给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1.（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的_初中数学_中考题_函数解析式与图像_问酷网
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试题编号：1206331
题型：解答题
知识点：函数解析式与图像
难度：二级
给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1.
（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点.
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点.求证：OP=PQ.
视频解析：
∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，
∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．
∵B与A关于原点对称，
∴0=xA+xB=
∵y=ax2+x+1=a（x+
∴顶点（﹣
）在y=x上，
①解：∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1时，k=2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，r：y=x+2，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，
∴（b﹣1）2+4a=0，
当k=2时，r：y=2x+5，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，
∴（b﹣2）2+16a=0，
∴联立得关于a，b的方程组
∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，
=0，故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
，显然虽k值的变化，△不恒为0，所以不合题意舍去．
根据题意，画出图像如图1，
由P在抛物线y=﹣
x2+1上，设P坐标为（x，﹣
x2+1），连接OP，过P作PQ⊥直线y=2于Q，作PD⊥x轴于D，
x2+1|，OD=|x|，
& PQ=2﹣yP=2﹣（﹣当前位置：&>&&>&
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如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2－2ax－ 3a （a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（3）设P是抛
28．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x 22ax－ 3a （a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为
，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a；
（2）a＝－ ；
（3）P的坐标为（1，－ ）或（1，－4）
【解析】：
（1）A（－1，0）
∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k
∴y＝kx＋k
令ax 2－2ax－3a＝kx＋k，即ax 2－( 2a＋k )x－3a－k＝0
∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4
∴－3－
＝－1&4，∴k＝a
∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F
设E（x，ax 2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）
EF＝ax 2－2ax－3a－( ax＋a )＝ax 2－3ax－4a
S△ACE＝S△AFE－S△CFE
＝ ( ax 2－3ax－4a )( x＋1 )－ ( ax 2－3ax－4a )x
＝ ( ax 2－3ax－4a )＝ a( x－
∴△ACE的面积的最大值为－ a
∵△ACE的面积的最大值为
∴－ a＝
，解得a＝－
（3）令ax 2－2ax－3a＝ax＋a，即ax 2－3ax－4a＝0
解得x1＝－1，x2＝4
∴D（4，5a）
∵y＝ax 2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1
设P（1，m）
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）
m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）
∵四边形ADPQ为矩形，∴&ADP＝90&
∴AD2＋PD2＝AP2
∴5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a－5a )2＝( －1－1 )2＋( 26a )2
，∵a＜0，∴a＝－
∴P1（1，－ ）
②若AD是矩形的一条对角线
则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，－3a）
m＝5a－( －3a )＝8a，则P（1，8a）
∵四边形APDQ为矩形，∴&APD＝90&
∴AP2＋PD2＝AD2
∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a－5a )2＝5 2＋( 5a )2
，∵a＜0，∴a＝－
∴P2（1，－4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形
点P的坐标为（1，－ ）或（1，－4）
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如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　&&&　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　&&&&　．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．
答案（1）y=﹣x2﹣x+2；y=﹣4x+4．（2）P的对称轴为x=﹣．（3）点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．（4）l表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；P：y=﹣x2﹣x+8．
解析试题分析：（1）若l：y=﹣2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y=﹣x2﹣3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；（2）根据已知求得抛物线与x轴交点的坐标，从而求得对称轴；（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有两个，如答图1所示，不要漏解；（4）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx﹣4m中m的值，最后分别求出l，P表示的函数解析式．试题解析：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴D（﹣2，0）．设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：，解得，∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），则D（﹣4，0），A（1，0）．∴B（0，4）．设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：，解得，∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；令x=0，得y=n．∴A（﹣，0）、B（0，n），∴D（﹣n，0）．设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），∵DN=AN，∴﹣﹣x=x﹣（﹣n），∴2x=﹣n﹣，∴P的对称轴为x=﹣．（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4），∴C（0，2）、D（﹣4，0）．可求得直线CD的解析式为：y=x+2．由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ=CE．设直线FQ的解析式为：y=x+b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|xF﹣（﹣1）|=|xF+1|=1，解得xF=0或xF=﹣2．∵点F在直线l：y=﹣2x+4上，∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，当x=﹣1时，y=，∴Q1（﹣1，）；若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，当x=﹣1时，y=，∴Q2（﹣1，）．∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．（4）如答图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG=AB，OH=CD．由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点G为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG=OM=o=2，∴AB=2OG=4．∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（4）2，解得：m=﹣2或m=2，∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=﹣2．∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；∴B（0，8），D（﹣8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=﹣x2﹣x+8．考点：1、二次函数的图象与性质；2、待定系数法；3、旋转变换；4、平行四边形)已知抛物线y2=2px(p&0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.(Ⅰ)求t，p的值；(Ⅱ)设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）.(ⅰ)求证：直线AB必过定点题文)已知抛物线y2=2px (p&0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4. (Ⅰ)求t，p的值； (Ⅱ)设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中 O为坐标原点）.(ⅰ)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；(ⅱ)过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.)已知抛物线y2=2px(p&0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.(Ⅰ)求t，p的值；(Ⅱ)设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）.(ⅰ)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；(ⅱ)过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.解：(Ⅰ)由已知得，所以抛物线方程为y2=4x，代入可解得.……4分(Ⅱ)(ⅰ)设直线AB的方程为，、，联立得，则，.…………6分由得：或（舍去），即，所以直线AB过定点；………8分(ⅱ)由(ⅰ)得，同理得，则四边形ACBD面积，令，则是关于的增函数，故.当且仅当时取到最小值96.………13分略湖南省岳阳市一中2014届高三第六次质量检测试题数学（理）答案解：(Ⅰ)由已知得，所以抛物线方程为y2=4x，代入可解得.……4分 (Ⅱ) (ⅰ)设直线AB的方程为， 、 ， 联立得，则，.………… 6分 由得：或（舍去）， 即，所以直线AB过定点；……… 8分 (ⅱ)由(ⅰ)得， 同理得， 则四边形ACBD面积 ，令，则是关于的增函数，故.当且仅当时取到最小值96. ………13分相关试题