1与 3正交；这里正交一定线性无关为了算出来后面那个特征向量；是的

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关于特殊矩阵乘法求特征值的新方法

谭尊林赵春娥，程志远

中国石油大学(华东)理学院，山东 青岛

收稿日期：2018年4月3日；录用日期：2018年4月14日；发布日期：2018年4月20日

求矩阵乘法的特征值在众多领域中有重要的作用但实际操作起来比较繁琐。本文利用行列式计算的相关性质并结合分块矩阵乘法的乘法提供两種计算特殊矩阵乘法求特征值的通用简便方法。简化计算步骤提高计算效率。

关键词 :分块矩阵乘法行列式计算，特殊矩阵乘法

在线性玳数领域中矩阵乘法的特征值在高等代数中占据着较为重要的地位。求矩阵乘法A的一般方法为：通过一系列行列式的初等变换将 $$ 化为特征多项式然后求得特征值。对于此方法计算量大，易于出错本文给出的两种计算特殊矩阵乘法的特征值的方法：其一，利用分块矩陣乘法及行列式的计算性质将2n阶的方阵降阶为n阶；其二，利用矩阵乘法的乘法将n阶方阵降阶为向量的乘积。两种方法均简化计算减輕了计算的工作量。

2. 特殊矩阵乘法的分块求特征值

为2n阶方阵A、B、C、D均为n阶方阵，若A可逆且 $$

证明：∵A，BC，D均为方阵且A可逆， $$

解：1) 对於一般求解法：

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccc}& & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end{array}\begin{array}{cccc}& & & \\ & & & \\ 0& & & 0\\ 0& 0& & \end{array}\\ \begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ 0& & \end{array}\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ 0& & \end{array}\\ \begin{array}{cc}& 0\\ & \end{array}\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\begin{array}{ccc}& & \\ 0& & \\ 0& & \end{array}\\ {}^{}\end{array}$

0

2) 对于简便求解法：

0

为2n阶方阵A、B、C、D均为n阶方阵，若D可逆且 $$

证明：∵A，BC，D均为方阵且D可逆， $$

0 0 0 0

0 0 0 0

因为矩阵乘法D可逆且滿足 $$

$\begin{array}{c}{}_{}{}_{}\\ \begin{array}{cc}{}^{}& 0\\ & {}^{}\end{array}\begin{array}{cc}& \\ 0& \end{array}\\ \frac{}{}\end{array}$

0

3. 特殊矩阵乘法的分解求特征值

0

0

${}_{}\begin{array}{c}{}_{}\\ \begin{array}{c}{}_{}\\ 0\\ \\ 0\end{array}\end{array}{}_{}\begin{array}{c}{}_{}\\ \begin{array}{c}0\\ {}_{}\\ \\ 0\end{array}\end{array}{}_{}\begin{array}{c}{}_{}\\ \begin{array}{c}0\\ 0\\ \\ {}_{}\end{array}\end{array}$

证明：1) 对于一般解法：

$\begin{array}{c}{}_{}{}^{}\begin{array}{cccc}{}_{}^{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}{}_{}\\ {}_{}{}_{}& {}_{}^{}& & {}_{}{}_{}\\ & & & \\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}^{}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}& 0& & 0\\ {}_{}{}_{}& {}_{}^{}& & {}_{}{}_{}\\ & & & \\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}^{}\end{array}\begin{array}{cccc}{}_{}^{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}{}_{}\\ {}_{}{}_{}& {}_{}^{}& & {}_{}{}_{}\\ & & & \\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}^{}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{}_{}^{}& 0& & 0\\ {}_{}{}_{}& {}_{}^{}& & {}_{}{}_{}\\ & & & \\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}^{}\end{array}{}_{}\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ 0& & & 0\\ & & & \\ 0& 0& & \end{array}\\ {}_{}{}_{}^{}{}^{}\end{array}$

0

${}_{}0{}_{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}$

根据特征值可求的特征向量分别为：

0

${}_{}\begin{array}{c}{}_{}\\ \begin{array}{c}{}_{}\\ 0\\ \\ 0\end{array}\end{array}{}_{}\begin{array}{c}{}_{}\\ \begin{array}{c}0\\ {}_{}\\ \\ 0\end{array}\end{array}{}_{}\begin{array}{c}{}_{}\\ \begin{array}{c}0\\ 0\\ \\ {}_{}\end{array}\end{array}$

2) 对于简便解答方法：

运用特征值、特征向量嘚定义可求：

的特征值，ξ是属于λ的特征向量，则： ${}^{}$

0 0 0 0 0 0 0 0

0

求此矩阵乘法的特征值与特征向量。

0

${}_{}\begin{array}{c}\\ \\ 0\\ 0\end{array}{}_{}\begin{array}{c}\\ 0\\ \\ 0\end{array}{}_{}\begin{array}{c}\\ 0\\ 0\\ \end{array}$

对于定理1和定理2以及推论1均可以发现一般嘚求解方法在计算上较复杂，计算过程中也较容易出错不方便检查正确与否；文中所给出的简便方法不仅简化了计算，而且便于检查

感谢老师给予的无私的指导与鼓励。