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如果E是无穷维赋范线性空间，则在E上存在不连续的线性泛函。收藏
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以后会学到真是开心，虽然此句话里面大部分概念都不认识
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泛函分析第3章__连续线性算子与连续线性泛函34-9
?k?；在C?0,1?中定义通常的范数y?maxy?t?；0?t?1；x1??maxx???t?t??0,1?,x?；i?0；0?；?t??x?t??；那么C?0,1?及C0?k??0,1?在相应范数；?k?T:C0?0,1??C?0,1?为；?Tx??t??x?k??t??P1?t?x?k；那么；??Tx??1??Pi?x1；?i?1?；这里Pi?maxP
　?k?在C?0,1?中定义通常的范数y?maxy?t?，在空间C0?0,1?中定义范数0?t?1x1??maxx???t?t??0,1?,x?ii?0k?0??t??x?t??那么C?0,1?及C0?k??0,1?在相应范数下均构成Banach空间。定义线性算子?k?T:C0?0,1??C?0,1?为?Tx??t??x?k??t??P1?t?x?k?1??t????Pk?1?t?x??t??Pk?t?x?t?那么n??Tx??1??Pi?x1?i?1?这里Pi?maxPi?t?，所以T是有界线性算子。据T的定义及例3.21的说明，T0?t?1?k?是由C0?0,1?到C?0,1?上的一一映射，因此，由逆算子定理，T?1是有界线性算子。对任意??0，取???T?1,则只要y1?y2??时，y1?t?、y2?t?相应的解为x1?t?、x2?t?，即y1?Tx1,y2?Tx2,故x1?T?1y1，x2?T?1y2，于是x1?x2?T?1?y1?y2???1y1?y2??这说明，y?t?做微笑变动时，其相应的解x?t?及x?t?的各阶导函数（直到k阶）也做微小的扰动。判断一个线性算子是否有界，有时是十分困难的，我们下面介绍通过算子图像特征来判断算子有界的方法，这就是闭图像定理。在高等数学中，函数y?f?x?的图像是平面上的一条曲线，也就是由平面上的点x,?f?x??组成的集合，我们把这一概念推广到抽象空间。【定义3.14】 设X,Y是两个赋范线性空间，在X?Y上定义线性运算为????x,y?,?x1,y1??X?Y,???F令?x,y???x1,y1???x?x1,y?y1?,??x,y????x,?y?而对X?Y中的元?x,y?定义其范数?x,y??x?y，则X?Y在此范数下成一赋范线性空间，称为X与Y的乘积赋范线性空间，记作?X?Y,?或X?Y。显然，如果X,Y是Banach空间，则X?Y也是Banach空间。【定义3.15】 设X,Y是两个赋范线性空间，T是D?X到Y中的算子，令G?T???x,Tx?:x?D称G?T?为映射T的图像，如果G?T?是X?Y中的闭集，则称T是闭算子，也称算子T具有比图像。【定理3.19】 设X,Y是两个赋范线性空间，T是D?X到Y中的算子，则T是闭算子的充要条件是任意点列?xn??D,若xn?x0?X,Txn?y0?Y，则x0?D, 且y0?Tx0。证明：必要性。设T是闭算子，当?xn??D，xn?x0?X,Txn?y0?Y时，显然??xn,Txn???G?T?，而且由等式?xn,Txn???x0,y0??xn?x0?Txn?y0??n?N?知?x0,y0??G?T?，即x0?D，y0?Tx0。充分性。任取??xn,Txn???G?T?，而且?xn,Txn???x0,y0??X?Y，由于max?xn?x0,Txn?y0???x,Tx???x,y?nn 所以，xn?x0?X,Txn?y0?Y，再由假设知，x0?D且y0?Tx0，从而?x0,y0??G?T?，即G?T?是X?Y中的闭集。证毕。注：（1）定义域是闭集的连续线性算子是闭算子。事实上，设X,Y是两个T是D?X到Y中的连续算子，赋范线性空间，并且D是Y中的闭集，当?xn??D，xn?x0?X,Txn?y0?Y时，由D的闭性知，x0?D，又由T的连续性知y0?limTxn?Tx0，据定理3.19知T是闭算子。x??（2）当X,Y都是Banach空间，T是D?X到Y中的线性算子，而且是闭算子时，T不一定是连续算子。例如X?Y?C?a,b?,D?x?t?x?t??C1?a,b?，显然，D是X的线性子空间，作D到Y的算子如下dT:x?t??y?t??x?t??x?t??D? ?dx则T是D到Y的线性算子，而且是闭算子。事实上，设???xn??D，xn?x0?X,Txn?y0?Y由高等数学知识，可知x0?D，且y0?Tx0。据定理3.19知T是闭算子，但我们知道T是无界的，故不是连续线性算子。然而，当算子T的定义域D是X的闭子空间时，有下面注明的闭图像定理。【定理3.20】（闭图像定理） 设X,Y是Banach空间，T是D?X到Y中的线性算子，而且是闭算子，如果D是X的闭线性子空间，则T是连续的。证明：由是X,Y是Banach空间。因为D是X的闭线性子空间，故D按X中范数是一个Banach空间，又T是线性算子，易知G?T?是X?Y的闭线性子空间，从而G?T?按X?Y中的范数也是一个Banach空间。做G?T?到D的算子A如下A:?x,Tx??x???x,Tx??G?T?????x,Tx??G?T??显然，A是G?T?到D上的线性算子，而且A?x,Tx??x??x,Tx?所以A是有界的。又当x1,x2?D,x1?x2时，必有?x1,Tx1???x2,Tx2?，故A是G?T?到D上的双射，根据逆算子定理，A?1:D?G?T?是有界的，于是?x,Tx?从而?A?1x?A?1x??x?D? ??x?D?Tx??x,Tx??A?1x由此可知，T是有界的。证毕。由定理3.19的注（1）和定理3.20立即得到：【推论3.5】设X,Y是Banach空间，T是X到Y中的线性算子，则T连续的充要条件是T是闭算子。闭图像定理在偏微分方程理论中有很多应用，因为对于微分算子，要直接验证它的连续性往往比较困难，但要验证它是闭算子却比较容易。习题3.5 1．映射T:R2?R为Tx?t1试问T是开映射吗？又令?x??t1,t2??R2 ?x??t1,t2??R2Tx??t1,0?问T:R2?R是否为开映射？2．设X,Y是两个Banach空间，证明X,Y也是Banach空间。 3．试用比图像定理证明逆算子定理。4．设X是线性空间，1，2是X上两个范数，在这两个范数下，X均是Banach空间，如果存在常数??0，使x??x2，则一定也存在常数??0，使x2??x（即两个范数等价）。5．设X,Y是两个Banach空间，使对x?X,T?L?X,Y?,证明存在常数??0，??x的充要条件是Ker?T?????且R?T?是闭集。6．证明：若闭线性算子的逆算子T?1存在，则T?1也是闭线性算子。 7．证明比现行算子的零空间KerT是X的闭线性子空间。3.6 算子谱理论简介我们在线性代数中学过了矩阵的特征值与特征向量的基本理论，现在把这两个概念推广到Banach空间，建立算子的谱理论。3.6.1 有界线性算子的谱为了研究算子的谱，Banach空间一般取复的。【定义3.16】 设X是复Banach空间，T?L?X,X?，?为一复数。 （1）称?为T的正则值，如果?I?T有有界逆算子，即??I?T??L?X,Y?。用??T?表示T的正则值组成的集合，称??T?为T的正则集。对????T?，称R????I?T?为T的预解式。?1?1（2）如果?不是T的正则值，则称?为T的谱点，全体谱点的集合记为??T?，称为T的谱，对谱中的点又可分为一下三种类型：○1算子方程??I?T?x??有非零解的?称为T的特征值或者点谱，相应的非零解称为T的特征值。○2方程??I?T?x??仅有零解，但R??I?T??X，而R?I?T?X即??I?T?的值域在X中稠密，则称这样的?为T的连续谱；○3方程??I?T?x??仅有零解，但R??I?T?在X中不稠密，则称?为T的剩余谱。对于T的特征值，又如下基本特征： （1）如果?是T的特征值，则?所对应的特征向量加上零元素?正好组成X的一个闭子空间，称这个子空间为?的特征子空间。（2）若?i?i?1,2,?,n?是T的n个不同的特征值，?i对应的特征向量为xi，则x1,x2,?xn线性无关。证明：（1）Ker??I?T???x:??I?T?x???正好是?的特征子空间，因此是闭子空间。（2）用数学归纳法来证明。当n?1时，特征向量x1?0，因此线性无关。假设n?k时结论成立，即x1,x2,?xk线性无关。若x1,x2,?xk,xk?1线性相关，于是存在不全为零的常数?1,?2,??k,?k?1成立??xi?1k?1ii??（3.15）从而有?k?1?k?1T???ixi????i?ixi??（3.16） ?i?1?i?1在式（3.15）两边乘?k?1得???ii?1k?1k?1ix??（3.17）式（3.16）减去式（3.17）得???????xiik?1i?1k?1i??包含各类专业文献、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、专业论文、应用写作文书、生活休闲娱乐、外语学习资料、各类资格考试、泛函分析第3章__连续线性算子与连续线性泛函34等内容。　
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本书根据作者近10年来为工科研究生讲授“应用泛函分析”课程的教学内容充实修改而成。其主要内容有：实分析基础、距离空间、线性赋范空间与内积空间、线性泛函与线性算子、不动点定理与最佳逼近、线性算子谱论初步和抽象空间的微积分等。在讲述上尽量通俗直观、深入浅出，对诸多抽象概念和定理提供了较多的例子。习题难易适中并附有解答或提示.
本书适合工科研究生和数学专业本科生作为教材或教学参考书使用.
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泛函分析怎么建立
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罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。非线性的算子在微分几何和微分方程理论中都扮演重要的角色。这样的操作一般叫做算子，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用在具体的函数空间上，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，我们总可以要求算子是连续映射.谱定理包括一系列结果，必须要使用佐恩引理（Zorn&#39。另一讼傩赤叫俦既幅哨个相关结果是对偶空间的非平凡性，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。3，称作线性算子。2，该定理描述一族有界算子的性质.一致有界定理（亦称共鸣定理）。4选择公理泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的，比如极小曲面就是能量泛函的极小点。最简单的例子就是各种函数空间上不同的能量泛函;s Lemma）。线性算子和线性泛函最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子。对拓扑线性空间上的算子的研究构成了泛函分析的一个很大的分支领域，我们有对函数的各种各样的操作。作为一个拓扑空间之间的映射。最典型的是对函数求导数的操作。在线性算子的理论中有几个非常基本而重要的定理，一个一维拓扑线性空间）那么这样的算子成为线性泛函。非线性算子更一般的我们会遇到非线性的算子，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上。为了证明无穷维向量空间存在一组基.开映射定理和闭图像定理。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域（特别的。1。4。此外
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