a1=1,an+1=2an/(an+2)an的通项公式式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-03-13 11:51 标签： an的通项公式
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已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1（n∈N*）。（1）求数列{an}的通项公式； （2）记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn&21-2n成立的最小整数n。
题型：解答题难度：中档来源：专项题
解：（1）由an+2+2an-3an+1=0 得an+2-an+1=2（an+1-an）， ∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项，公比为2的等比数列∴an+1-an=3·2n-1， ∴n≥2时，an-an-1=3·2n-2，…，a3-a2=3·2，a2-a1=3，累加得an-a1=3·2n-2+…+3·2+3=3（2n-1-1）， ∴an=3·2n-1-2（当n=1时，也满足）。（2）由（1）利用分组求和法得 Sn=3（2n-1+2n-2+…+2+1）-2n=3（2n-1）-2n， Sn=3（2n-1）-2n&21-2n得3·2n&24，即2n&8=23，∴n&3， ∴使得Sn&21-2n成立的最小整数n=4。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1（n∈N*）。（1）求数列{..”主要考查你对&&一般数列的项，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一般数列的项数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
一般数列的项的定义：
数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列项的性质：
①数列的项具有有序性，一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，注意与集合中元素的无序性区分开来，；②数列的项具有可重复性，数列中的数可重复出现，这也要与集合中元素的互异性区分开来：③注意an与{an}的区别：an表示数列{an}的第n 项，而{an}表示数列a1，a2，…，an，…，方法提炼：
1.数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用（1）作差法；（2）作差法；（3）结合函数图像等方法；2.若求最大项an,则an满足an≥an+1且an≥an-1；若求最小项an,则an满足an≤an+1且an≤an-1。数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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（1）、a2=2a1/(a1+2)=2/3，a3=2a2/(a2+2)=1/2，a4=2a3/(a3+2)=2/5，a5=2a4/(a4+2)=1/3，（2）、a(n+1)=2an/(an+2)，——》1/a(n+1)=(an+2)/2an=1/2+1/an，——》1/a(n+1)-1/an=1/2，即{1/an}是首项1/a1=1，d=1/2的等差数列，——》1/an=1/a1+(n-1)d=(n+1)/2，——》an=2/(n+1)。
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a2=2a1+2+1=5，a3=2a2+4+1=15an+1=2an+2n+1......①则an=2an-1+2(n-1)+1，化为an=2an-1+2n-1......②①-②，得an+1-an=2(an-an-1)+2......③（把n消掉了）设bn=an+1-an，b1=a2-a1=4，b2=a3-a2=10，则③式等同于bn=2bn-1+2......④（可以用构造法了）设{bn+k}为等比数列，公比为2，则bn+k=2(bn-1+k)化简得bn=2bn-1+k，由④，得k=2。∴{bn+2}为等比数列，公比为2，∴bn+2=(b1+2)*2^(n-1)=3*2^n，即bn=an+1-an=3*2^n-2（最后是叠加法）
an-an-1=3*2^(n-1)-2an-1-an-2=3*2^(n-2)-2......a2-a1=3*2-2全部相加，得an-a1=3*2^(n-1)-2+3*2^(n-2)-2+......+3*2-2=-2(n-1)+3【2^(n-1)+2^(n-2)+......+2】=-2(n-1)+3【2*[1-2^(n-1)]/1-2】=-2(n-1)+3【2^n-2】=-2n+2+3*2^n-6=3*2^n-2n-4∴an=3*2^n-2n-4+a1=3*2^n-2n-3自己想的，方法可能复杂了
上面的结果适用于n≥2。把n=1代入，a1=3*2-2-3=1，符合所以an=3*2^n-2n-3，n∈N*我看了楼上的，方法果然比我的简单多了，但是k应该是（2n+1）/2，他好像算错了，呵呵
不是，k=2n+1没错。他错的地方是{an+2n+1}的首项应该是a1+2*1+1=4.
设an+1+k=2（an+k）再与原式比较得k=2n+1
所以{an+2n+1}为等比数列
又因为a1=1
所该等比数列的首相为5，公比为2，得an=5*2^(n-1)-2n-1(n大于等于2），a1=1
其他回答 (1)
解：因为a(n+1)=2an + 2n+1
故：an=2a(n-1) + 2n-1
两式相减：a(n+1)-an=2an-2a(n-1)+2
故：a(n+1)-an+2=2[an-a(n-1)+2]
故：数列bn= a(n+1)-an+2构成等比数列
故：a(n+1)-an+2=2^(n-1)×[a2-a1+2]
因为a1=1,an+1=2an + 2n+1
故：a2=5
故；a(n+1)-an+2=2^(n-1)×6=3×2^n
故：a(n+1)-an=3×2^n-2
故：an-a(n-1)= 3×2^(n-1) -2
故：a2-a1=3×2-2
a3-a2=3×2?-2
a4-a3=3×2?-2
……
故：an-a1=3×[1+2+2?+2?+…+2^(n-1)-1]-2(n-1)
=3×(2^n-1)-3-2n+2
故；an=3×2^n-2n-3
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