二次函数与方程方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-07 14:57 标签： 函数方程
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已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式．
主讲：蔺东梅
【思路分析】
先根据抛物线的对称形确定抛物线的对称轴为直线x=，则得到抛物线的顶点坐标为（，2），再设交点式y=a（x+2）（x-3），然后把顶点坐标代入求出a即可．
【解析过程】
∵二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=，∵函数有最大值为2，∴抛物线的顶点坐标为（，2），设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-3），把（，2）代入得a×（+2）（x-3）=2，解得a=-，|所以抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-3）=-x2+x+．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数的解析式有三种常见形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； 顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； 交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）．
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京ICP备号 京公网安备二次函数与一元二次方程关系
1、从形式上看：二次函数：y=ax²＋bx＋c (a≠0)一元二次方程：ax²＋bx＋c=0 (a≠0)2、从内容上看：二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值3、相互关系：二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.如：y=x²－4x＋3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x²－4x＋3=0的根是x=1或x=3
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已知二次函数y=（t-4）x2-（2t-5）x+4在x=0与x=5的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，一次函数y=kx+b经过B，C两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点D（0，m） 作直线//x轴，其中．将二次函数图象在直线下方的部分沿直线向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线与新图象M恰有两个公共点，请求出的取值范围． 
（1） ．（2） ;（3） 或．
试题分析：（1）根据x=0与x=5的函数值相等求出t的值即可得出二次函数解析式．
（2）求出B、C坐标，代入y=kx+b求出k、b的值即可；
（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=kx+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值范围．
试题解析：（1）由题意得 ．
∴ 二次函数的解析式为...
考点分析：
考点1：二次函数
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。
二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
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