有
证 明 题 答 案
??f(s)e(s?x)ds
现只证x(t)在[t0,+?)有界，设|f(t)|?M ,t?[0+?) 于是对t0?t&+?有
x?M(x?x0)M(s?t)|f(s)|eds 0x
?|x0|+M[1?e0]
?|x0|+M 即证
2、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件
y(x0)=y0,x0?[0,??)由一阶线性方程的求解公式有
??f(s)e(s?x)ds
现只证y(x)在[x0,+?)有界，,t?[0+?), 不妨设x0充分大
于是对x0?x&+?有 limp(x)?a?0,则存在M1&0,使当x? x0时,有|p(x)|?M1
??|f(s)|eM(s?t)ds
(1?e?M(x?x0)) M1
3、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件
y(x0)=y0,x0?[0,??)由一阶线形方程的求解公式有
y?y?a(x?xx
??f(sa(s?x)e
?a(xxf(s)eds
两边取极限
limy(x)?lim?a(x?x0)
=======lim?x
4、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0?[0,??)
由一阶线性方程的求解公式有
y(x)?y?(x?xx
??xf(s)eds
两边取极限
lim)?limy?(x?xxx
0e0)?xlim???
ds=0+xlimef(x)???e
5、证明：由朗斯基行列式定义有
w(y21,y2)?
y1yy'1
y'?y1y'2?y'1y2
?(y1y'2?y'1y2)1=y1y''2?y''1y2??p1(yy'2?y'1y)??p1(x)w?量法求解有w(y1y2
)?k?p1(x)dx
显然k为由y1(x),y2(x)确定的常数
?M?6、解：因
有关的积分因子
所以方程仅有与X2dx
x2exdx)?d(x3y2
)?0故：(x2?2x?2)ex?x3y2
包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、行业资料、专业论文、外语学习资料、生活休闲娱乐、应用写作文书、高等教育、常微分方程证明题及答案72等内容。　
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