（2014o广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADCG运动，Q以根号5/2cm/s的速速沿线段AG方向运动，P，Q中有一点到达终点时，整个运动停止．P，Q运动的时间记为t．（1）当t=4时，求证：△PEF≌△MEF；（2）当0≤t≤8时，试判断PQ与CD的位置关系；（3）当t＞8时，是否存在t使得PQ/EF2+16根号2=根号5/16？若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．
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（2014o广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADCG运动，Q以√52cm/s的速速沿线段AG方向运动，P，Q中有一点到达终点时，整个运动停止．P，Q运动的时间记为t．（1）当t=4时，求证：△PEF≌△MEF；（2）当0≤t≤8时，试判断PQ与CD的位置关系；（3）当t＞8时，是否存在t使得PQEF2+16√2=√516？若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2014-广东一模
分析与解答
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习题“（2014o广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADC...”的分析与解答如下所示：
（1）连接OM，如图1，易证△AMO∽△ABC，从而得到AM=OM=4．当t=4时，AP=4=AM，从而可以证到△MAE≌△PAE，则有EM=EP，∠AEM=∠AEP，从而有∠MEF=∠PEF，就可证到△MEF≌△PEF．（2）连接DG，如图2，由勾股定理可求出AG=8√5．易证四边形ACGD是平行四边形，从而可求出DH=HC=4，AH=GH=4√5．由AP=t，AQ=√52t，AD=8，AH=4√5可推出△PAQ∽△DAH，从而有∠AQP=∠AHD，则有PQ∥DC．（3）过点Q作QT⊥DC于点T，如图3所示．由条件可得到8＜t≤16．易证△HTQ∽△HCG，从而有HT=t2-4，QT=t-8．进而可得到PT=DT-DP=8-t2．根据勾股定理可得PQ2=54（t-485）2+645．利用二次函数的性质，由8＜t≤16可得8√55≤PQ≤8．由EF=8得EF2+16√2=64+16√2．若PQEF2+16√2=√516，可得PQ=4√5+√10，从而得到11＜PQ＜16．与“8√55≤PQ≤8”矛盾，故当t＞8时，不存在t使得PQEF2+16√2=√516．
解：（1）证明：连接OM，如图1，当t=4时，AP=1×4=4．∵EF为直径的半圆切AB于M，∴OM⊥AB，即∠AMO=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠BAC=∠DAC=45°，AO=12AC．∴∠AMO=∠ABC．∴OM∥BC．∴△AMO∽△ABC．∴AMAB=OMBC=AOAC．∴AM=12AB=4，OM=12BC=4．∴AM=AP．在△MAE和△PAE中，{AM=AP∠MAE=∠PAEAE=AE．∴△MAE≌△PAE．∴EM=EP，∠AEM=∠AEP．∴∠MEF=∠PEF．在△MEF和△PEF中，{EM=EP∠MEF=∠PEFEF=EF．∴△MEF≌△PEF．（2）当0≤t≤8时，PQ∥CD．证明：∵AP=t≤8，∴点P在线段AD上，如图2．连接DG，∵AB=8，BG=16，∠ABG=90°，∴AG=√AB2+BG2=8√5．∵四边形ABCD是正方形，C为BG的中点，∴AD∥BC，AD=BC=CG．∴AD∥CG，AD=CG．∴四边形ACGD是平行四边形．∴DH=HC=12DC=4，AH=GH=12AG=4√5．∵AP=t，AQ=√52t，AD=8，AH=4√5，∴APAD=t8=AQAH．∵∠PAQ=∠DAH，∴△PAQ∽△DAH．∴∠AQP=∠AHD．∴PQ∥DC．（3）当t＞8时，不存在t使得PQEF2+16√2=√516．理由如下：∵点P到达终点所用时间为241=24秒，点Q到达终点所用时间为8√5√52=16秒，∴8＜t≤16．此时点P在DC上，点Q在HG上．过点Q作QT⊥DC于点T，如图3所示．∴∠HTQ=90°=∠HCG．∴QT∥CG．∴△HTQ∽△HCG．∴HTHC=QTCG=HQHG．∵HC=4，CG=8，HG=4√5，HQ=√52t-4√5，∴HT=t2-4，QT=t-8．∴DT=DH+HT=4+t2-4=t2．∵DP=t-8，∴PT=DT-DP=8-t2．∴PQ2=PT2+QT2=（8-t2）2+（t-8）2=54t2-24t+128=54（t-485）2+645．∵8＜t≤16，∴当t=485时，PQ2取最小值，最小值为645．此时PQ=8√55．当t=8时，PQ2=16，则PQ=4；当t=16时，PQ2=64，则PQ=8．∴8√55≤PQ≤8．∵EF=20M=8，∴EF2+16√2=64+16√2．若PQEF2+16√2=√516，则PQ=√516×（64+16√2）=4√5+√10．∵2＜√5＜3，∴8＜4√5＜12．∵3＜√10＜4，∴11＜4√5+√10＜16．∴11＜PQ＜16．与“8√55≤PQ≤8”矛盾，所以当t＞8时，不存在t使得PQEF2+16√2=√516．
本题考查了切线的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质、二次函数的最值、平行线的判定、勾股定理等知识，综合性非常强，难度比较大，而根据t的范围利用二次函数的性质确定PQ的范围是解决第（3）小题的关键．
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（2014o广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿...
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与“（2014o广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADC...”相似的题目：
如图，△ABC内接于⊙O，CD平分△ABC的外角∠BCM，交⊙O于点D，连接AD，BD．（1）求证：AD=BD；（2）连接DO，并延长交BC于点E①求证：∠ADO=∠BDO；②若AB=6，AD=3√10，C为AD的中点，求OE的长．
如图，分别以边长2为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D、E、F，连接CF交⊙C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，交边BC于点N，连接MN，求MN的长．
类比学习：我们已经知道，顶点在圆上，且角的两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图1，∠APB就是圆周角，弧AB是∠APB所夹的弧．类似的，我们可以把顶点在圆外，且角的两边都和圆相交的角叫做圆外角，如图2，∠APB就是圆外角，弧AB和弧CD是∠APB所夹的弧，新知探索：图（2）中，弧AB和弧CD度数分别为80°和30°，∠APB=&&&&°，归纳总结：（1）圆周角的度数等于它所夹的弧的度数的一半；（2）圆外角的度数等于&&&&．新知应用：直线y=-x+m与直线y=-√33x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．经过A、B、C三点作⊙E，点P是第一象限内⊙E外的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ．①求A点坐标；&&&&&&&&&②求⊙E的直径；③连接MN，求线段MN的长度（可用含θ的三角函数式表示）．
“（2014o广东一模）如图，正方形ABC...”的最新评论
该知识点好题
1（2012o温州模拟）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤BEDE=√2正确的有（　　）
2如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：①∠APM=45°；②AB=√2IM；③∠BIM=∠BAP；④IN+OBPM=√22．
3一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（　　）
该知识点易错题
1如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD（1）如图（1），点D在半圆BC上时，求证：BD+CD=√2AD；（2）如图（2），点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系：&&&&；（3）在（2）的条件下，如图（3），CD与AB交于点E，连接AO交CD于F，若AE=3BE，AF=127√2，求⊙O的直径．
2（2012o营口）如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P上的一段优弧和⊙Q上的一段劣弧围成，⊙P与⊙Q的半径都是2km，点P在⊙Q上．（1）求月牙形公园的面积；（2）现要在公园内建一块顶点都在⊙P上的直角三角形场地ABC，其中∠C=90°，求场地的最大面积．
3已知AB是半圆⊙O的直径，C是半圆⊙O上一点，且ACoBC=OC2，则∠CBA的度数等于&&&&．
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