分析：（1）①首先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AE的长，进而利用勾股定理求出AF和EF的长，即可得出△EFG的面积；②首先证明四边形BGEF是平行四边形，再利用BG=EG，得出四边形BGEF是菱形，再利用菱形性质求出FG的长；（2）分别利用当点P与点B重合时，以及当点D与点Q重合时，求出A′B的极值进而得出答案．解答：（1）①解：如图①过G作GH⊥AD，在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，所以，EH=102-82=6，AE=10-6=4，设AF=x，则EF=BF=8-x，则AF2+AE2=EF2，∴x2+42=（8-x）2，解得：x=3，∴AF=3，BF=EF=5，故△EFG的面积为：12×5×10=25；②证明：如图②，过F作FK⊥BG于K，∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，BH∥EG，∴四边形BGEF是平行四边形；由对称性知，BG=EG，∴四边形BGEF是菱形．解：∵四边形BGEF是菱形，∴BG=BF=10，AB=8，AF=6，∴KG=4，FG=82+42=80=45；（2）解：如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5，如图2，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得A′D=AD=13，在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，即132=（13-A′B）2+52，解得：A′B=1，所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及菱形的判定和勾股定理以及三角形面积求法等知识，注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键．
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科目：初中数学
同学们，在学习了轴对称变换后我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题．我们通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在△ABC内部时，我们不仅可以发现AE=A′E，AD=，而且我们还可以通过发现∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠，∠A=∠A′，从而求得∠1+∠2=2∠A．（2）如图②，当点A落在△ABC外部时，我们发现∠2=∠DFA+∠，∠DFA=∠1+∠，那么（1）中的∠1+∠2=2∠A在这里还成立吗？如成立，请说明理由．如不成立，请写出成立的式子并说明理由．（3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，请你模仿图①，图②，画出相应的示意图并求出△CDE的周长．
科目：初中数学
同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形ABCD纸片中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．（1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为；（2）如图2，H，G分别为BC，AD的中点，A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分的面积；（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着HG对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个菱形，显然，这个菱形的周长最短是40cm，求叠合后周长最大的菱形的周长和面积．
科目：初中数学
题型：解答题
同学们，在学习了轴对称变换后我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题．我们通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在△ABC内部时，我们不仅可以发现AE=A′E，AD=________，而且我们还可以通过发现∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠________，∠A=∠A′，从而求得∠1+∠2=2∠A．（2）如图②，当点A落在△ABC外部时，我们发现∠2=∠DFA+∠________，∠DFA=∠1+∠________，那么（1）中的∠1+∠2=2∠A在这里还成立吗？如成立，请说明理由．如不成立，请写出成立的式子并说明理由．（3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，请你模仿图①，图②，画出相应的示意图并求出△CDE的周长．
科目：初中数学
题型：解答题
折叠问题：（1）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．（2）在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A的对应点为A‘,且B'=3,则AM的长是A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5
状元街0180
如果B’C=3,那么选B有以下解题思路:因为折叠,所以有BN=B'N在直角△NCB'中BN的平方=3的平方+（9-BN）的平方解得：BN=B'N=5,从而：CN=9-5=4,B'D=9-3=6K为B'A'和AD的交点∵△NCB'和△B'DK相似(∠C=∠D=90度,∠CB’N=∠DKB’=90-∠DB’K)∴NB'/B'K=NC/B'D=CB'/DK,得出B'K=7.5∵△B'DK和△MA'K相似（∠A’=∠D=90度,∠B’KD=∠MKA’）∴B'D/DK=MA'/A'K,得出MA'=2因为折叠所以有AM=A'M,所以AM=2
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连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．设AM=x，连接BM，MB′，由题意知，MB=MB′，则有AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+x2=（9-x）2+（9-3）2，解得x=2，即AM=2．故答案为：2．
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＞＞＞动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示折叠纸片..
动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动。求：（1）当点Q与点D重合时，A'C的长是多少？ （2）点A'在BC边上可移动的最大距离是多少？
题型：解答题难度：中档来源：重庆市期末题
解：（1）当Q点与D重合时，如图①，∵四边形ABCD是矩形，AD=5，AB=3，∴BC=AD=5，DC=AB=3，∠C=90°，由折叠知A1'D=AD=5，在Rt△A1CD中，根据勾股定理，得A1'C2+DC2=A1'D2，A1'C2=A1'D2﹣DC2=52﹣32=16，∵A1'C＞0，∴A1'C==4；（2）A'在BC上最左边时点Q点与D重合，此时，由（1）得，A'C=4，当点P与B重合时，图②中的A'2在BC上最右边，此时，由折叠知：A'2B=AB=3，则A'2C=5﹣3=2，A'应在A'1、A'2之间移动，∴A'在BC边上可移动的最大距离为CA'1﹣CA'2=4﹣2=2．
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据魔方格专家权威分析，试题“动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示折叠纸片..”主要考查你对&&矩形，矩形的性质，矩形的判定，轴对称，勾股定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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矩形，矩形的性质，矩形的判定轴对称勾股定理
矩形:是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。 黄金矩形:宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用:可以通过对称轴的一边从而画出另一边。 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用:关于平面直角坐标系的X,Y对称意义如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。 相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。
关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c 则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
发现相似题
与“动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示折叠纸片..”考查相似的试题有：
365063183084113328198948911217148515动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A"处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动． 求：（1）当点Q与点D重合时，A"C的长是多少？ （2）点A"在BC边上可移动的最大距离是多少？
解：（1）当Q点与D重合时，如图①，
∵四边形ABCD是矩形，AD=5，AB=3，∴BC=AD=5，DC=AB=3，∠C=90°，由折叠知A1"D=AD=5，在Rt△A1CD中，根据勾股定理，得A1"C2+DC2=A1"D2，A1"C2=A1"D2﹣DC2=52﹣32=16，∵A1"C＞0，∴A1"C==4；（2）
A"在BC上最左边时点Q点与D重合，此时，由（1）得，A"C=4，当点P与B重合时，图②中的A"2在BC上最右边，此时，由折叠知：A"2B=AB=3，则A"2C=5﹣3=2，A"应在A"1、A"2之间移动，∴A"在BC边上可移动的最大距离为CA"1﹣CA"2=4﹣2=2．
（本小题满分5分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C(合格)、D(不合格)四个等级，现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如图所示的统计图，已知图中从左到右的四个长方形的高的比为：14：9：6：1，评价结果为D等级的有2人，请你回答以下问题：小题1: (1)共抽测了多少人？小题2: (2)样本中B等级的频率是多少？小题3:(3)如果要绘制扇形统计图，A等级在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？小题4:(4)该校九年级的毕业生共300人，假如“综合素质”等级为A或B的学生才能报考示范性高中，请你计算该校大约有多少名学生可以报考示范性高中？
张华调查了一个报亭某一天A、B、C三种报纸的销售量，并把调查结果绘制成如下条形统计图．(1)求该天A、C报纸的销售量各占这三种报纸销售量之和的百分比；(2)请绘制该天A、B、C三种报纸销售量的扇形统计图；(3)如果报亭准备按上述比例购进A、B、C三种报纸共100份，应该购进这三种报纸各多少份？
如图，扇形统计图中，扇形A表示有27人，则占总体的扇形C表示有________________人.
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