请教有限域乘法的意义~

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-03-13 07:24 标签： 矩阵乘法
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如题,本原元在有限域乘法与乘法逆元计算方面的应用有哪些?
本原元是指有限域乘法群的生成元,它的阶数是q-1,q是有限域中元素个数.本原元的作用有很多,你问的是在乘法和乘法逆元上计算的用处.下面假设w是一个本原元首先,有限域F中的任何非零元素a都可以表达成w^m的形式,这是因为有限域的乘法群是一个循环群,而本原元是这个循环群的生成元.这样在计算有限域元素之间乘法的时候,只要将指数相加.具体的说,a=w^m,b=w^n,ab=w^(m+n).其次,任何一个非零元素a,有上面知道a=w^m,那么a的逆a^(-1)=w^(-m)本原元还有其他的用处,如分圆多项式,本原多项式,域的扩张等.不过这不是几句话能说清楚的了.我是学代数的,有问题我们可以再交流.
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伽罗华域(Galois Field，GF，有限域)乘法运算
作者：互联网 & 来源：转载 &
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摘要: GF(2m)域
当m=8时，本原多项式为P(x) = x8&+ x4&+x3&+ x2&+ 1 .
这个很重要，因为一切化解都来源与此式。
在伽罗华域中,加法等同于对应位异或,所以
现在把α定义为P(x) = 0的根，即　　　　α8＋α4＋α3＋α2＋1 = 0　　　　即可以得到 α8=α4＋α3＋α2＋1
接着先给出下表付推导过程
当m=8时，本原多项式为P(x) = x8&+ x4&+x3&+ x2&+ 1 .
这个很重要，因为一切化解都来源与此式。
在伽罗华域中,加法等同于对应位异或,所以
现在把α定义为P(x) = 0的根，即　　　　α8＋α4＋α3＋α2＋1 = 0　　　　即可以得到 α8=α4＋α3＋α2＋1
接着先给出下表付推导过程
&下面就按以下规则进行乘法运算&
&& 0=000 & 就是0 &&& 1=001 & 就是1 &&& 2=0010& 就是x+0=x &&& 3=0011& 就是x+1 &&& 4=00100 就是x^2 &&& 然后对于两个变量 &&&& u,v &&& 可以先计算两个对应多项式的乘积
（需要注意的是加法是模2的，或者说是异或运算），&&&& 比如 &&& 3*7=(x+1)*(x^2+x+1)=x*x^2+x*x+x+x^2+x+1=x^3+1 & (模2运算中x+x=0 & and & x^2+x^2=0) &&& 所以3*7=9 &&& 在乘积得出来的多项式次数大于7时，我们需要对多项式在GF(2)上关于h(x)求余数，也就是 &&& 129*5=(x^7+1)*(x^2+1)=x^9+x^7+x^2+1 &&& 将上面的函数加上x*h(x)可以消去x^9,（其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是0或1），所以 &&& 129*5=x^9+x^7+x^2+1+x^9+x^5+x^4+x^3+x=x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 &&& ==191 &
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, All Rights Reserved.有限域GF（2n）运算
在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。同时我们引入概念，域。一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。
给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。
交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群）
结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c.
分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3.
& & 有限域多项式：
GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串，即16进制表示的57。
& & 1、有限域加法
多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。而各系数求和是在域F中进行的；
c(x)=a(x)+b(x) 等价于 ci=ai+bi&
& & 2、有限域乘法
多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a（x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积：
C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) &
&(mod m(x))
二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。
在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下：
m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1
& & (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01'
= （b7b6b5b4b3b2b1b0）
(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7)
(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+
(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02'
记为xtime（）。乘以一个高于一次的多项式可以通过反复使用xtime（）操作，然后将多个中间结果相加的方法来实现。
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