非齐次方程组无解肥的条件是什么？？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-13 13:42 标签： 相思无解
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实质上是一回事！
齐次线性方程组必然有零解。若有非零解，必然有无穷多个！
当然不是任意的非零解，而是基础解系的线性组合！
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display: 'inlay-fix'二阶常系数非齐次线性方程的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：&&+&+=f(x)，其中、均为常数。我们知道，解微分方程的过程就是去导数的过程，所谓微分方程的解就是一个y与x的函数关系即y=g(x),所以解本身也是个函数。对于齐次方程，必有零解，如果有非零解，则解有无穷多个，这无穷多个解是通过方程组列向量的相关关系，乘以某个任意常数得到的，所以这些解并不是杂乱无章的，是可以用某个表达式统一表达出来的，因此我们更青睐于这个统一的表达式，人们命名它为齐次方程的通解；对于非齐次方程，各个列向量需要以某种数量关系，搭配出等号右边的常数列，当然有一种可能解释怎么也搭配不出来，即无解，另外如果非齐次方程有解的话，则必是唯一解。也就是说，通解有很多很多的方程组成，而特解只有一个方程。
由解的结构我们可以知道，这种方程的解的结构是：对应其次方程的通解+非齐次方程的某个特解。那么，我们解方程的步骤有二：首先求齐的通解，再求非齐的特解。
1、求&&+&+=通解
在求解这类方程的时候有一种“预判”的思想，非常有意思，我还不知道这种方式是否具有严密性，但我想这种方式之所以在方程组求解的过程中行得通，应该是解的结构在支撑，也就是说只要找到原方程众多杂乱无章的解中线性无关的两个，就可以以通解的形式，将所有的解表示出来，当然有无数种表示方法，你怎么找都可以，只要找到两个且线性无关就行。
所以我们知道，如果、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么=+就是它的通解。那么，首先预判当λ为常数时，指数函数y=eλx和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数的这个特点，我们可以用y=eλx来尝试，看能否找到适当的常数λ，使=λ&满足二阶常系数齐次线性微分方程。为此将=λ代入方程&&+&+=，得λ+λ+λ=，因为λ不为零，由此可见,只要λ满足代数方程λ+λ+=0,函数=λ就是微分方程的解。
虽然方程λ+λ+=0仅仅是原方程的一部分，但它的根也是原方程的根，所以我们称其微分方程&&+&+=的“特征方程”。特征方程的两个根λ、λ可用公式λ出。那么我们的关注点也就从原方程转而集中到了其内部的特征方程。
特征方程有两个不相等的实根λ、λ时,函数λ1、λ2是方程的两个线性无关的解。因此方程的通解为y=c1λ1+c2λ2。
(2)特征方程有两个相等的实根λ=λ时,函数λ是原方程的一个解，但要求出通解，还需要一个与其线性无关的另外一个解。这个解是谁呢？我们依然使用预判的方法。设y2/y1=u(x)，即y2=u(x)λ，将y2带回原方程得u&&(x)=0，那么取u的最简形式x即可满足条件，即y2=xλ是原方程的另外一个解，且不是常数，两解线性无关。因此方程的通解为。
特征方程有一对共轭复根λ=a±b时,函数=a+b、=a-b是微分方程的两个线性无关的复数形式的解。但为了避免复数形式的出现，我们用欧拉复变公式eix=cosx+isinx将原型是变换，得=a+b=ab+b,&
=a-b=ab-b,
而&+=ab,&即,
&&&&-=ab,即.&
故ab、=ab也是.,=ab、=ab。因此方程的通解为=ab+b。
2、求&&+&+=的一个特解
这里有两种特殊的形式。
当=l时,是m次多项式与指数函数的乘积，我们进行预判，多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，所以方程的特解也应具有这种形式。因此,设特解形式为=l,将其代入方程,因为λ不为零，得等式&&()+l+&+l+l+=。依然是对这个特征方程进行求解。非齐是建立在齐的基础之上的，我们两次的预判解和带入后的方程之间是有联系的。l有l，那么这两个l有什么关系？
如果非齐l不是齐的特征方程λ+λ+=的根,则l+l+¹.要使上式成立,应设为次多项式:
=+-+&&&+-+,
通过比较等式两边同次项系数,可确定,,&&&,,并得所求特解
如果非齐l是齐的特征方程λ+λ+=的单根,则l+l+=,但2l+¹,要使等式
&&()+l+&+l+l+=.
成立,应设为+次多项式:
=+-+&&&+-+,
通过比较等式两边同次项系数,可确定,,&&&,,并得所求特解
如果非齐l是齐的特征方程λ+λ+=的二重根,则l+l+=,2l+=,要使等式
&&()+l+&+l+l+=.
成立,应设为+次多项式:
=+-+&&&+-+,
通过比较等式两边同次项系数,可确定,,&&&,,并得所求特解
综上所述,我们有如下结论:如果=l,则二阶常系数非齐次线性微分方程&&+&+=有形如
的特解,其中是与同次的多项式,而按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.
2.2方程&&+&+=lw+w的特解形式
应用欧拉公式可得
其中,.&而=,.
设方程&&+&+=l+w的特解为=l+w,
则必是方程的特解,
其中按l±w不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.
于是方程&&+&+=lw+w的特解为
&&&&&&&&&&
=lλw+λw.
综上所述,我们有如下结论:
如果=lw+w,则二阶常系数非齐次线性微分方程
的特解可设为
=lλw+λw,
其中λ、λ是次多项式,=,,而按l+w或l-w不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
&标准化方法如下：
1、求齐次微分方程的通解
&&&列出特征方程
若b^2-4ac&0，则通解为
若b^2-4ac&0，则通解为
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非齐次线性方程组无解条件的应用
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&&这​是​线​性​方​程​组​的​一​些​论​文​,​可​供​数​学​专​业​本​科​生​论​文​写​作​参​考​之​用​。
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非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
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非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
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