2017高考数学一轮考点训练-集合与常用逻辑用语（含答案）
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2017高考数学一轮考点训练-集合与常用逻辑用语（含答案）
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2017高考数学一轮考点训练-集合与常用逻辑用语（含答案）
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文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
第一章 集合与常用逻辑用语考纲链接&1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算．①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．
§1.1　集合及其运算&&1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，_______________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集&自然数集&正整数集&整数集&有理数集&实数集&复数集符号&&&&&&3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：　　表示关系　　&文字语言&符号语言相等&集合A与集合B中的所有元素都相同&__________⇔A＝B子集&A中任意一个元素均为B中的元素&________或________真子集&A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素&
________或________空集&空集是任何集合的子集，是任何______的真子集&∅⊆A，∅ B(B≠∅)结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．4．两个集合A与B之间的运算&集合的并集&集合的交集&集合的补集符号表示&&&若全集为U，则集合A的补集记为________韦恩(Venn)图表示(阴影部分)& &&
5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________； ④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;& ②A∪B________B；③A∪A＝________；& ④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁UA)＝________；②∁UU＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁UA)＝____________；⑤A∪(∁UA)＝____________；(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝__________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.
自查自纠：1．(1)元素　集合　(2)确定性　互异性　无序性&& (3)列举法　描述法2．N　N*(N＋)　Z　Q　R　C3．(1)属于　a∈A　不属于　a∉A(2)A⊆B且B⊆A　A⊆B　B⊇A　A B　B A非空集合　2n　2n－1　2n－24．A∪B　A∩B　∁UA　{x|x∈A或x∈B}　{x|x∈A且x∈B}　{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆　②⊆　③A　④∅　⑤＝(2)①⊇　②⊇　③A　④A　⑤＝(3)①A　②∅　③U　④∅　⑤U(4)①A⊆B　②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)
& (;安徽)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝(　　)A．{1，2，5，6}& &B．{1}C．{2}& &&&D．{1，2，3，4}解：∵∁UB＝{1，5，6}，∴A∩(∁UB)＝{1}．故选B.& (;陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝(　　)A．[0，1]& &&&B．(0，1]C．[0，1)& &&&D．(－∞，1]解：∵M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝[0，1]．故选A.& (;全国Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝(　　)A．{－1，0}& &&B．{0，1}C．{－1，0，1}& &D．{0，1，2}解：由已知得B＝{x|－2＜x＜1}，∴A∩B＝{－1，0}．故选A.& 已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．解：集合A表示的是单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.故填2.& 已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．解：由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4.&故填(4，＋∞)．
&类型一　集合的概念&　(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)A．4& B．2& C．0& D．0或4解：由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.故选A.
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，2m2＋m＝3，综上知，m＝－32.故填－32.
点拨：(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
&(1)(;苏州一模)集合x∈N|12x∈Z 中含有的元素个数为(　　)A．4& B．6& C．8& D．12解：令x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，代入验证，得x＝1，2，3，4，6，12时，12x∈Z，即集合中有6个元素．故选B.
(2)已知a∈R，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，则a2 017＋b2 017＝________.解：由已知得ba＝0及a≠0，∴b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝－1，∴a2 017＋b2 017＝－1.故填－1.类型二　集合间的关系&　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．(1)若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数m的取值范围；(2)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数m的取值范围；(3)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A⊆B，求实数m的取值范围．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，(1)若B⊆A，则①当B＝∅，有m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A；②当B≠∅，有m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5， 解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．(2)若A＝B，则必有m－6＝－2，2m－1＝5， 解得m∈∅，即不存在实数m使得A＝B.(3)若A⊆B，则2m－1＞m－6，m－6≤－2，2m－1≥5， 解得3≤m≤4.∴m的取值范围为[3，4]．
点拨：本例主要考查了集合间的关系，“当B⊆A时，B可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．
&　集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．解：(1)①当m＋1&2m－1，即m&2时，B＝∅，满足B⊆A.②当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，则m＋1≥－2，2m－1≤5， 可得2≤m≤3.综上，m的取值范围是(－∞，3]．(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，∴A的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x∈R，且A∩B＝∅，∴当B＝∅时，即m＋1＞2m－1，得m＜2，满足条件；当B≠∅时，有m＋1≤2m－1，m＋1＞5，或m＋1≤2m－1，2m－1＜－2， 解得m＞4.综上，m的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．类型三　集合的运算&　(1)已知全集U＝R，集合A＝{x|lg x≤0}，B＝{x|2x≤32}，则A∪B＝(　　)A．∅& &&&B.0，13C.13，1& &&D．(－∞，1]解：由题意知，A＝(0，1]，B＝－∞，13，∴A∪B＝(－∞，1]．故选D.
(2)已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝________.解：∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A&#，3}．又∁UB＝{3，4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．故填{3}．
(3)已知集合A＝{x∈R||x＋2|&3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)&0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解：A＝{x∈R||x＋2|&3}＝{x∈R|－5&x&1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m&1，由B＝{x|m&x&2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.&故填－1，1.
点拨：(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2)在解决有关A∩B＝∅的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑A(或B)＝∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
&　(1)已知集合A＝{x|y＝x}，B＝{x|12&2x&4}，则(∁RA)∩B等于(　　)A．{x|－1&x&2}& &&B．{x|－1&x&0}C．{x|x&1}& &&&D．{x|－2&x&0}解：∵A＝{x|y＝x}＝{x|x≥0}，∴∁RA＝{x|x&0}．又B＝x|12&2x&4＝{x|－1&x&2}，∴(∁RA)∩B＝{x|－1&x&0}．故选B.
(2)(;唐山模拟)集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝(　　)A．{0，1，2}& &&B．{0，1，3}& C．{0，2，3}& &&D．{1，2，3}解：∵M∩N＝{1}，∴log3a＝1，即a＝3，∴b＝1.∴M＝{2，1}，N＝{3，1}，M∪N＝{1，2，3}．故选D.
(3)设集合A＝{x||x－a|&1，x∈R}，B＝{x|1&x&5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|0≤a≤6}& &&B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6}& D．{a|2≤a≤4}解：|x－a|&1⇔－1&x－a&1⇔a－1&x&a＋1，由A∩B＝∅知，a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6.故选C.类型四　韦恩(Venn)图及其应用&　设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)等于(　　)A．P& B．M∩P& C．M∪P& D．M解：作出韦恩(Venn)图．当M∩P≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，&则M－(M－P)显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.
点拨：这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M－P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助韦恩(Venn)图将问题简单化．
&　已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．&解：B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．类型五　和集合有关的创新试题&　在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈[2]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的个数是(　　)A．1& B．2& C．3& D．4解：∵2 017＝403×5＋2，∴2 017∈[2]，结论①正确；－3＝－1×5＋2，∴－3∈[2]，－3∉[3]，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a，b被5除有相同的余数，故a，b属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C.
点拨：(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．
&　对于任意两个正整数m，n，定义运算(用表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn＝m×n.例如46＝4＋6＝10，37＝3＋7＝10，34＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|ab＝12，a，b∈N*}的元素有________个．解：m，n同奇同偶时有11组：(1，11)，(2，10)，…，(11，1)；m，n一奇一偶时有4组：(1，12)，(12，1)，(3，4)，(4，3)，∴集合M的元素共有15个．故填15.
1．&首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性――确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即1－4a＜0，1－4（2a－1）≤0，a＞4a－9， 解得58≤a＜3，从而所求a的取值范围为a|a＜58或a≥3.
1．(;全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)A．5& B．4& C．3& D．2解：A∩B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}∩{6，8，10，12，14}＝{8，14}．故选D.2．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝(　　)A．{0}& &&B．{0，1}& C．{－1，1}& &D．{－1，0，1}解：∵N＝{x|0≤x≤1}，M＝{－1，0，1}，∴M∩N＝{0，1}．故选B.3．(;辽宁)已知集合A＝{x|0&log4x&1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(　　)A.0，1& B.0，2& C.1，2& D.1，2解：易知A＝x|1&x&4，∴A∩B＝1，2.故选D.4．(;山东)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)A．1& B．3& C．5& D．9解：由题意知，x－y＝0，－1，－2，1，2.故B中元素个数为5，故选C.5．(;北京东城模拟)设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x&0}，B＝{x|x&－1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)&A．{x|x&0}& &&B．{x|－3&x&－1}C．{x|－3&x&0}& &D．{x|x&－1}解：依题意，集合A＝{x|－3&x&0}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|－3&x&－1}．故选B.6．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的个数是(　　)A．0& B．1& C．2& D．3解：①(－4)＋(－2)＝－6∉A，不正确；②设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，正确；③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，不正确．故选B.7．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．解：由题意得a＋2＝3，则a＝1.此时A＝{－1，1，3}，B＝{3，5}，A∩B＝{3}，满足题意．故填1.8．(;重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝________.解：∵U＝{1，2，3，…，9，10}，A＝{1，2，3，5，8}，∴∁UA＝{4，6，7，9，10}．∴(∁UA)∩B＝{7，9}．故填{7，9}．9．(;天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}，当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.解：当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋2x2＋4x3，xi∈M，i＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a＜0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．解：(1)A＝x|12≤x≤3，当a＝－4时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∩B＝x|12≤x＜2，A∪B＝{x|－2＜x≤3}．(2)∁RA＝x|x＜12或x＞3，当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，即A∩B＝∅.①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|－－a＜x＜－a}，要使B⊆∁RA，只须－a≤12，解得－14≤a＜0.综上可得，实数a的取值范围是a|a≥－14.11．(;福州一模)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．(2)由A⊆B知1－m＞2m，2m≤1，1－m≥3， 解得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A∩B＝∅，得①若2m≥1－m，即m≥13时，B＝∅，符合题意；②若2m＜1－m，即m＜13时，需m＜13，1－m≤1或m＜13，2m≥3， 得0≤m＜13.综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．& (;杭州模拟)已知集合A＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)&0}，B＝x|x－2ax－（a2＋1）＜0.(1)当a＝2时，求A∩B；(2)求使B⊆A时实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，A＝{x|x2－9x＋14&0}＝(2，7)，B＝x|x－4x－5＜0＝(4，5)，∴A∩B＝(4，5)．(2)当a≠1时，B＝(2a，a2＋1)；当a＝1时，B＝∅.又A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]&0}，①当3a＋1&2，即a&13时，A＝(3a＋1，2)，要使B⊆A成立，只须满足2a≥3a＋1，a2＋1≤2， 解得a＝－1；②当a＝13时，A＝∅，B＝23，109，B⊆A不成立；③当3a＋1&2，即a&13时，A＝(2，3a＋1)，要使B⊆A成立，只须满足2a≥2，a2＋1≤3a＋1，或a＝1，a≠1， 解得1≤a≤3.综上可知，使B⊆A的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}．
§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件&&
1．命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)&(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件和必要条件(1)如果p⇒q，则称p是q的________，q是p的_________．(2)如果________，且________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________．(3)如果p⇒q，但q p，那么称p是q的______________条件．(4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件．(5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
自查自纠：1．(1)判断真假　判断为真　判断为假(2)互逆命题　(3)互否命题　(4)互为逆否命题(5)若q，则p　若p，则q　若q，则p2．(1)
&(2)①相同　②没有关系3．(1)充分条件　必要条件(2)p⇒q　q⇒p　充要条件　p⇔q(3)充分不必要(4)p q　q⇒p　(5)p q　q p
& 下列语句为命题的是(　　)A．对角线相等的四边形B．a＜5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D.& (;陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的(　　)A．充分不必要条件& B．必要不充分条件C．充分必要条件& D．既不充分也不必要条件解：若sinα＝cosα，则cos2α＝cos2α－sin2α＝0，充分性成立；反之，若cos2α＝cos2α－sin2α＝0，则sinα＝±cosα，必要性不成立．因此，“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．故选A.& (;天津)设x∈R，则“x－2&1”是“x2＋x－2&0”的(　　)A．充分而不必要条件& B．必要而不充分条件C．充要条件& D．既不充分也不必要条件解：∵|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1，∴“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．故选A.& 命题“若x2&y2，则x&y”的逆否命题是______________．解：根据互为逆否命题的概念得命题“若x2&y2，则x&y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故填若x≤y，则x2≤y2.& “x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的________条件．解：x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故填充分不必要．
&类型一　四种命题及其相互关系&　写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B；(3)若x2－2x－3＞0，则x＜－1或x＞3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC.否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x＜－1或x＞3，则x2－2x－3＞0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．
点拨：写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”．
&　写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零；(2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．解：(1)否定形式：若xy＝0，则x，y都不为零．否命题：若xy≠0，则x，y都不为零．(2)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不都能写成分数．类型二　充要条件的判定&　“sinα＝12”是“cos2α＝12”的(　　)A．充分而不必要条件& B．必要而不充分条件C．充分必要条件& D．既不充分也不必要条件解法一：(定义法)若sinα＝12，则cos2α＝1－2sin2α＝1－2×122＝12，充分性成立；反之，若cos2α＝12，则有1－2sin2α＝12，得sin2α＝14，sinα＝±12，必要性不成立．因此，“sinα＝12”是“cos2α＝12”的充分不必要条件．解法二：(集合法)令A＝{α|p(α)}，B＝{α|q(α)}，则可得A＝α|sinα＝12，B＝α|cos2α＝12＝α|1－2sin2α＝12＝α|sinα＝±12.显然，AB，所以p是q的充分不必要条件．故选A.
点拨：充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．&　(1)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)A．充分而不必要条件& B．必要而不充分条件C．充分必要条件& D．既不充分也不必要条件解：设A＝（x，y）|x≥2，y≥2， B＝{(x，y)|x2＋y2≥4}，通过画草图可知A B，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分而不必要条件，故选A.注：此题也可采用定义法来判断．
(2)(;山东)给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的(　　)A．充分而不必要条件& B．必要而不充分条件C．充要条件& D．既不充分也不必要条件解：∵p是q的必要而不充分条件，∴q是p的必要而不充分条件，从而得出p是q的充分而不必要条件，故选A.类型三　充要条件的证明与探求&　数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件？解：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝2An＋B－A；当n＝1时，a1＝S1＝A＋B，适合an＝2An＋B－A.所以an＝2An＋B－A，显然{an}是等差数列，故充分性成立．反之，若{an}是等差数列，则有Sn＝na1＋n（n－1）2d(d为公差)，即Sn＝d2n2＋a1－d2n.设A＝d2，B＝a1－d2，即得Sn＝An2＋Bn，因此，必要性成立．所以Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的充要条件．
点拨：在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p”(或“q”)分别作为条件，推出“q”(或“p”)．
&　已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，①x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②求方程①②的根都是整数的充要条件．解：方程①有实数根⇔Δ＝16－16m≥0，即m≤1，方程②有实数根⇔Δ＝16m＋20≥0，即m≥－54，∴方程①②都有实数根⇔－54≤m≤1.∵m∈Z，∴m＝－1，0，1.当m＝－1时，方程①可化为x2－4x－4＝0，无整数解；当m＝0时，方程②可化为x2－5＝0，无整数解；当m＝1时，方程①②都有整数解．综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m＝1.类型四　充要条件的应用&　(1)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)A.0，12& B.0，12C．(－∞，0]∪12，＋∞& D．(－∞，0)∪12，＋∞解：由|4x－3|≤1得12≤x≤1，由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝(x－a)[x－(a＋1)]≤0得a≤x≤a＋1，∵p是q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，有a≤12，a＋1＞1， 或a＜12，a＋1≥1， 得0≤a≤12.故选A.
(2)已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是(　　)A．[1，＋∞)& &B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)& &D．(－∞，－3]解：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由q的一个充分不必要条件是p，可知p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，有a≥1.故选A.
点拨：解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的情形．
&　(1)(;湖南高三质检)函数f(x)＝log2x，x＞0，－2x＋a，x≤0 有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)A．a&0& &&B．0&a&12C.12&a&1& &&D．a≤0或a&1解：∵函数f(x)过点(1，0)，∴函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．数形结合可得a≤0或a&1.观察选项，根据集合间关系{a|a&0}{a|a≤0或a&1}，知A正确，故选A.
(2)若x&m－1或x&m＋1是x2－2x－3&0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解：由已知易得{x|x2－2x－3&0}{x|x&m－1或x&m＋1}，又{x|x2－2x－3&0}＝{x|x&－1或x&3}，∴－1≤m－1，m＋1＜3或－1＜m－1，m＋1≤3， 解得0≤m≤2.故填[0，2]．
1．命题及判断命题的真假(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．2．四种命题间的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断．3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论．4．充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p⇒q及q⇒p的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若A B，则p是q的充分不必要条件；③若B⊆A，则p是q的必要条件；④若B A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件；⑥若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解：根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案．故选B.2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是(　　)A．若a∉M，则b∉M& &B．若b∉M，则a∈MC．若b∈M，则a∉M& D．若a∉M，则b∈M解：命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是“若b∈M，则a∉M”，又原命题与逆否命题为等价命题，故选C.3．(;安徽)设p：x&3，q：－1&x&3，则p是q成立的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：∵(－1，3)⊆(－∞，3)，∴p是q成立的必要不充分条件．故选B.4．(;山西模拟)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)A．[2，＋∞)& B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)& D．(－∞，－1]解：由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，∴k＞2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)．故选B.5．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”，那么f(p)等于(　　)A．1& B．2& C．3& D．4解：原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，∵当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，∴逆命题是假命题，从而否命题也为假命题．∴f(p)＝2.故选B.6．(;湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)A．充分而不必要条件& B．必要而不充分条件C．充要条件& D．既不充分也不必要条件解：若存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC，则A∩B⊆C∩(∁UC)＝∅；反过来，若A∩B＝∅，由韦恩(Venn)图可知，一定存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC.故选C.7．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________．解：x＝4±16－4n2＝2±4－n，∵x是整数，即2±4－n为整数，∴4－n为整数，且n≤4.又∵n∈N＋，∴可取n＝1，2，3，4，验证可知n＝3，4符合题意；反之，当n＝3，4时，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．故填3或4.8．下列命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线l1：x－2ay＝1和直线l2：2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．解：对于①，∵ac2＞bc2，∴c2＞0，a＞b成立，①正确；对于②，若sinα＝sinβ，则α＝2kπ＋β或α＝π－β＋2kπ，k∈Z，②错误；对于③，若a＝0，则直线l1与直线l2平行；若两直线平行，则1×(－2a)－(－2a)×2＝0，得a＝0，③正确；对于④，易知f(|x|)＝log2|x|是偶函数，④正确．故填①③④.9．写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则x－2＋(y＋1)2＝0；(真)否命题：若x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；(真)逆否命题：若x≠2或y≠－1，则x－2＋(y＋1)2≠0.(真)．10．指出下列各组中，p是q的什么条件．(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m.(4)p：φ＝π2＋kπ，k∈Z，q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数．解：(1)若a＋b＝2，则圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝|a＋b|2＝2＝r，直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，故p是q的充分不必要条件．(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．反之，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.当x≤－1时，|x|＝－x≠x，因此，p是q的充分不必要条件．(3)由l∥α l∥m，但l∥m⇒l∥α，∴p是q的必要不充分条件．(4)当φ＝π2＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cosωx是偶函数；若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则φ＝π2＋kπ，k∈Z，∴p是q的充要条件．11．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．(1)∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，有1－m＝－2，1＋m＝10， 得m＝3，m＝9， 这样的m不存在．(2)∵x∈P是x∈S的必要条件，∴S⊆P，有1－m≥－2，1＋m≤10， 得m≤3，即m的取值范围是(－∞，3]．& 求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解：(1)当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－12，符合题目要求；(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则由韦达定理得x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a.①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是a≤1，1a＜0， 得a＜0；②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是a≤1，－2a＜0，1a＞0， 得0＜a≤1.综上，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词&&
1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命　题&命题的否定∀x∈M，p(x)&∃x0∈M，p(x0)&因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，p的真假判断(真值表)p&q&p∧q&p∨q&p真&真&①&②&③真&假&④&⑤&⑥假&真&⑦&⑧&⑨假&假&○10⑪&⑫注：“p∧q”“p∨q”“p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．
自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词　∀　全称命题3．存在量词　∃　特称命题4．∃x0∈M，p(x0)　∀x∈M，p(x)　特称　全称5．①真　②真　③假　④假　⑤真　⑥假　⑦假⑧真　⑨真　○10假　⑪假　⑫真
& (;全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为(　　)A．∀n∈N，n2＞2n& B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n& D．∃n∈N，n2＝2n解：∵特称命题的否定是全称命题，∴p：∀n∈N，n2≤2n.故选C.& (;浙江)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0解：全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0”．故选D.& (;重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)A．p∧q& &&B．(p)∧(q)C．(p)∧q& &D．p∧(q)解：显然p真，由x＞2⇒x＞1，而x＞1 x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，q假，q真，p∧(q)是真命题．故选D.& (;山东)若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解：根据题意，m≥(tanx)max，而y＝tanx在0，π4上单调递增，有(tanx)max＝tanπ4＝1，∴m≥1，m的最小值为1.故填1.& 已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由p真得a≥e；由q真知Δ＝16－4a≥0，得a≤4.因此，e≤a≤4.故填[e，4]．
类型一　含有逻辑联结词的命题及其真假判断&　指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p∧q”形式的命题．其中p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：3＞3，q：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p∨q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(5)是“p∧q”形式的命题．其中p：2是4的约数，q：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p∨q”命题，也不是“p∧q”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．
点拨：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．
&　分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分．解：(1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p∧q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；p：2不是4的约数，假命题．(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；p：矩形的对角线不相等，假命题．类型二　含有逻辑联结词命题的综合问题&　(;金华联考)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1&0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是________．解：p为真命题，有Δ＝m2－4＞0，－m＜0， 解得m&2.q为真命题，有Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1&0，解得1&m&3.由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．当p真，q假时，由m＞2，m≤1或m≥3， 得m≥3；当p假，q真时，由m≤2，1＜m＜3， 得1&m≤2.综上，实数m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．故填(1，2]∪[3，＋∞)．
点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．
&　(;锦州月考)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围是________．解：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，∴函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，有Δ＝4a2－16＜0，解得－2＜a＜2.又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，∴3－2a＞1，∴a＜1.又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1)若p真q假，则－2＜a＜2，a≥1， ∴1≤a＜2.(2)若p假q真，则a≤－2或a≥2，a＜1， ∴a≤－2.综上可知，所求实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，2)．故填(－∞，－2]∪[1，2)．类型三　全称命题与特称命题的否定&　写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p1：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(4)p4：∀x∈R，x2－x＋14＞0.解：(1)p1：∃x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，是真命题．(2)p2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题．(3)p3：∀x∈{x|x∈Z}，log2x≤0，是假命题．(4)p4：∃x∈R，x2－x＋14≤0，是真命题．
点拨：命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是部分和全体，分为特称命题和全称命题．否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定．
&　已知命题p：∃x0∈R，sinx0＜12x0，则p为(　　)A．∃x0∈R，sinx0＝12x0& B．∀x∈R，sinx＜12xC．∃x0∈R，sinx0≥12x0& D．∀x∈R，sinx≥12x解：原命题为特称命题，其否定为全称命题，即p：∀x∈R，sinx≥12x.故选D.&
1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语&等于(＝)&大于(＞)&小于(＜)&是&都是否定词语&不等于(≠)&不大于(≤)&不小于(≥)&不是&不都是
正面词语&至多有一个&至少有一个&任意的&所有的&一定否定词语&至少有两个&一个也没有&某个&某些&不一定
1．“a和b都不是偶数”的否定形式是(　　)A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数解：“a和b都不是偶数”的否定形式是“a和b至少有一个是偶数”．故选A.2．(;天津)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)•ex＞1，则p为(　　)A．&#，使得(x0＋1) ≤1B．&#，使得(x0＋1) ≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B.3．下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R，2x－1&0& B．∀x∈N*，(x－1)2&0C．∃x∈R，lgx&1& D．∃x∈R，tanx＝2解：对于B选项，x＝1时，(x－1)2＝0 ，故选B.4．(;嘉兴模拟)已知命题p：存在x∈R，x2＋1&2x；命题q：若mx2－mx－1&0恒成立，则－4&m&0，那么(　　)A．“p”是假命题& &B．q是真命题C．“p或q”为假命题& D．“p且q”为真命题解：易知命题p为假命题，对于命题q，当m＝0时，mx2－mx－1＜0成立；当m≠0时，要使mx2－mx－1＜0恒成立，则有m＜0，Δ＝m2＋4m＜0， 解得－4＜m＜0，∴－4＜m≤0，命题q为假命题．故选C.5．(;唐山统考)已知命题p：∀x∈R，x3＜x4；命题q：∃x0∈R，sinx0－cosx0＝－2.则下列命题中为真命题的是(　　)A．p∧q& &&B．(p)∧qC．p∧(q)& &D．(p)∧(q)解：若x3＜x4，则x＜0或x＞1，∴命题p为假命题；若sinx－cosx＝2sinx－π4＝－2，则x－π4＝3π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝7π4＋2kπ(k∈Z)，∴命题q为真命题，∴(p)∧q为真命题．故选B.6．下列命题中为真命题的是(　　)A．∃x∈R，sinx＋cosx＝1.5& B．∀x∈(0，π)，sinx＞cosxC．∃x∈R，x2＋x＝－1& D．∀x∈(0，＋∞)，ex＞1＋x解：A：sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2＜1.5，故A错；B：x∈π4，π时，sinx＞cosx，x＝π4时，sinx＝cosx，x∈0，π4时，cosx＞sinx，故B错；C：∀x∈R，x2＋x＋1＝x＋122＋34≥34＞0，∴x2＋x＞－1，故C错．故选D.7．(;北京西城区模拟)已知命题p：函数y＝(c－1)x＋1在R上单调递增；命题q：不等式x2－x＋c≤0的解集是∅.若p且q为真命题，则实数c的取值范围是________．解：若命题p是真命题，则c－1＞0，c＞1；若命题q是真命题，则Δ＝1－4c＜0，c＞14.因此，由p且q是真命题得c＞1，c＞14， c＞1，即实数c的取值范围是(1，＋∞)．故填(1，＋∞)．8．已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．解：由命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋12≤0”是假命题得其否定“∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋12＞0”是真命题，所以(a－1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a＜3.故填(－1，3)．9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．(1)若a＞0且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a&0且a≠1，则∃x∈R，ax≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x1，x2∈R，且x1＜x2，使tanx1≥tanx2，该命题为真命题．例如取x1＝0，x2＝π，有x1＜x2，但tanx1＝tanx2＝0，又当x1＝0，x2＝2π3时，有x1＜x2，但tan0＝0，tan2π3＝－3，所以tanx1＞tanx2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T∈R，|sin(x＋T)|≠|sinx|，该命题是假命题．例如T0＝π时，有|sin(x＋π)|＝|sinx|.(4)特称命题，其否定形式为∀x∈R，x2＋1≥0.∵x∈R时，x2≥0，∴x2＋1≥1＞0，故为真命题．10．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2&0，其中a&0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2&0，得(x－3a)(x－a)&0，∵a&0，∴a&x&3a.当a＝1时，1&x&3，即p为真命题时，实数x的取值范围是{x|1&x&3}．由x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0， 解得－2≤x≤3，x＜－4或x＞2， 得2&x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是{x|2&x≤3}．若p∧q为真，则1＜x＜3，2＜x≤3， 得2&x&3，∴实数x的取值范围是(2，3)．(2)∵p是q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，则BA，有a≤2，3a＞3， 得1＜a≤2.∴实数a的取值范围是(1，2]．11．已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解：由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，则a＞0，Δ＝1－4a2＜0， 解得a＞12.∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，从而有a≤0或a≥1，a＞12 或0＜a＜1，a≤12，解得a≥1或0＜a≤12.∴实数a的取值范围是0，12∪[1，＋∞)．& 已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．解：(1)∵对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．(2)∵a＝1，且存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立，∴m≤1.因此，命题q为真时，m≤1.∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，由1≤m≤2，m＞1， 得1＜m≤2；当p假q真时，由m＜1或m＞2，m≤1， 得m＜1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．
&一、：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若p则q”的逆命题是(　　)A．若q则p& &&B．若p则qC．若q则p& &D．若p则q解：根据原命题与逆命题的关系可得：“若p则q”的逆命题是“若q则p”，故选A.2．已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有(　　)A．A∩B＝B& B．A∪B＝AC．(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB& D．(∁UA)∪(∁UB)＝∁UB解：由A⊆B⊆U知A∩B＝A，A∪B＝B，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝∁UB，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝∁UA.故选C.3．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“p”中，真命题有(　　)A．0个& B．1个& C．2个& D．3个解：∵空集是任何集合的子集，{1}&#}，∴p真q假．∴“p∨q”为真，“p∧q”“p”为假．故选B.4．已知集合A＝{x|－1＜x＜0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为(　　)A．(－∞，0]& &B．[0，＋∞)C．(－∞，0)& &D．(0，＋∞)
&解：用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B得a≥0.故选B.5．设a，b为正数，则“a－b&1”是“a2－b2&1”的(　　)A．充分不必要条件& B．必要不充分条件C．充分必要条件& D．既不充分也不必要条件解：a－b&1，即a&b＋1.∵a，b为正数，∴a2&(b＋1)2＝b2＋1＋2b&b2＋1，即a2－b2&1成立．反之，当a＝3，b＝1时，满足a2－b2&1，但a－b&1不成立．∴“a－b&1”是“a2－b2&1”的充分不必要条件．故选A.6．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是(　　)A．57& B．56& C．49& D．8解：集合S的个数为26－23＝64－8＝56.故选B.7．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的(　　)A．充分不必要条件& B．必要不充分条件C．充要条件& D．既不充分也不必要条件解：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，得圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．故选A.8．在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为(　　)A．(p)∨(q)& &B．p∨(q)C．(p)∨q& &&D．p∨q解：∵p是“甲没有试驾成功”，q是“乙没有试驾成功”，∴(p)∨(q)表示“至少有一位学员没有试驾成功”．故选A.9．设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)&A．[－1，0]& B．(－1，0)C．(－∞，－1)∪[0，1)& D．(－∞，－1]∪(0，1)解：∵A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2＞0}＝{x|－1＜x＜1}，B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，∴A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1，0]，图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)．故选D.10．(;江西)下列叙述中正确的是(　　)A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β解：对于选项A，∵a的符号不确定，∴由b2－4ac≤0推不出ax2＋bx＋c≥0，A错；对于选项B，当b2＝0时，由a＞c推不出ab2＞cb2，B错；对于选项C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2＜0”，C错，易知D正确．故选D.11．对于集合M，定义函数fM(x)＝－1，x∈M，1，x∉M. 对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA(x)•fB(x)＝－1}．已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为(　　)A．{1，6，10，12}& B．{2，4，8}C．{2，8，10，12}& D．{12，46}解：要使fA(x)•fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1，6，10，12}，∴A△B＝{1，6，10，12}．故选A.12．(;嘉兴模拟)对任意的实数x，若[x]表示不超过x的最大整数，则“|x－y|&1”是“[x]＝[y]”的(　　)A．充分不必要条件& B．必要不充分条件C．充要条件& D．既不充分也不必要条件解：当x＝0.9，y＝1时，满足|x－y|&1，但[x]＝0，[y]＝1，[x]≠[y]，∴|x－y|&1推不出[x]＝[y]．反之，若[x]＝[y]＝n，则n≤x&n＋1，n≤y&n＋1，有－1&x－y&1，|x－y|&1，∴[x]＝[y]⇒|x－y|&1，综上知，“|x－y|&1”是“[x]＝[y]”的必要不充分条件．故选B.
二、题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是____________．解：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定．故填∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0.14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为____________．解：设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，∴15＋x－5＝30－8，得x＝12(另外，画韦恩(Venn)图易求解)．故填12.15．设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝____________．解：∵U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，即方程x2＋mx＝0的两根为0和3，得m＝－3.故填－3.16．已知p：|x－2|＜a(a＞0)，q：|x2－4|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解：p：|x－2|＜a⇔2－a＜x＜2＋a，q：|x2－4|＜1⇔－1＜x2－4＜1⇔3＜x2＜5⇔－5＜x＜－3或3＜x＜5，∵p是q的充分不必要条件，∴有－5≤2－a，2＋a≤－3，a＞0， 或3≤2－a，2＋a≤5，a＞0， 解得0＜a≤5－2.故填(0，5－2]．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.解：(1)p：∃m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则Δ＝1＋4m＜0，解得m＜－14，∴当m＝－1时，p为真．(2)q：∀x∈R，使得x2＋x＋1＞0.∵x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0，∴q为真．18．(12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．(1)若A∩B＝[1，3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[1，3]，∴m－2＝1，m＋2≥3， 得m＝3.(2)∁RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}，∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1，解得m＞5或m＜－3.∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．19．(12分)已知x，y∈R，求证：x＋y＝x＋y成立的充要条件是xy≥0.证明：先证充分性．若xy≥0，则x，y至少有一个为0或同号．∴x＋y＝x＋y一定成立．再证必要性．若x＋y＝x＋y，则(x＋y)2＝(x＋y)2，x2＋2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2，xy＝xy，∴xy≥0.综上可知，命题成立．20．(12分)已知集合A＝y|y＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．解：y＝x2－32x＋1＝x－342＋716，∵x∈34，2，∴716≤y≤2，∴A＝y|716≤y≤2.由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，有1－m2≤716，解得m≥34或m≤－34.∴实数m的取值范围是－∞，－34∪34，＋∞.21．(12分)已知p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．解：若p真，则0&2a－6&1，得3&a&72.若q真，设g(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则有Δ＝（－3a）2－4（2a2＋1）≥0，3a2&3，g（3）＝32－9a＋2a2＋1＞0， 得a＞52.∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．若p真q假，则有3＜a＜72，a≤52， 得a∈∅；若p假q真，则有a≤3或a≥72，a＞52， 得52＜a≤3或a≥72.综上知，实数a的取值范围是52，3∪72，＋∞.22．(12分)已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足B A，A∪C＝A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．解：易知A＝{1，2}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∵B A，∴a－1＝1，得a＝2.又∵A∪C＝A，∴C⊆A，则C中元素有以下三种情况：①若C＝∅，则方程x2－bx＋2＝0无实根，∴Δ＝b2－8&0，得－22&b&22；②若C＝{1}或{2}，则方程x2－bx＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b2－8＝0，得b＝±22，此时C＝{2}或{－2}，不符合题意，舍去；③若C＝{1，2}，则b＝3.综上所述，a＝2，b＝3或－22&b&22.
&文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
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